Метод заміни змінної

Інколи зручно зробити заміну змінних, але її вигляд залежить від конкретного прикладу.

Часто користуються заміною:

Приклад

Розв’язати систему рівнянь

Розв’язок.

Зробимо заміну змінних:

Перетворимо вирази з лівої частини першого рівняння:

Тепер можна записати:

Скористаємось методом додавання: помножимо друге рівняння на та додамо до першого:

Розв’яжемо перше рівняння та знайдемо .

За т. Вієта

Ці умови задовольняють корені:

Тепер потрібно розв’язати дві системи рівнянь:

  1. Тут можна скористатись методом підстановки, але простіше — згадати т. Вієта. Нехай та — корені квадратного рівняння:

    Шукаємо дискримінант: , отже, рівняння не має дійсних коренів: . Отже, така система є несумісною.

  2. Тут також скористаємося т. Вієта, як і в попередньому випадку. Нехай та — корені квадратного рівняння:

    Маємо два рівних корені:

Відповідь.

Приклад

Розв’язати систему рівнянь:

Розв’язок.

Робимо рівносильні переходи:

Зробимо заміну змінних:

Перетворимо вирази з лівої частини першого рівняння:

Тепер можна записати:

Підставляємо в перше рівняння:

Шукаємо дискримінант: , отже, рівняння має два дійсних корені:

Від’ємний корінь відкидаємо, бо — завжди невід’ємна величина.

В результаті:

Скористаємось методом додавання: помножимо друге рівняння на , а тоді додамо і віднімемо від першого рівняння:

Потрібно розглянути чотири випадки:

  1. :

    Складаємо та віднімаємо рівняння:

  2. :

    Складаємо та віднімаємо рівняння:

  3. :

    Складаємо та віднімаємо рівняння:

  4. :

    Складаємо та віднімаємо рівняння:

Відповідь.

Якою заміною доречно скористатись під час розв’язання системи рівнянь?