Дробово-рацiональнi нерiвності

Визначення
Дробово-раціональна нерівність — це нерівність вигляду або або або , де , – многочлени, а – змінна.

Наприклад:

Для розв’язання дробово-раціональних нерівностей користуються тим самим методом інтервалів.

Основна думка в цьому варіанті полягає в тому, що дробово-раціональна функція може змінювати знак лише у точках, в яких вона рівна нулеві або не існує.

Граничні точки для дробово-раціональної функції можна знайти прирівнявши нулеві як чисельник: (дробово-раціональна функція рівна нулю), так і знаменник: (дробово-раціональна функція не існує).

Алгоритм Метод інтервалів
  1. Виразити нерівність у вигляді або , де , – многочлени.
  2. Розв’язати рівняння та , знайшовши граничні точки.
  3. Зобразити граничні точки на числовій прямій, розбивши її на інтервали.
  4. Знайти знаки функції на кожному інтервалі.
  5. Обрати ті інтервали, на яких знаки задовольняють вихідній нерівності.
Приклад

Розв’язати нерівність .

Розв’язок.

  1. Перетворюємо нерівність до вигляду :
  2. Вихідна нерівність

    Віднімаємо від обох частин нерівності

    Спрощуємо

    Зводимо до спільного знаменника

    Спрощуємо
  3. Многочлен в знаменнику можна розкласти на множники за допомогою формули різниці квадратів: . У результаті маємо:

  4. Граничні точки многочлена в чисельнику: , а граничні точки многочлена в знаменнику: . Загальні граничні точки: .
  5. Зобразимо їх на числовій прямій:

  6. Шукаємо знак функції на правому інтервалі . Підставимо тестове значення «мільярд»:

  7. Два множники додатні, один від’ємний – функція на цьому інтервалі має від’ємний знак.

    Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:

  8. Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою . Такими є інтервали та .

Вiдповiдь. Отже, .

Приклад

Розв’язати нерівність .

Розв’язок.

Многочлен в знаменнику можна розкласти на множники за допомогою формули різниці квадратів: . В результаті маємо:

  1. Граничні точки многочлена в чисельнику: , а граничні точки многочлена в знаменнику: . Загальні граничні точки: .
  2. Зобразимо їх на числовій прямій. Точка має кратність «» — малюємо одну «пелюстку» на числовій осі. Точка має кратність «» — малюємо дві «пелюстки»:

  3. Шукаємо знак функції на правому інтервалі . Підставимо тестове значення «мільярд ».
  4. Всі чотири множники додатні, функція на цьому інтервалі має додатний знак.

    Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:

  5. Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою . Таким є інтервал .

Вiдповiдь. Отже, .

Скільки граничних точок має нерівність:

На скільки інтервалів розбивається числова пряма для нерівності: