Раціональні рівняння з параметрами

Точно так само, як і для інших видів рівнянь з параметрами, основна концепція при розв’язанні полягає в такому:

  1. Знайти «контрольнi» значення параметрiв, при яких у рівнянні вiдбуваються якiснi змiни, наприклад, вираз у знаменнику обертається на нуль.
  2. Знайти всi вирази для коренiв рiвняння при рiзних значеннях параметрiв.
Приклад
Розв’язати рівняння .

Розв’язок.

Маємо дробове раціональне рівняння.

Зводимо його до стандратного вигляду :

По-перше, розглянемо «контрольні» значення параметра . Рівняння стане лінійним та матиме один корінь:

При :

При :

Якщо , то рівняння є квадратним. Шукаємо дискримінант:

Наступну контрольну точку шукаємо з умови :

Шукаємо розв’язок при :

В решті випадків, коли , рівняння має два корені:

Розглянемо два випадки для позбавлення значка модуля:

При :

При :

Бачимо, що корені на цих двох проміжках однакові, тому у відповіді будемо це записувати спільним інтервалом для параметра :

При :

Єдине, що залишилось, – відкинути ті корені, які не входять в ОДЗ. Зі знаменника вихідного дробового рівняння

отримуємо умову . Отже, ОДЗ: .

Тепер головне – не заплутатись при відборі коренів. Для одного значення параметра квадратне рівняння дає нам два корені. Маючи ОДЗ для змінної та вирази для коренів, ми можемо знайти саме ті значення параметра , які дають заборонені значення змінної . Такі значення параметра теж будуть «контрольними». Але при цих «контрольних» значеннях один корінь є точно заборонений (звідки ми й знайшли це значення параметра), а ось другий скоріше за все – ні (це треба перевірити).

В результаті для більшості значень параметра у відповіді буде два корені, а для таких «контрольних» значень – лише один (або жодного).

Зараз виконуємо таку послідовність дій:

  1. Шукаємо «контрольні» значеннях параметра, що дають заборонені значення .
  2. Шукаємо дозволені значення другого (іншого з двох) кореня при «контрольних» значення параметра .

Вперед!

  1. Шукаємо «контрольні» значення параметра . Для цього прирівняємо знайдені вирази для коренів по черзі до заборонених значень , та звідти виразимо :
  2. Знайшли три «контрольних» значення параметра .

  3. Шукаємо тепер дозволені значення при «контрольних» значення параметра:
    • При :
    • – заборонене значення, шукаємо :

      – дозволене значення.

    • При :
    • – заборонене значення, шукаємо :

      – дозволене значення.

    • При :
    • – заборонене значення, шукаємо :

      – дозволене значення.

Тепер головне не заплутатись і перерахувати всі розглянуті випадки:

Вiдповiдь.

При

при

при

при

при

при

при

За яких значень параметра рівняння не матиме коренів?