Нерiвностi з параметрами

Точно так само, як і для рівнянь з параметрами, основна концепція при розв’язанні нерівностей з параметрами полягає в наступному:

  1. Знайти «контрольнi» значення параметрiв, при яких у нерівності вiдбуваються якiснi змiни, наприклад, зміна знака на протилежний.
  2. Знайти всi вирази для коренiв нерівності при рiзних значеннях параметрiв.
Приклад
Розв’язати нерівність .

Розв’язок.

Перше «контрольне» значення параметра: .

В такому випадку нерівність перетворюється на раціональну: . Розв’яжемо її:

Вихідна нерівність

Множимо обидві частини на

Спрощуємо
Віднімаємо від обох частин
Спрощуємо
Знаходимо квадратні корені обох частин
Спрощуємо
Записуємо розв'язок у інтервальному вигляді

Зображуємо розв’язок на числовій осі:

Отже, при маємо .

Розглядаємо тепер інші випадки, коли .

У загальному випадку застосуємо метод інтервалів.

  1. Зводимо нерівність до стандартного вигляду або :
  2. Шукаємо граничні точки, для цього розкладаємо многочлени з чисельника і знаменника на множники.
  3. В знаменнику все просто: , в чисельнику: .

    Отже, нерівність можна переписати у вигляді:

  4. Граничні точки чисельника: ; знаменника:
  5. Для того, щоб зобразити ці точки на числовій прямій, розглядаємо два випадки:

    • : тоді має місце співвідношення .
    • : тоді має місце співвідношення .
  6. Шукаємо знак функції на правому інтервалі і потім проставляємо знаки решти інтервалів:
    • : підставляємо тестове значення з правого інтервалу - «мільярд»
    • Три множники додатні, один від’ємний – функція на цьому інтервалі має від’ємний знак.

      Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:

    • : підставляємо тестове значення з правого інтервалу - «мільярд»
    • Два множники додатні, два від’ємні – функція на цьому інтервалі має додатний знак.

      Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:

  7. Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою
    • : обираємо інтервали та .
    • : обираємо інтервали та .
Вiдповiдь.

Запишемо загальний результат:

  • при
  • при ;
  • при .

Які типи критичних значень параметра зустрінуться під час розв'язання нерівності ?

перетворення квадратичного виразу на лінійний рівність дискримінанту нулеві рівність знаменнику нулеві рівність підмодульного виразу нулеві