Нерiвностi з модулями

Розглянемо простеньку нерівність:

Розкриємо знак модуля за означенням:

Для додатних значень значок модуля забираємо: .

Для від’ємних значень при розкритті модуля потрібно помножити підмодульний вираз на :

В результаті маємо дві умови, що повинні виконуватися одночасно:


Можна піти простішим шляхом: нерівність задовольняють значення , що лежать на відстані менше від на числовій прямій:

Тобто можна переписати таку нерівність у вигляді: . Отримали таку саму відповідь. Одне рівняння з модулем еквівалентне системі двох нерівностей без значків модуля.

Тепер розглянемо іншу нерівність:

Розв’язком такого рівняння будуть ті значення , що лежать на відстані і більше від :

Аналогічно, таке рівняння можна представити у вигляді сукупності двох рівнянь без значків модуля:

Алгоритм

Всі нерівності з модулями можна звести до таких трьох випадків:

Для нестрогих нерівностей все працює точно так само.

Приклад

Межі коливання середньої місячної температури повітря за рік в м. Києві описуються такою нерівністю: . Знайдіть максимальне та мінімальне значення середньої місячної температури у році.

Розв’язок.

Позбавляємося значка модуля:

Розв'язуємо отриману нерівність:

Вихідна нерівність
Додаємо до всіх трьох частин
Спрощуємо

Зображаємо це на числовій прямій:

Вiдповiдь. ;

Приклад

Розв’язати нерівність: .

Розв’язок.

Позбавляємося значка модуля:

Розв’язуємо два рівняння сукупності окремо:

Вихідний вираз
Розкриваємо дужки
Спрощуємо
Додаємо до обох частин
Спрощуємо
Ділимо обидві частини на
Спрощуємо
Вихідний вираз
Розкриваємо дужки
Спрощуємо
Додаємо до обох частин
Спрощуємо

Зобразимо ці розв’язки на числовій прямій та знайдемо їхнє об’єднання:

Вiдповiдь.

Розв'яжіть нерівність:

Розкриємо модуль з додатним знаком:

Розкриємо модуль з від'ємним знаком:

Об'єднання інтервалів і буде розв'яззком: