Метод заміни змінної

Цей метод вже використовували для розв’язання біквадратних рівнянь.

В загальному випадку метод заміни змінної полягає ось у чому:

  1. Для розв’язання рівняння вводимо нову змінну .
  2. Після цього виражається через , і в результаті записують нове рівняння . Заміна повинна бути такою, щоб рівняння було простішим у розв’язанні за вихідне .
  3. В результаті розв’язання нового рівняння знайдені корені .
  4. Тепер розв'язуємо сукупність рівнянь:
  5. В результаті розв’язання всіх рівнянь сукупності знаходять множину розв’язків вихідного рівняння : .

Універсальних правил для відшукання заміни немає, все залежить від конкретного прикладу.

Приклад

Розв’язати рівняння .

Розв'язок.
Покладемо , тоді вихідне рівняння зводиться до:

За т. Вієта, . Ці умови задовольняють корені: .

Тепер, повернувшись до вихідної змінної, потрібно розв’язати сукупність рівнянь:

Відповідь.


Якщо у рівняннях вигляду виконується рівність або інших пар цих чисел, зручно розкрити дужки, згрупувавши множники попарно (при рівності — перший з другим, та третій з четвертим) та скористатись заміною вигляду: .

Приклад

Розв’язати рівняння .

Розв'язок.
Розкриємо дужки, групуючи перший множник з третім та другий з останнім. Рівняння набуде вигляду:

Робимо заміну , отримуємо таке рівняння:

За т. Вієта, . Ці умови задовольняють корені: .

Тепер, повернувшись до вихідної змінної, потрібно розв’язати сукупність рівнянь:

Розв’язуємо перше рівняння: .

Шукаємо дискримінант: , отже, рівняння має два дійсних корені:

Переходимо до другого рівняння: .

Шукаємо дискримінант: , отже, рівняння має два дійсних корені:

Відповідь.

Якою заміною скористатись при розв’язанні рівняння ?