Дробово-раціональне рівняння

Повернемося до вихідного рівняння. Воно містило змінну в знаменнику дробу, і таке рівняння називається дробовим раціональним.

Визначення
Дробово-раціональне рівняння — це рівняння вигляду , де – многочлени, а – змінна.

Наприклад:

Розв’язувати дробові раціональні рівняння не складніше, ніж звичайні раціональні. Головне – пам’ятати про ОДЗ знаменника.

Алгоритм Дробове раціональне рівняння
  1. Виразити рівняння у вигляді , де – многочлени.
  2. Розв’язати рівняння .
  3. Перевірити знайдені корені, щоб вони задовольняли ОДЗ знаменника: .
Приклад
Знайти корені рівняння .

Розв’язок.

Користуємося вищезазначеним алгоритмом.

  1. Перетворюємо рівняння до вигляду :
  2. Вихідне рівняння
    Додаємо до обох частин та спрощуємо
    Зводимо до спільного знаменника
    Спрощуємо
    Виносимо в чисельнику за дужки
  3. Розв’язуємо рівняння з чисельника:
  4. Вихідне рівняння
    Добуток множників рівний нулю записати як сукупність множників, кожен з яких рівний нулю
    У другому рівнянні віднімемо від обох частин
    Спрощуємо
  5. Тепер поглянемо на знаменник. ОДЗ такого дробу знаходимо з умови . Отже, отримуємо ОДЗ: .
  6. Серед знайдених двох коренів ОДЗ задовольняє лише один .

Вiдповiдь. .

Приклад
Знайти корені рівняння

Розв’язок.

Перед нами дробове раціональне рівняння. Зводимо його до вигляду .

Скористаємося одним трюком. Якщо уважно придивитися до коефіцієнтів квадратних тричленів у рівнянні, можна побачити, що деякі з них збігаються:

Якщо в такому рівняння поділити і чисельник, і знаменник на – можна буде зробити дуже вдалу заміну. Але спочатку треба перевірити, чи не є коренем рівняння, бо на ділити не можна:

Така рівність не справджується, тому можна спокійно ділити і чисельник, і знаменник дробів на :

Ділимо чисельник і знаменник дробів на
Спрощуємо
Робимо заміну
Збираємо всі доданки в лівій частині
Зводимо до спільного знаменника та спрощуємо

Розв’язуємо рівняння з чисельника:

Вихідне рівняння
Шукаємо дискримінант
Дискримінант додатний, шукаємо корені
Спрощуємо та обчислюємо значення коренів

Поглянемо на ОДЗ змінної, знаменник повинен бути відмінним від нуля: . Це дає два заборонених значення змінної: . Обидва знайдені значення задовольняють ОДЗ.

Повертаємося до вихідної змінної і отримуємо ще два дробових раціональних рівняння:

Оскільки раніше ми вже перевірили, що – можемо спокійно домножити обидві частини рівнянь на та розв’язати отримані квадратні рівняння:

Отже, вихідне рівняння має корені .

Вiдповiдь. .

Розв’яжіть рівняння:

Претворимо рівняння до вигляду:

Розв’язуємо рівняння чисельника:

Звернемо увагу на знаменник: .

Отже, відповідь