Iррацiональнi рiвняння з квадратним коренем

Визначення
Ірраціональне рівняння — це рівняння, що містить змінну під знаком кореня, або в дробовому степені.

Наприклад: ; ;

Розпочнемо з найпростіших рівнянь, що містять змінну під знаком квадратного кореня, і такий доданок лише один.
Наприклад: .

Основний принцип розв'язання такого рівняння базується на властивості квадратного кореня:

Для того, щоб скористатися цією властивістю потрібно залишити доданок з коренем в одній частині рівняння, а решту доданків зібрати в іншій. Тому такий метод отримав назву метод відкоремлення кореня.

Вихідне рівняння
Віднімаємо від обох частин
Спрощуємо

Тепер час скористатися вищезгаданою властивістю.

Підносимо обидві частини до квадрату
Спрощуємо

Вуаля. Страшний корінь раптом зник, і ми маємо звичайне рівняння.

Віднімаємо від обох частин
Спрощуємо
Алгоритм
  1. Залишити доданок з коренем в одній частині рівняння, а решту доданків зібрати в іншій.
  2. Піднести до квадрату обидві частини рівняння та спростити.
  3. Розв’язати отримане рівняння. Якщо дане рівняння містить доданки з коренем – повторити кроки 1-2.
  4. Перевірити отримані розв’язки підстановкою у вихідне рівняння.
Приклад

Розв’язати рівняння .

Розв’язок.

  1. Залишаємо доданок з коренем на самоті в лівій частині рівняння:
  2. Вихідне рівняння
    Додаємо до обох частин
    Спрощуємо
    Ділимо обидві частини на
    Спрощуємо
  3. Підносимо обидві частини рівняння до квадрату:
  4. Підносимо обидві частини до квадрату
    Спрощуємо
    Віднімаємо від обох частин
    Спрощуємо
  5. Розв’язуємо отримане рівняння:
  6. Вихідне рівняння
    Виносимо спільний множник за дужки
    Переписуємо рівняння у вигляді сукупності двох простіших рівнянь
    Отримуємо розв'язок

    Перевіряємо отримані розв’язки:

    Вихідне рівняння
    Підставляємо замість
    Спрощуємо
    Невірно
    Вихідне рівняння
    Підставляємо замість
    Спрощуємо
    Вірно

Відповідь: .

Побічні корені

За визначенням значення квадратного кореня є завжди додатним. Ця властивість дозволяє швидко оцінити рівняння на наявність коренів. Якщо, раптово, зустрінеться рівняння вигляду

то одразу, не розв'язуючи його можна сказати, що таке рівняння коренів не має. Значення доданку з квадратним коренем не може бути від’ємним , і тому .

Але якщо ми піднесемо обидві частини рівняння до квадрату (слідуючи алгоритму розв’язання):

таке рівняння, на відміну від попереднього, вже має корінь і його значення: .

Такий корінь називають побічним. Він з’явився після піднесення обох частин рівняння до квадрату. Це пов’язано з тим, що рівняння можна отримати піднесенням до квадрату як рівняння , так і рівняння .

Аналогічно, в попередньому прикладі був побічним коренем рівняння. Він не пройшов перевірку підстановкою у вихідне рівняння, і був відсіяний. Тому, будьте уважними під час перевірки знайдених коренів.