Лiнiйнi нерiвностi

Визначення
Лінійна нерівність з однією змінною — це нерівність вигляду або або або , де – змінна, а числа і – відомі.


Повернемося до нашого прикладу з мобільним зв’язком: Скільки Мб інтернет-трафіку може використати Сашко з бюджетом грн.? На це питання можна відповісти, розв’язавши нерівність

відносно змінної . Метод розв’язання майже такий самий, як і для рівняння

Нашою метою є залишити «на самоті» в лівій частині:

Вихідна нерівність
Віднімаємо від обох частин
Спрощуємо
Ділимо обидві частини нерівності на
Спрощуємо

Отже, на місяць, маючи грн і тариф «Шалений день», Сашко може витрачати МБ мобільного інтернету. Ми розпочали з нерівності та перейшли до рівносильної нерівності .

Алгоритм Pозв’язання лінійних нерівностей
  1. Спростити обидві частини нерівності.
  2. Зібрати всі доданки, що містять в одній частині нерівності (як правило лівій), а всі вільні доданки – в іншій.
  3. Розділити обидві частини нерівності на коефіцієнт при змінній .
  4. Записати відповідь в інтервальному представленні та зобразити її на числовій прямій.
Приклад

Розв’язати нерівність: .

Розв’язок.

Спрощувати тут вже нема чого, всі доданки з в лівій частині, вільні доданки – у правій. Переходимо відразу до пункту : необхідно розділити обидві частини нерівності на коефіцієнт при змінній та спростити отриманий вираз.

Вихідна нерівність
Ділимо обидві частини на

Спрощуємо

Єдине, що залишилось – записати відповідь в інтервальному представленні та зобразити її на числовій прямій:

Вiдповiдь. .

Приклад

Розв’язати нерівність: .

Розв’язок.

Всі доданки з вже розміщені в правій частині, збираємо всі вільні доданки в лівій:

Вихідна нерівність
Віднімаємо від обох частин
Спрощуємо

Ділимо обидві частини на коефіцієнт при змінній:

Ділимо обидві частини на та змінюємо знак нерівності на протилежний
Спрощуємо

Тепер записуємо відповідь в інтервальному представленні та зображаємо її на числовій прямій:

Вiдповiдь. .

Приклад

Розв’язати нерівність: .

Розв’язок.

Розкриваємо дужки та забираємо змінну в лівій частині нерівності:

Вихідна нерівність
Розкриваємо дужки в лівій частині
Віднімаємо від обох частин
Спрощуємо

Всі вільні доданки залишаємо в правій частині нерівності:

Додаємо до обох частин
Спрощуємо

Ділимо обидві частини на коефіцієнт при змінній:

Ділимо обидві частини на
Спрощуємо

Записуємо відповідь в інтервальному представленні та зображаємо її на числовій прямій:

Вiдповiдь. .

Приклад

Розв’язати нерівність: .

Розв’язок.

Розкриваємо дужки та спрощуємо вирази в лівій частині нерівності:

Вихідна нерівність

Множимо обидві частини на

Розкриваємо дужки

Спрощуємо
Розкриваємо дужки
Спрощуємо

Збираємо всі доданки зі змінною в лівій частині, а вільні доданки – в правій:

Віднімаємо від обох частин
Спрощуємо
Віднімаємо від обох частин
Спрощуємо

Ділимо на коефіцієнт при змінній:

Ділимо обидві частини на та змінюємо знак нерівності на протилежний
Спрощуємо

Записуємо відповідь в інтервальному представленні та зображаємо її на числовій прямій:

Вiдповiдь. .


Розв'язати нерівність:

Розкриємо дужки і спростимо нерівність:

Помножимо обидві частини нерівності на , при цьому знак нерівності зміниться на протилежний:

Розв'язати нерівність:

Pозкриємо дужки і спростимо нерівність:

Помножимо обидві частини нерівності на :