Теорема Безу та схема Горнера

При розв’язанні цілих рівнянь вищих степенів знадобиться знання теореми Безу та схеми Горнера для ділення многочлена на двочлен.

Теорема Безу
Остача від ділення многочлена на двочлен рівна .

Доведення

Нехай остача від ділення многочлена на двочлен рівна , а частка — многочлен . Тоді можна записати:

Підставивши у многочлен , маємо:

це доводить теорему.

Алгоритм Схема Горнера
  1. Записати таблицю з двох рядків.
  2. У верхньому записують всі коефіцієнти многочлена (повинен бути записаний у стандартному вигляді).
  3. Старший коефіцієнт дублюється в нижній рядок, а зліва від нього записують .
  4. Нижній рядок заповнюють за таким правилом: крайнє справа число множиться на та додається до числа, що стоїть над порожньою клітинкою.
  5. Отриманий результат записують у порожню клітинку.

Продемонструємо процес складання таблиці на попередньому прикладі: знайти остачу від ділення многочлена на

Записуємо таблицю з двох рядків. У верхньому записуємо всі коефіцієнти многочлена . Старший коефіцієнт дублюється в нижній рядок, а зліва від нього записуємо :

Тепер заповнюємо порожні клітинки нижнього рядка:

  • перша: + ,
  • друга: ,
  • третя: ,
  • четверта: ,
  • п’ята: .

Як бачимо, можна тоді записати

Якою буде остача від ділення на ?

Перший член частки , тоді маємо:
Другий член частки , тоді маємо:
Третій член частки , тоді маємо:
Четвертий член частки , тоді маємо остачу: