Корабль поза горизонтом

Повернемося до корабля на горизонті, що віддаляється. Як тільки він відпливе від вас на км – він візуально торкнеться лінії горизонту. При подальшому віддаленні, корабль почне поступово ховатися за лінією горизонту, і, згодом, зникне повністю.

Відстань, на якій корабль повністю сховається називають дальністю видимості, і залежить вона, від вашої висоти та від висоти корабля. Якщо до Михайла на Землі домалювати Марічку на кораблі, то все стане зрозуміло:

Дальність видимості — це сума відстані до горизонту Михайла та відстані до горизонту Марічки:

де - висота спостерігача у метрах, – висота об’єкту, що спостерігається, а – дальність видимості у кілометрах.

Приклад

Михайло стоїть на узбережжі Чорного моря та спостерігає у підзорну трубу за Марічкою, що знаходиться на палубі корабля. Коли корабль відплив на відстань км від берега – Марічка зникла за лінією горизонту. На якій висоті спостерігав Михайло, якщо Марічка стояла на метрів вище?

Розв’язок.

Скористаємося рівнянням для визначення дальності спостереження . Тоді за висоту Михайла приймемо метрів, висоту Марічки метрів та дальність спостереження км. Отримане рівняння

розв’язуємо за допомогою стандартного алгоритму:

  1. Залишаємо доданок з коренем на самоті в лівій частині рівняння:
  2. Вихідне рівняння
    Ділимо обидві частини на
    Спрощуємо
    Віднімаємо від обох частин
    Спрощуємо
  3. Підносимо обидві частини рівняння до квадрату:
  4. Підносимо обидві частини до квадрату
    Спрощуємо
    Віднімаємо від обох частин
    Спрощуємо
  5. Отримане рівняння знову містить значок кореня. Повторюємо кроки 1 та 2. Залишаємо доданок з коренем на самоті в лівій частині рівняння. Потім підносимо обидві частини рівняння до квадрату і спрощуємо:
  6. Додаємо до обох частин
    Спрощуємо
    Ділимо обидві частини на
    Спрощуємо
    Підносимо обидві частини до квадрату
    Спрощуємо
  7. Перевіримо отриманий розв’язок підстановкою у вихідне рівняння
  8. Вихідне рівняння
    Підставляємо замість
    Вірно

Отже Михайло знаходився на висоті, трошки більшій, ніж метри.

Відповідь: метри

Перевірка коренів та ОДЗ

В попередніх прикладах ми завжди робили перевірку знайдених коренів підстановкою. Це пов’язано з тим, що піднесення рівняння до парного степеня спричиняє появу побічних коренів, які, звичайно, треба відсіяти. При піднесенні рівняння до непарного степеня таку підстановку можна не робити.

Але інколи рівняння є громіздкими і від перевірки підстановкою стає «дуже болісно». В цих випадках стає в нагоді знаходження ОДЗ рівняння окремо, а потім перевірка знайдених коренів на відповідність допустимим значенням.

В квадратних рівняннях може виникнути два типи обмеження ОДЗ, які виникають безпосередньо з визначення арифметичного кореня:

  • підкореневий вираз не може бути від’ємним
  • значення кореня не може бути від’ємним

З цих двох умов можна скласти систему нерівностей для змінної рівняння, і, розв’язавши її, отримати ОДЗ.

Після цього залишається лише перевірити знайдені корені рівняння на відповідність ОДЗ, і підставляти в рівняння вже нічого не треба.

Ще раз наголошую, що це стосується лише коренів парного степеня. Для коренів непарного степеня нічого подібного робити не потрібно – просто розв’язати рівняння і все.

Приклад

Розв’язати рівняння .

Розв’язок.

Знайдемо область допустимих значень рівняння. Пам’ятаємо, що підкореневі вирази завжди невід’ємні для кореня парного степеня, тому складаємо систему нерівностей:

ОДЗ готове.

Отже, зі знайдених далі розв’язків ми залишимо лише ті, що потрапляють у інтервал .

Тепер розв’язуємо саме рівняння за стандартним алгоритмом:

  1. Залишаємо доданок з коренем на самоті в лівій частині рівняння:
  2. Вихідне рівняння
    Віднімаємо від обох частин
    Спрощуємо
  3. Підносимо обидві частини рівняння до квадрату:
  4. Підносимо обидві частини до квадрату
    Спрощуємо
    Віднімаємо від обох частин
    Спрощуємо
  5. Отримане рівняння знову містить значок кореня. Повторюємо кроки 1 та 2. Залишаємо доданок з коренем на самоті в правій частині рівняння. Потім підносимо обидві частини рівняння до квадрату і спрощуємо:
  6. Ділимо обидві частини на
    Спрощуємо
    Підносимо обидві частини до квадрату
    Спрощуємо
    Віднімаємо від обох частин
    Спрощуємо
    Шукаємо дискримінант
    та корені рівняння
  7. Тепер перевіряємо корені на відповідність ОДЗ замість підстановки. Для цього потрібно прикинути значення коренів. Квадратний корінь з – ірраціональне число. Ми точно знаємо, що воно лежить між і , бо , а , при чому набагато ближче до . Візьмемо приблизно :

За ОДЗ корені мусять лежати приблизно в межах від до . Наші обидва знайдені значення потрапляють у дозволений інтервал, тому є коренями вихідного рівняння.

Відповідь: .