Метод підбору коренів

Теорема
Якщо рівняння з цілими кофіцієнтами має цілі корені (-корені), то вони є дільниками вільного доданка цього рівняння.
Доведення

Нехай — цілий корінь рівняння — цілі числа. Тоді виконується рівність:

Виразимо вільний доданок :

З останньої рівності випливає, що ціле число є дільником цілого вільного доданка .

Алгоритм Розв'язання рівнянь вищих степенів
  1. Знайти множину дільників вільного доданка .
  2. За т. Безу перевірити, чи є коренями дільники .
  3. Якщо знайдений корінь , розділити за схемою Горнера чи методом кута многочлен на двочлен . Часткою буде многочлен степеня : .
  4. Шукати корені рівняння , користуючись п.1-4, які теж є коренями вихідного рівняння (якщо такі є).
Приклад

Розв’язати рівняння .

Розв'язок.

  1. Знаходимо множину дільників вільного доданка : , , , , , , , .

  2. Перевіряємо, чи є коренями знайдені дільники за схемою Горнера (працюємо завжди з верхнім рядком):

    не є коренем
    є коренем
    є коренем
    не є коренем

    Інші дільники перевіряти немає сенсу — вже два корені відомі, тому після ділення отримаємо квадратне рівняння, яке легко розв’язується.

    Отже, та — корені рівняння.

    Тому далі необхідно розділити многочлен на .

  3. З таблиці вище дістаємо, що частка від ділення многочлена на :

    Маємо . Залишилось розділити на .

  4. Ділимо многочлен за схемою Горнера на :

    Частка від ділення: .

    Маємо .

  5. Розв’яжемо квадратне рівняння .

    Шукаємо дискримінант: , отже, рівняння має два дійсних корені:

    Таким чином всі корені знайдені, а многочлен можна записати як:

Відповідь. .

Яке з наведених чисел НЕ МОЖЕ бути коренем рівняння ?