Дробово-рацiональнi вирази

Визначення
Дробово-раціональним називають вираз вигляду , де - многочлени.
Визначення
Область допустимих значень (ОДЗ) – множина значень змінних виразу, при яких цей вираз визначений та має сенс. Розглянемо дріб : многочлен , що стоїть у знаменнику, не може дорівнювати нулеві (бо на нуль ділити не можна). Таким чином ОДЗ такого виразу — будь-які значення змінних, окрім тих, при яких .
Приклад

Знайти ОДЗ виразу

Розв’язок.

Продивимось «проблемні» зони цього виразу – знаменники, вони не повинні бути рівними нулеві. Із першого множника чисельника знаходимо, що вносимо цей вираз до ОДЗ. Із загального знаменника бачимо, що Розкладаємо на множники: Отже, вносимо це до ОДЗ. Загалом, маємо ОДЗ:

Вiдповiдь.

Поняття ОДЗ будемо використовувати надалі при розгляді ірраціональних виразів, рівнянь та нерівностей.

Дії з дробово-раціональними виразами:

* Зведення до спільного знаменника, додавання, віднімання, множення та ділення дробово-раціональних виразів підпорядковуються тим самим правилам, що й звичайні дроби. * Множення/ділення чисельника і знаменника одночасно на одне й те саме число (скорочування спільних множників для чисельника і знаменника). При цьому важливо не забувати про ОДЗ після скорочення (воно лишається навіть у тому разі, коли вираз, який його давав, скоротився).
Визначення

Рівність дробу нулеві. Дріб дорівнює нулеві за умови, що вираз у чисельнику рівний нулеві, а вираз у знаменнику відмінний від нуля:

Приклад

Знайдемо, за яких значень виконується рівність

Розв’язок.

З умови рівності дробу нулеві прирівнюємо чисельник нулеві та перевіряємо, щоб знаменник був відмінний від нуля (це і є ОДЗ).
ОДЗ:
Чисельник рівний нулеві, якщо хоча б один з множників дорівнює нулю:

Перевіряємо, чи задовольняють знайдені значення ОДЗ. В результаті даний в умові дробово-раціональний вираз рівний нулеві лише при

Вiдповiдь.

Знайдіть ОДЗ виразу:

Із першого множника чисельника знаходимо, що .
Із загального знаменника бачимо, що .
Розкладаємо на множники: .
Отже, .

При якому значенні справджується рівність:

Знайдемо ОДЗ: .
Рівність дробу нулю справджується при .
Отже, єдиною відповіддю є .