Дроби та дiї над ними

Визначення
Звичайний дрiб — це число виду , де чисельник дробу та знаменник дробу – натуральнi числа. Якщо то дрiб називають правильним, якщо неправильним.

Число, що є сумою натурального числа та звичайного дробу, називають мiшаним.

Перевести мiшане число у звичайний дрiб можна, помноживши цiлу частину на знаменник дробової частини та додавши до чисельника дробової частини.
Наприклад:
Неправильний дрiб можна перевести у мiшане число роздiливши чисельник на знаменник. Частка вiд дiлення буде цiлою частиною, остача – чисельником, дiльник – знаменником.
Основна властивiсть дробу: якщо і чисельник, i знаменник помножити чи подiлити на одне й те саме число, відмінне від нуля, отримаємо дрiб, що рiвний вихiдному.
Наприклад:
Тепер розглянемо основнi дiї над дробами. Розпочнемо з операцiї зведення до спiльного знаменника. Для чого вона потрiбна? По-перше, це дозволить легко порiвнювати дроби з рiзними знаменниками. По-друге, без цiєї операцiї неможливо зробити додавання та вiднiмання дробiв з рiзними знаменниками.
Алгоритм Зведення дробiв до спiльного знаменника
  • Знайти НСК знаменникiв дробiв.
  • Подiлити НСК на кожний зi знаменникiв i знайти додатковi множники.
  • Помножити чисельник i знаменник дробу на його додатковий множник.
Наприклад: звести дроби i до спiльного знаменника.
НСК
Додатковi множники: ,
Маємо: i

Дiї над дробами.

  • Додавання i вiднiмання. Сумою (рiзницею) двох дробiв з однаковими знаменниками i є дрiб з таким самим знаменником, а у чисельнику якого записана сума (рiзниця) чисельникiв: . Якщо дроби мають різні знаменники, треба звести їх до спільного.

  • Множення. Добутком двох дробів є дріб, у чисельнику якого стоїть добуток чисельників цих дробів, а у знаменнику – добуток знаменників:

  • Ділення. Операції ділення дробів еквівалентна операція множення на дріб, що є перевернутим:

Визначення
Десятковий дрiб — форма запису звичайного дробу зi знаменником вигляду .
Наприклад: ;
Кожен звичайний дріб можна подати у вигляді скінченого або нескінченого десяткового дробу. Періодом нескінченого десяткового дробу називають найменшу групу цифр після коми, яка повторюється. Цей період записують один раз у круглих дужках.
Наприклад: ;

Перетворення нескінченого періодичного дробу в звичайний. Отриманий дріб матиме вигляд: у чисельнику стоїть різниця числа, яке стоїть до другого періоду, та числа, яке стоїть до першого періоду; у знаменнику записується цифра стільки разів, скільки цифр у періоді, і дописується цифра стільки разів, скільки цифр між комою і першим періодом.

Стандартний вигляд числа — це запис числа в експоненціальному вигляді , де – мантиса числа, а – порядок. У стандартному вигляді легко представляти дуже маленькі або дуже великі числа.
Наприклад:
Коли записують число у такій формі, зручно користуватись так званим «пересуванням коми» для визначення показника . Треба "пересунути" кому на певну кількість позицій таким чином, щоби отримати число від до . Якщо кома зсувається ліворуч на позицій, то показник, відповідно, збільшується на . Якщо праворуч – то зменшується на .

Ось саме так записали . Для того, щоб отримати число від до , треба пересунути кому на позицій ліворуч. Зсунувши кому на позицій ліворуч, ми збільшуємо показник на . Отримуємо стандартний вигляд: . Аналогічно треба діяти з числом . Для того, щоб отримати число від до , треба пересунути кому на позиції праворуч. Зсунувши кому на позиції праворуч, ми зменшуємо показник на . В результаті, маємо .

Чому дорівнює значення дробу ?

Спростимо дріб:

Обчисліть значення виразу

Спростимо дріб: