Метод інтервалів

Будь-яку раціональну нерівність можна легко розв’язати за допомогою методу інтервалів.
Зі схожою процедурою ми вже зустрічалися під час розв’язання рівнянь з модулями (див. розділ 8.2 Рівняння з модулями).
Саме таким методом ми скористалися для знаходження часу на відкриття парашута в попередній задачі.

Графіки допоможуть нам зрозуміти сутність методу інтервалів. Наприклад, поглянемо на графік функції

Основна думка полягає в тому, що раціональна функція може змінювати знак лише у точках, в яких вона рівна нулеві.

Точки – це граничні точки, між якими графік знаходиться або вище від осі (зображено синім), або нижче від осі (зображено оранжевим).

Знаходження граничних точок функції, що стоїть в нерівності, – це дуже важливий крок при розв’язанні раціональних нерівностей. Ці точки можна знайти, розв’язавши рівняння .

Єдине, що залишиться – обрати необхідні інтервали залежно від знака нерівності.

Алгоритм Метод інтервалів
  1. Виразити нерівність у вигляді або , де – многочлен.
  2. Розв’язати рівняння , знайшовши граничні точки.
  3. Зобразити граничні точки на числовій прямій, розбивши її на інтервали.
  4. Знайти знаки функції на кожному інтервалі.
  5. Обрати ті інтервали, на яких знаки задовольняють вихідну нерівність.
Приклад
Розв’язати нерівність .

Розв’язок.

  1. Виразимо нерівність у вигляді або :
  2. Перетворюємо нерівність таким чином, аби праворуч залишився нуль:

    Вихідна нерівність
    Розкриваємо дужки
    Додаємо до обох частин
    Спрощуємо
  3. Розв’яжемо рівняння , розклавши многочлен у лівій частині на множники:
  4. Вихідна нерівність
    Виносимо за дужки
    Виносимо за дужки
    Виносимо за дужки
    За формулою різниці квадратів розкладаємо

    Отже, граничні точки: .

  5. Зобразимо ці точки на числовій прямій.
  6. В результаті утворилося чотири інтервали:

  7. Шукаємо знаки функції на кожному інтервалі. Для цього беремо якесь тестове значення з кожного інтервалу, підставляємо його у функцію та дивимося на її знак:
  8. Інтервал Тестове значення Підстановка у функцію Знак функції
  9. Зобразимо ці знаки на числовій прямій та оберемо тільки необхідні інтервали.
  10. Нерівність післе зведення набула вигляду , де

    Тому підходять лише ті інтервали, в яких функція набуває додатних значень: та . Таким чином .

Вiдповiдь.

Метод «пелюстки»

Насправді розв’язувати нерівності можна набагато простіше, зокрема шукати знак функції на всіх інтервалах підстановкою не потрібно. Достатньо знайти його на крайньому правому інтервалі. Цей інтервал завжди має вигляд: – він необмежений справа. Для визначення знака можна підставити будь-яке число з інтервалу.

Візьмемо щось велике, наприклад, мільярд. Підставляючи мільярд у функцію, одразу розуміємо, який знак приймає ця функція без обчислення фактичного значення.

Всі решта знаків вже автоматично відомі. При переході через граничну точку знак інтервалу буде змінюватись на протилежний.

У випадку, коли гранична точка є кратним коренем, або, іншими словами, в розкладі на множники двочлен з таким коренем стоїть у степені більшому за одиницю, тобто присутній множник вигляду , – починаємо малювати «пелюстки».

Нехай корінь має кратність – можна вважати, що це два окремих корені, між якими є інтервал, що злилися в одну точку на числовій осі. Початок і кінець інтервалу збігається, і він згортається у «пелюстку». При кратності , відповідно, маємо три однакові корені, між якими є два інтервали, що згортаються у дві «пелюстки», і т.д.

Приклад
Розв’язати нерівність .

Розв’язок.

Многочлен в лівій частині вже розкладений на множники, переходимо до п. алгоритму методу інтервалів.

  1. Граничні точки многочлена: .
  2. Зобразимо їх на числовій прямій.

  3. Шукаємо знак функції на правому інтервалі . Підставимо тестове значення «мільярд».
  4. Функція в точці мільярд має два додатних множники і один від’ємний, отже, функція в цій точці буде додатною.

    Отже, правий інтервал має додатний знак. Всі корені мають непарну кратність «», тому решту знаків чергуємо, рухаючись справа наліво при переході через граничні точки:

  5. Залишилось обрати інтервали, де функція додатня, бо за умовою . Такими є інтервали та .

Вiдповiдь. Отже, .

Приклад

Розв’язати нерівність .

Розв’язок.

Многочлен в лівій частині вже розкладений на множники, переходимо до п. алгоритму методу інтервалів.

  1. Граничні точки многочлена: .
  2. Зобразимо їх на числовій прямій.

    Нерівність є нестрогою, інтервали включають кінцеві точки, тому їх зображуємо зафарбованими. Точка має кратність «» — малюємо одну «пелюстку» на числовій осі. Точка має кратність «» — малюємо дві «пелюстки»:

  3. Шукаємо знак функції на правому інтервалі . Підставимо тестове значення «мільярд ».
  4. Всі три множники додатні, функція на цьому інтервалі має додатний знак:

Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:

  • Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою . Такими є інтервали та .
  • До речі, два останніх інтервали можна об’єднати, тому .

    Вiдповiдь. Отже, .

    Розв’яжіть нерівність:

    Граничні точки многочлена:

    Знак функції на правому інтервалі додатний, тому все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний.

    Обираємо інтервали, де функція додатна: