Рівняння та його корені

Загальні відомості

Визначення
Алгебраїчне рівняння — це рівність вигляду , де — многочлен від змінних , які ще називають невідомими.

Степенем рівняння називають степінь многочлена .

Наприклад: — алгебраїчне рівняння п’ятого степеня від двох змінних.

Надалі будемо розглядати рівняння від однієї змінної. Як правило, ця змінна позначається .

Визначення
Корінь рівняння — це значення змінної , при якому рівняння перетворюється на правильну рівність: . Таких значень може бути декілька.

Розв’язати рівняння означає знайти множину всіх його розв’язків (коренів) або ж довести, що коренів немає. Множина коренів може мати один, два, три і т.д. елементів, може бути порожньою множиною (), або ж нескінченою множиною ().

Рівняння не може мати більше коренів, ніж степінь цього рівняння.

Приклад

1. Рівняння має один корінь: .

2. Рівняння має три корені: та . Кожне з цих значень перетворює добуток на нуль, а при будь-яких інших значеннях — ні.

3. Рівняння не має коренів, бо права частина при будь-яких значеннях буде меншою за ліву.

4. Рівняння має нескінченну кількість коренів, бо після розкриття дужок ліва частина рівняння дорівнюватиме правій при будь-яких значеннях .

Визначення
Область визначення рівняння — це ОДЗ змінної рівняння, тобто множина значень змінної, при яких обидві частини рівняння є змістовними.

Рівносильними називають рівняння, множини розв’язків яких збігаються. Між рівносильними рівняннями ставлять значок .

Наприклад: рівняння та мають одні й ті самі корені: та . Тому можна записати .

Скільки коренів має рівняння ?

Скільки коренів має рівняння ?