Метод відокремлення кореня

Спробуємо застосувати метод відокремлення кореня для нерівності

Спочатку залишаємо доданок з коренем на самоті в лівій частині рівняння:

Вихідна нерівність
Віднімаємо від обох частин
Спрощуємо

Поглянемо на отриману нерівність . За визначенням арифметичного кореня підкореневий вираз та значення кореня є завжди невід’ємними. Тоді область допустимих значень буде визначатись ось такою системою:

Точно так само, як і в рівняннях, ми тепер можемо підносити обидві частини до квадрата, і в результаті отримаємо систему з трьох нерівностей:

Остання нерівність спрощується до . З властивостей парного степеня (див. Лекцію 3) ми знаємо, що число у парному степені завжди невід’ємне.
Тому .

Умова з першої нерівності системи автоматично міститься у третій, тому її можна забрати:

Далі ця система рівнянь розв’язується легко і швидко (див. Лекцію 9).
Розв’язуємо кожну з нерівностей окремо:

Зобразимо ці розв’язки на числовій прямій: /Картинка з інтервалами/

В результаті перетину двох множин розв’язків отримаємо

Але існує ще один випадок (!) який ми не розглянули, де можуть міститися розв’язки системи.

Ми виходили з припущення про те, що значення кореня є невід’ємним, так з’явилась нерівність . А що ж буде з нерівністю, якщо вираз буде від’ємним? З’ясуймо це.

Значення кореня за визначенням є завжди невід’ємним. Тому якщо праворуч стоїть від’ємний вираз, нерівність все одно справдиться, бо значення кореня завжди більше від будь-якого від’ємного числа:

Якщо ж поглянути на нерівність то вона справджується за будь-яких значень, коли підкореневий вираз задовольняє ОДЗ:

В результаті маємо систему нерівностей:

Розв’язуємо кожну з нерівностей окремо:

Зобразимо ці розв’язки на числовій прямій: /Картинка з інтервалами/

В результаті перетину двох множин розв'язків маємо

Розглянувши два випадки, ми отримали дві множини розв’язків: та Після об’єднання отримуємо відповідь.

/Картинка з інтервалами/

Вiдповiдь.

Тепер давайте розглянемо нерівність:

Застосуємо метод відокремлення кореня. За визначенням арифметичного кореня підкореневий вираз та значення кореня є завжди невід’ємними. Через останню умову вираз в правій частині повинен бути додатним (нулем він бути не може, бо нерівність є строгою). Тоді область допустимих значень буде визначатись ось такою системою:

Точно так само, як і в рівняннях ми тепер можемо підносити обидві частини до квадрата, і в результаті отримаємо систему з трьох нерівностей:

Розв’яжемо кожну з нерівностей окремо.

Спочатку першу:

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

Дискримінант від’ємний – рівняння не має коренів. З урахуванням того, що коефіцієнт при додатний, ця нерівність справджуватиметься завжди.

Продовжуємо розв’язувати другу та третю нерівності:

Зобразимо ці розв’язки на числовій прямій: /*Картинка з інтервалами*/

Знаходимо перетин множин розв’язків та отримуємо відповідь.

Вiдповiдь.

Наостанку, спробуємо розв’язати нерівність з кубічним коренем:

Починаємо відокремлювати корінь:

Вихідна нерівність
Віднімаємо від обох частин
Спрощуємо
Підносимо до куба обидві частини. Ніяких обмежень ОДЗ немає, бо це корінь непарного степеня
Спрощуємо
Збираємо всі доданки в лівій частині нерівності та спрощуємо

Розв’яжемо отриману нерівність методом інтервалів.

Шукаємо нулі функції для цього розв'яжемо кубічне рівняння
(див. Лекцію 7). Можливими коренями можуть бути дільники вільного доданка Згадаємо теорему Безу, та по черзі підставимо можливі значення кореня в рівняння. Таким коренем буде

Тепер за схемою Горнера розділимо на Для цього запишемо табличку з коефіцієнтами. Перший коефіцієнт копіюємо:

І починаємо заповнювати табличку за правилом: крайнє справа число множиться на та додається до числа, що стоїть над порожньою клітинкою:

В результаті ми отримали розклад на множники багаточлена

Спробуємо тепер знайти розв’язки рівняння Шукаємо дискримінант – отже, рівняння коренів не має.

Отже, функція має єдиний нуль у точці Відкладемо це значення на числовій осі та шукаємо знак функції на правому інтервалі

/Картинка з інтервалами/

Беремо наше тестове значення .

/Картинка з інтервалами/

Обидва множники додатні, функція на цьому інтервалі має додатний знак. На іншому інтервалі буде, відповідно, протилежний знак. Отже, відповіддю буде інтервал

/Картинка з інтервалами/

Вiдповiдь.

Рівносильні переходи

Тепер трошки поговоримо про рівносильні переходи – те, що ми використуємо під час розв’язку будь-яких нерівностей. Узагальнимо наш метод розв’язку з попереднього прикладу.

Для ірраціональних нерівностей парного степеня вигляду

  • справедливий рівносильний перехід:

  • справедливий рівносильний перехід:

  • справедливий рівносильний перехід:

Для ірраціональних нерівностей непарного степеня ніяких обмежень ОДЗ наявність ірраціональності не додає, тому можна користуватись рівносильними переходами:

Ці види рівносильних переходів краще не запам’ятовувати за формою, а зрозуміти як вони з’явились – і тоді їх можна буде вивести самостійно – як ми це зробили у трьох прикладах вище.

Закріпимо описану концепцію в пам’яті декількома прикладами.

Приклад
Розв’язати нерівність

Розв’язок.

Скористаємось рівносильним переходом:

Тоді нерівність перетвориться на таку систему нерівностей:

Розглянемо кожну з двох систем нерівностей окремо, а потім об’єднаємо їхні розв’язки.

Почнемо з першої системи де є дві нерівності, що розв’язуються таким чином:

Тепер зобразимо ці два розв’язки на числовій прямій та шукаємо їхній перетин:

/*Картинка з інтервалами*/

Отримали розв’язок

Тепер розв’язуємо другу систему точно так само:

Тепер зобразимо ці два розв’язки на числовій прямій та шукаємо їхній перетин:

/*Картинка з інтервалами*/

Ці інтервали не перетинаються, ми отримали порожню множину .

Об’єднавши розв’язки двох систем, отримаємо відповідь:

/*Картинка з інтервалами*/

Вiдповiдь.

Приклад
Розв’язати нерівність

Розв’язок.

Скористаємось рівносильним переходом

Тоді нерівність перетвориться на таку систему нерівностей:

Розглянемо кожну з нерівностей окремо, а потім знайдемо перетин їхніх розв’язків. Перша нерівність системи перетворюється на . Розглянемо окремо другу і третю нерівності:

Тепер зобразимо всі розв’язки на числовій прямій та шукаємо їхній перетин:

/*Картинка з інтервалами*/

Отримали розв’язок

Вiдповiдь.