# Зміст 1. [Вступне слово](/vstup) 2. [Арифметика](/chislovi_mnozhini) 1. [Числові множини](/chislovi_mnozhini) 2. [Прості та складені числа](/chislovi_mnozhini/prosti_ta_skladeni_chisla) 3. [Ознаки подiльностi натуральних чисел](/chislovi_mnozhini/oznaki_podilnosti_naturalnih_chisel) 4. [Дроби та дiї над ними](/chislovi_mnozhini/drobi_ta_di_nad_nimi) 5. [Модуль числа](/chislovi_mnozhini/modul_chisla) 3. [Пропорції та відсотки](/proports) 1. [Пропорції](/proports) 2. [Відсотки](/proports/vdsotki) 3. [Розв’язання задач на спiльну виконану роботу (задачi на продуктивнiсть)](/proports/rozvyazannya_zadach_na_spilnu_vikonanu_robotu_zadachi_na_produktivnist) 4. [Одночлени та многочлени](/stepin_z_tsilim_pokaznikom) 1. [Степiнь з цiлим показником](/stepin_z_tsilim_pokaznikom) 2. [Одночлен](/stepin_z_tsilim_pokaznikom/odnochlen) 3. [Многочлен](/stepin_z_tsilim_pokaznikom/mnogochlen) 4. [Дiї над многочленами](/stepin_z_tsilim_pokaznikom/di_nad_mnogochlenami) 5. [Формули скороченого множення](/stepin_z_tsilim_pokaznikom/formuli_skorochenogo_mnozhennya) 6. [Розкладання многочлена на множники](/stepin_z_tsilim_pokaznikom/rozkladannya_mnogochlena_na_mnozhniki) 7. [Бiном Ньютона](/stepin_z_tsilim_pokaznikom/binom_nyutona) 5. [Корiнь та його властивостi](/drobovo-ratsionalni_virazi) 1. [Дробово-рацiональнi вирази](/drobovo-ratsionalni_virazi) 2. [Квадратний корiнь та його основнi властивостi](/drobovo-ratsionalni_virazi/kvadratnii_korin_ta_iogo_osnovni_vlastivosti) 3. [Корінь n-го степеня та його основні властивості](/drobovo-ratsionalni_virazi/korn_n-go_stepenya_ta_iogo_osnovn_vlastivost) 4. [Ірраціональні вирази](/drobovo-ratsionalni_virazi/rratsonaln_virazi) 1. [Доповнюючий множник](/drobovo-ratsionalni_virazi/rratsonaln_virazi/dopovnyuyuchii_mnozhnik) 2. [Звiльнення вiд iррацiональностi у знаменнику (чисельнику) iррацiонального дробу](/drobovo-ratsionalni_virazi/rratsonaln_virazi/zvilnennya_vid_irratsionalnosti_u_znamenniku_chiselniku_irratsio) 3. [Доповнюючi множники для основних типiв iррацiональностей у знаменнику (чисельнику)](/drobovo-ratsionalni_virazi/rratsonaln_virazi/dopovnyuyuchi_mnozhniki_dlya_osnovnih_tipiv_irratsionalnostei_u_zna) 5. [Додаток](/drobovo-ratsionalni_virazi/dodatok) 6. [Показниковi та логарифмiчнi тотожностi](/pokaznikovi_totozhnosti) 1. [Показниковi тотожностi](/pokaznikovi_totozhnosti) 2. [Логарифм](/pokaznikovi_totozhnosti/logarifm) 3. [Логарифмiчнi тотожностi](/pokaznikovi_totozhnosti/logarifmichni_totozhnosti) 4. [Логарифмування та потенцiювання](/pokaznikovi_totozhnosti/metodi_rozvyazannya_zadach_logarifmuvannya-_potentsiyuvannya) 7. [Лiнiйнi та квадратнi рiвняння](/zagaln_vdomost-1) 1. [Рівняння та його корені](/zagaln_vdomost-1) 1. [Загальні відомості](/zagaln_vdomost-1) 2. [Основні властивості рівнянь](https://github.com/edera/ederabookmath/tree/0feebf02ff3805aba85a5b70e74bfe17c5d38cf9/6/osnovn_vlastivost_rvnyan.md) 2. [Лiнiйнi рiвняння](/zagaln_vdomost-1/liniini_rivnyannya) 3. [Квадратнi рiвняння](/zagaln_vdomost-1/zagaln_vdomosti_kvadratni) 1. [Загальні відомості](/zagaln_vdomost-1/zagaln_vdomosti_kvadratni) 2. [Неповні квадратні рівняння](/zagaln_vdomost-1/zagaln_vdomosti_kvadratni/nepovn_kvadratn_rvnyannya) 3. [Повне квадратне рівняння та дискримiнант](/zagaln_vdomost-1/zagaln_vdomosti_kvadratni/povne_kvadratne_rvnyannya_ta_diskriminant) 4. [Факторизація квадратного рівняння (розкладання на множники)](/zagaln_vdomost-1/zagaln_vdomosti_kvadratni/faktorizatsya_kvadratnogo_rvnyannya_rozkladannya_na_mnozhniki) 5. [Теорема Вiєта](/zagaln_vdomost-1/zagaln_vdomosti_kvadratni/teorema_vita) 4. [Бiквадратнi рiвняння, та рівняння, що зводяться до квадратних](/zagaln_vdomost-1/bikvadratni_rivnyannya-_ta_rvnyannya-_scho_zvodyatsya_do_kvadratnih) 8. [Iншi види цiлих рiвнянь](/teorema_bezu) 1. [Теорема Безу та Схема Горнера](/teorema_bezu) 2. [Цiлi рацiональнi рiвняння вищих степенів](/teorema_bezu/tsili_ratsionalni_rivnyannya_vischih_stepenv) 1. [Метод підбору коренів](/teorema_bezu/tsili_ratsionalni_rivnyannya_vischih_stepenv/metod_pdboru_korenv) 2. [Метод заміни змінної](/teorema_bezu/tsili_ratsionalni_rivnyannya_vischih_stepenv/metod_zamni_zmnno) 3. [Рiвняння з модулями](/teorema_bezu/prost_rvnyannya_z_modulyami) 1. [Метод інтервалів](/teorema_bezu/prost_rvnyannya_z_modulyami/metod_ntervalv) 4. [Рівняння з параметрами](/teorema_bezu/rvnyannya_z_parametrami) 1. [Лінійне рiвняння з параметрами](/teorema_bezu/rvnyannya_z_parametrami/lnine_rvnyannya_z_parametrami) 2. [Квадратне рівняння з параметрами](/teorema_bezu/rvnyannya_z_parametrami/kvadratne_rvnyannya_z_parametrami) 9. [Системи алгебраїчних рiвнянь](/zagaln_vdomost) 1. [Системи рівнянь з двома змінними](/zagaln_vdomost) 2. [Метод підстановки](/zagaln_vdomost/metod_pdstanovki) 3. [Метод алгебраїчного додавання](/zagaln_vdomost/metod_algebrachnogo_dodavannya) 4. [Метод заміни змінної](/zagaln_vdomost/metod_zamni_zmnno) 10. [Цілі нерівності](/zagaln_vdomost_pro_nervnost) 1. [Основні властивості](/zagaln_vdomost_pro_nervnost/osnovn_vlastivost) 2. [Лiнiйнi нерiвностi](/zagaln_vdomost_pro_nervnost/liniini_nerivnosti) 3. [Система та сукупність нерівностей](/zagaln_vdomost_pro_nervnost/sistema_ta_sukupnst_nervnostei) 4. [Нерiвностi з модулями](/zagaln_vdomost_pro_nervnost/nerivnosti_z_modulyami) 11. [Метод інтервалів](/ratsonaln_nervnost) 1. [Метод інтервалів](/ratsonaln_nervnost/metod_ntervalv) 2. [Дробово-рацiональнi нерiвності](/ratsonaln_nervnost/drobovo-ratsionalni_nerivnost) 3. [Нерiвностi з параметрами](/ratsonaln_nervnost/nerivnosti_z_parametrami) 12. [Дробово-раціональні рівняння](/zagaln_vdomost-2) 1. [Дробово-раціональне рівняння](/zagaln_vdomost-2/drobovo-ratsonalne_rvnyannya) 2. [Раціональні рівняння з параметрами](/zagaln_vdomost-2/ratsonaln_rvnyannya_z_parametrami) 13. Ірраціональні рівняння 1. Корабель на горизонтi 2. Iррацiональнi рiвняння з квадратним коренем 3. Корабль поза горизонтом 14. Ірраціональні нерівності 1. Методологiя розв’язання в залежностi вiд парності/непарностi степеня кореня 2. Метод iнтервалiв для iррацiональних нерiвностей 3. Нерiвностi з параметрами 15. Показникові рівняння 1. Зведення до однiєї основи 2. Винесення множника 3. Рiвняння особливих видiв 4. Використання властивостей функцiй (монотонностi) 5. Показниково - степеневi рiвняння 6. Рiвняння з параметрами 7. Системи рівнянь 16. Показникові нерівності 1. Властивостi показникової функцiї та класифікація типiв задач 2. Методи розв’язання окремих типiв задач 3. Степенево - показниковi нерiвностi 17. Логарифмічні рівняння 1. Логарифмiчнi рiвняння 2. Логарифмування та потенцiювання 3. Використання логарифмiчних тотожностей для розв’язання окремих типiв задач 4. Системи рівнянь 18. Логарифмічні нерівності 1. Використання властивостей логарифмiв для розв’язання рiзних типiв задач 2. Замiна змiнної в логарифмiчних нерiвностях 3. Показниково-логарифмiчнi нерiвностi 4. Нерiвностi з параметрами # Вступне слово Інтерактивні книги на проекті складаються з авторського структурованого теоретичного матеріалу, вбудованих відео та запитань, відповіді на які оброблюються миттєво. У запитання іноді вбудовано підказки для того, щоб читач міг глибше вивчити конкретну тему. У книзі часто застосовано стилізовані блоки, такі як «означення», «авторський алгоритм», «задача» тощо. Звертайте на них увагу. Визначення **Проект EdEra Books** — соціальний проект інтерактивної освітньої літератури, створений на базі проекту EdEra (ed-era.com). Проект створюють випускники і студенти престижних університетів України та Європи, професіонали й експерти для української молоді та всіх, хто прагне здобувати якісні знання, набувати фахових навичок за допомогою новітніх технологій. ## Технічні можливості Зліва на кожній сторінці ви бачите зміст книги. За допомогою кнопки на панелі (1) зміст можна приховувати та відкривати знову. На цій панелі є кнопка у формі букви «А». Натиснувши на неї, ви відкриєте меню, в якому можна змінювати розмір кегля, режим відображення тощо. Справа є панель (2) з соціальними мережами. Ви можете поділитися з друзями інформацією з кожної сторінки інтерактивної книги. Так ви допоможете людям дізнатися про наш проект, а також продемонструєте, що Ви дуже розумні й читаєте корисну літературу :) ![Функціонал сервісу EdEraBooks](https://rawgit.com/chudaol/ed-era-book-physics/master/book/vstupne_slovo1.png) ## Умови користування та зауваження EdEra Books – соціальний освітній проект, який дозволяє необмежене та безкоштовне використання сервісу в освітніх цілях. Будь-яке копіювання матеріалів проекту на сторонній ресурс можливе лише за умови зазначення авторства та з посиланням на проект (ed-era.com, ed-era.com/books). Команда проекту EdEra вважає, що розробка справді якісного освітнього українського продукту – результат старанної, наполегливої, творчої та колективної роботи. Тому не будьте байдужими, долучайтесь до розвитку й облагороджування цього сервісу: Напрямки співпраці: * **Редагування.** Можливо, Ви знайшли якусь граматичну чи пунктуаційну помилку. Обов'язково сповістіть нам про це! Ми виправимо її. Маємо великий обсяг матеріалу на редагування. Будемо вдячні, якщо візьметесь за цю роботу. Пишіть нам на електронну пошту. * **Експертиза.** У роботі над освітніми продуктами команда й викладачі EdEra увесь час збирають відгуки та радяться з експертами в освітній галузі. Маєте будь-які зауваження, поради, доповнення до матеріалу? Обов'язково зв'яжіться з нами! Ми робимо все, щоб матеріал на проекті був максимально якісним, і не нехтуємо експертною допомогою. **Email:** **Phone:** +380 63 380 60 42 * **Матеріальна допомога.** Проект розробляється власними силами команди та небайдужих людей. Це великий, але, на нашу думку, дуже важливий для українського освітнього простору, обсяг роботи. Навіть невеликий внесок зможе допомогти прискорити і стабілізувати процес розробки та розвитку проекту. # Арифметика ## Арифметика ## Числовi множини Всі числа можна віднести до тієї чи іншої групи, об’єднуючи їх за певними ознаками та властивостями. Найпростішою та найзрозумілішою множиною чисел є натуральні числа. Визначення **Натуральнi числа** — це числа, якi виникають природним чином при лiчбi предметiв. Наприклад: $$1, 2, 3, 4 …$$ Числовi множини прийнято позначати латинськими великими лiтерами з подвiйним штрихом. Множину натуральних чисел позначають знаком $$\mathbb{N}$$. Визначення **Цiлi числа** — множина, що складається з множини натуральних чисел, нуля, та множини вiд’ємних чисел (є протилежними до натуральних). Наприклад: $$-1; 0;-20; 1254$$ тощо. Множину цілих чисел позначають знаком $$\mathbb{Z}$$. Визначення **Рацiональнi числа** — множина нескоротних дробiв вигляду $$\dfrac{m}{n}$$ iз цiлим чисельником $$m$$ та натуральним знаменником $$n$$. Наприклад: $$-1; \dfrac{20}{5}; -\dfrac{1}{3}; 5; 10\dfrac{5}{7}$$ тощо. Множину раціональних чисел позначають знаком $$\mathbb{Q}$$. Визначення **Iррацiональнi числа** — числа, що не є рацiональними, тобто не можуть бути вираженi вiдношенням цiлих чисел. Мають вигляд нескiнченних десяткових дробiв. Наприклад: $$e; \sin{21^\text{o}}; \sqrt{17}$$ тощо. Множину ірраціональних чисел позначають знаком $$\mathbb{I}$$. Всi знають число $$\pi$$, яке i є iррацiональним $$3,14159265...$$ i так далi. Саме тому, що воно продовжується нескiнченно i нiяких закономiрностей у повтореннi нема, в свiтi часто влаштовуються змагання із запам’ятовування знакiв пiсля коми цього числа. Визначення **Дiйснi числа** — множина, що складається з рацiональних та iррацiональних чисел. Кожному числу ставиться у вiдповiднiсть одна точка на числовiй прямiй та навпаки, кожна точка числової прямої являє собою дiйсне число. Множину дійсних чисел позначають знаком $$\mathbb{R}$$. Коли кажуть, що число належить тiй чи iншій множині, записують це за допомогою символа $$\in$$, що схожий на українську лiтеру Є. Наприклад: $$6 \in \mathbb{N}, -1 \in \mathbb{Z}, 0,25 \in \mathbb{Q}, -\sqrt{26} \in \mathbb{R}.$$ В якому рядку наведені тільки цілі числа? $$-10000; 37; 0; 38; \dfrac{3}{3}$$ $$0; 3,7; 99; \pi; 24$$ $$-3; \dfrac{2}{3}; \sqrt{7}; 17; -100$$ До якої множини належить число $$\pi$$ ірраціональні числа раціональні числа цілі числа # Прості та складені числа Тепер поговоримо про самi числа. У цiй частинi йде мова тiльки про натуральнi числа, тому далi це не вказується. Визначення **Простi числа** — тi числа, що дiляться тiльки на себе та на одиницю. Наприклад: $$2, 3, 5, 7, 13$$. **Складенi числа** — тi числа, що мають бiльше нiж $$2$$ дiльники. **Розкладання складеного числа на простi множники** — це запис числа у виглядi добутку простих чисел, що є дiльниками цього числа: $$3276 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13.$$ З iншого боку, запис буде простiшим, якщо звести однаковi множники та записати їх у степеневому виглядi: $$3276 = 2^2\cdot 3^2 \cdot 7^1 \cdot 13^1.$$ **Взаємно простi числа** — пара чисел, що не мають спiльних дiльникiв, крiм одиницi. Часто стає у нагодi знання того, як знаходити найбiльший спiльний дiльник та найменше спiльне кратне. Визначення **Найбiльший спiльний дiльник (НСД) кiлькох чисел** — найбiльше число, на яке дiляться данi числа без остачi. Алгоритм **Знаходження НСД кiлькох чисел** * Записати розклад даних чисел на простi множники. * Записати степенi всiх простих множникiв. * Виписати всi простi множники. * Обрати найменший степiнь, що зустрiчається у розкладах. * Обчислити добуток цих степенiв. Приклад Обчислити НСД $$(504, 180)$$ Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**$$504 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7;$$$$180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5.$$Виписуємо найменшi степенi спiльних множникiв та перемножимо:НСД $$(504,180) = 2^2 \cdot 3^2 = 6^2 = 36.$$**Вiдповiдь.** $$36$$ Який НСД чисел $$460$$ і $$280$$? $$8$$ $$5$$ $$20$$ $$4$$ Запишемо розклад даних чисел на простi множники: $$460=2\cdot2\cdot5\cdot23$$ $$280=2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot7$$ Виписуємо найменшi степенi спiльних множникiв та перемножимо: НСД $$(460,280) = 2^2 \cdot 5^1 = 20.$$ Який НСД чисел $$16$$, $$20$$ і $$28$$? $$2$$ $$4$$ $$8$$ $$12$$ Запишемо розклад даних чисел на простi множники: $$16=2\cdot2\cdot2\cdot2$$ $$20=2\cdot2\cdot5$$ $$28=2\cdot2\cdot7$$ Виписуємо найменшi степенi спiльних множникiв та перемножимо: НСД $$(16,20,28) = 2^2 = 4.$$ Визначення **Найменше спiльне кратне (НСК) кiлькох чисел** — найменше число, яке дiлиться на данi числа без остачi. Алгоритм **Знаходження НСК кiлькох чисел** * Записати розклад даних чисел на простi множники. * Записати степенi всiх простих множникiв. * Виписати всi простi множники. * Обрати найбiльший степiнь, що зустрiчається у розкладах. * Обчислити добуток цих степенiв. Приклад Обчислимо НСК $$(504, 180)$$ Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**$$504 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7;$$$$180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5.$$Виписуємо найбiльшi степенi всiх множникiв та перемножимо:НСК $$(504,180) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520.$$**Вiдповiдь.** $$2520.$$ Яке НСК чисел $$115$$ і $$920$$? $$115$$ $$23$$ $$920$$ $$1840$$ Запишемо розклад даних чисел на простi множники: $$115 = 5\cdot23$$ $$920 = 2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot23$$ Виписуємо найбiльшi степенi всiх множникiв та перемножимо: НСД $$(115,920) = 2^3 \cdot 5 \cdot 23 = 920.$$ Яке НСК чисел $$2$$, $$3$$ і $$4$$? $$4$$ $$8$$ $$12$$ $$24$$ Запишемо розклад даних чисел на простi множники: $$4=2\cdot2$$ Виписуємо найбiльшi степенi всiх множникiв та перемножимо: НСД $$(115,920) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12.$$ **Запис чисел за допомогою лiтер**. Будь-яке двозначне число можна записати у виглядi $$10a + b$$, де $$a$$ – цифра десяткiв $$(a\neq0)$$, а $$b$$ – цифра одиниць. Двозначне число, що складається з $$a$$ десяткiв та $$b$$ одиниць, записують $$(\overline{ab})$$ $$($$риска зверху говорить, що це не добуток двох змiнних $$a$$ i $$b)$$. Аналогiчно тризначне число $$(\overline{abc}) = 100a + 10b + c, a \neq 0.$$ # Ознаки подiльностi натуральних чисел Ознаки подiльностi стають в нагодi, коли треба дiзнатись, чи дiлиться дане число на iнше без остачi, не витрачаючи час на процес дiлення. Число дiлиться націло на: * $$2$$, якщо воно закінчується на числа $$0,2,4,6,8$$; * $$3$$, якщо сума всiх цифр, що складають число, дiлиться на $$3$$; * $$4$$, якщо на $$4$$ дiлиться двозначне число, складене з останнiх двох цифр числа $$a$$; * $$5$$, якщо воно закiнчується на $$0$$ чи $$5$$; * $$7$$, якщо число $$b$$ дiлиться на $$7$$; число $$b$$ визначається наступним чином: число $$a$$ розбивається на групи по три цифри справа налiво; окремо складаються всi групи з парними номерами та з непарними; вiд бiльшої суми вiднiмається менша; отримана рiзниця – це число $$b$$; * $$9$$, якщо сума всiх цифр, що складають число, дiлиться на $$9$$; * $$10$$, якщо воно закiнчується на $$0$$; * $$11$$, якщо число $$c$$ дiлиться на $$11$$; число $$c$$ визначається наступним чином: окремо складаються всi цифри, що стоять на парних позицiях, i на непарних; вiд бiльшої суми вiднiмається менша; отримана рiзниця – це число $$c$$; * $$13$$, якщо число $$d$$ дiлиться на $$13$$; число $$d$$ визначається наступним чином: число $$a$$ розбивається на групи по три цифри справа налiво; окремо складаються всi групи з парними номерами i з непарними; iз бiльшої суми вiднiмається менша; отримана рiзниця – це число $$d$$. Приклад **Перевірити ознаки подільності на числі $$58198140$$:** 1. на $$2$$: число $$58198140$$ парне тому дiлиться на $$2$$. на $$3$$ i на $$9$$: сума цифр числа $$5 + 8 + 1 + 9 + 8 + 1 + 4 + 0 = 36$$. $$36$$ дiлиться на $$3$$ i на $$9$$, отже, i число $$58198140$$ дiлиться на $$3$$ i на $$9$$. на $$5$$: число $$58198140$$ закiнчується на $$0$$, тому дiлиться на $$5$$. на $$7$$ i на $$13$$: розбиваємо число $$58198140$$ на трiйки i складаємо за правилом: $$−140 + 198 − 58 = 0$$.$$0$$ дiлиться на $$7$$ i на $$13$$, отже, $$58198140$$ теж дiлиться на $$7$$ i на $$13$$. на $$10$$: число $$58198140$$ закiнчується на $$0$$, тому дiлиться на $$10$$. на $$11$$: складаємо цифри на парних i непарних позицiях: $$5+1+8+4=18, 8+9+1+0=18$$; рiзниця цих сум дорiвнює $$0$$. $$0$$ дiлиться на $$11$$, отже, i $$58198140$$ теж дiлиться на $$11$$. Чи ділиться число $$10939824$$ на $$2$$? так ні Бо число парне. Чи ділиться число $$10939824$$ на $$3$$? так ні Знайдемо суму всіх цифр, що складають число: $$1+0+9+3+9+8+2+4=36$$. Число $$36$$ ділиться на $$3$$, тому і число $$10939824$$ ділиться на $$3$$. Чи ділиться число $$10939824$$ на $$5$$? так ні Бо число не закінчується на $$0$$ чи $$5$$. Чи ділиться число $$10939824$$ на $$9$$? так ні Знайдемо суму всіх цифр, що складають число: $$1+0+9+3+9+8+2+4=36$$. Число $$36$$ ділиться на $$9$$, тому і число $$10939824$$ ділиться на $$9$$. # Дроби та дiї над ними Визначення **Звичайний дрiб** — це число виду $$\dfrac{m}{n}$$ , де чисельник дробу $$m$$ та знаменник дробу $$n$$ – натуральнi числа. Якщо $$mназивають правильним, якщо $$m\geq n$$ – **неправильним**. Число, що є сумою натурального числа та звичайного дробу, називають **мiшаним**. **Перевести мiшане число у звичайний дрiб** можна, помноживши цiлу частину на знаменник дробової частини та додавши до чисельника дробової частини. Наприклад: $$10\dfrac{2}{7} = \dfrac{(10\cdot7+2)}{7}=\dfrac{72}{7}.$$ Неправильний дрiб можна перевести у мiшане число роздiливши чисельник на знаменник. Частка вiд дiлення буде цiлою частиною, остача – чисельником, дiльник – знаменником. **Основна властивiсть дробу**: якщо і чисельник, i знаменник помножити чи подiлити на одне й те саме число, відмінне від нуля, отримаємо дрiб, що рiвний вихiдному. Наприклад: $$\dfrac{5}{2} = \dfrac{5\cdot7}{2\cdot7} = \dfrac{35}{14}.$$ Тепер розглянемо **основнi дiї над дробами**. Розпочнемо з операцiї зведення до спiльного знаменника. Для чого вона потрiбна? По-перше, це дозволить легко порiвнювати дроби з рiзними знаменниками. По-друге, без цiєї операцiї неможливо зробити додавання та вiднiмання дробiв з рiзними знаменниками. Алгоритм **Зведення дробiв до спiльного знаменника** * Знайти НСК знаменникiв дробiв. * Подiлити НСК на кожний зi знаменникiв i знайти додатковi множники. * Помножити чисельник i знаменник дробу на його додатковий множник. Наприклад: звести дроби $$\dfrac{2}{9}$$ i $$\dfrac{7}{12}$$ до спiльного знаменника.\ НСК $$(9,12) = 36.$$\ Додатковi множники: $$\dfrac{36}{9} = 4$$, $$\dfrac{36}{12} = 3.$$\ Маємо: $$\dfrac{(2\cdot4)}{(9\cdot4)} = \dfrac{8}{36}$$ i $$\dfrac{7\cdot3}{12\cdot3} = \dfrac{21}{36}.$$ **Дiї над дробами.** * Додавання i вiднiмання. Сумою (рiзницею) двох дробiв з однаковими знаменниками $$\dfrac{a}{c}$$ i $$\dfrac{b}{c}$$ є дрiб з таким самим знаменником, а у чисельнику якого записана сума (рiзниця) чисельникiв: $$\dfrac{a\pm b}{c}$$. Якщо дроби мають різні знаменники, треба звести їх до спільного. * Множення. Добутком двох дробів є дріб, у чисельнику якого стоїть добуток чисельників цих дробів, а у знаменнику – добуток знаменників: $$\dfrac{a}{c}\cdot \dfrac{b}{d}=\dfrac{a\cdot b}{c\cdot d}.$$ * Ділення. Операції ділення дробів еквівалентна операція множення на дріб, що є перевернутим: $$\dfrac{a}{c}:\dfrac{b}{d} = \dfrac{a}{c}\cdot \dfrac{d}{b}= \dfrac{a\cdot d}{c\cdot b}.$$ Визначення **Десятковий дрiб** — форма запису звичайного дробу зi знаменником вигляду $$10^n$$. Наприклад: $$\dfrac{8}{10}=0,8$$; $$\dfrac{127}{10000}=0,0127.$$ Кожен звичайний дріб можна подати у вигляді **скінченого або нескінченого десяткового дробу**. Періодом нескінченого десяткового дробу називають найменшу групу цифр після коми, яка повторюється. Цей період записують один раз у круглих дужках. Наприклад: $$2,1156156156... = 2,1(156)$$; $$0,133333333... = 0,1(3).$$ **Перетворення нескінченого періодичного дробу в звичайний.** Отриманий дріб матиме вигляд: у чисельнику стоїть різниця числа, яке стоїть до другого періоду, та числа, яке стоїть до першого періоду; у знаменнику записується цифра $$9$$ стільки разів, скільки цифр у періоді, і дописується цифра $$0$$ стільки разів, скільки цифр між комою і першим періодом. **Стандартний вигляд числа** — це запис числа в експоненціальному вигляді $$a\cdot 10^n$$, де $$1\leq a Наприклад: $$256000 = 2,56\cdot 10^5; 0,00071 = 7,1\cdot 10^{-4}.$$ Коли записують число у такій формі, зручно користуватись так званим «пересуванням коми» для визначення показника $$n$$. Треба "пересунути" кому на певну кількість позицій таким чином, щоби отримати число від $$1$$ до $$10$$. Якщо кома зсувається ліворуч на $$n$$ позицій, то показник, відповідно, збільшується на $$n$$. Якщо праворуч – то зменшується на $$n$$. Ось саме так записали $$256000$$. Для того, щоб отримати число від $$1$$ до $$10$$, треба пересунути кому на $$5$$ позицій ліворуч. Зсунувши кому на $$5$$ позицій ліворуч, ми збільшуємо показник на $$5$$. Отримуємо стандартний вигляд: $$2,56\cdot10^5$$. Аналогічно треба діяти з числом $$0,00074$$. Для того, щоб отримати число від $$1$$ до $$10$$, треба пересунути кому на $$4$$ позиції праворуч. Зсунувши кому на $$4$$ позиції праворуч, ми зменшуємо показник на $$4$$. В результаті, маємо $$7,4\cdot10^{-4}$$. Чому дорівнює значення дробу $$\dfrac{\dfrac{5}{7}}{1\dfrac{4}{6}}$$? $$\dfrac{3}{7}$$ $$\dfrac{70}{30}$$ $$\dfrac{50}{30}$$ $$1\dfrac{2}{3}$$ Спростимо дріб: $$\dfrac{\dfrac{5}{7}}{1\dfrac{4}{6}}=\dfrac{\dfrac{5}{7}}{\dfrac{10}{6}}=\dfrac{5}{7}\cdot\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{7}$$ Обчисліть значення виразу $$5\dfrac{3}{5}\cdot7\dfrac{1}{2}:\dfrac{3}{20}-250$$ $$10$$ $$20$$ $$30$$ $$40$$ $$50$$ Спростимо дріб: $$5\dfrac{3}{5}\cdot7\dfrac{1}{2}:\dfrac{3}{20}-250=\dfrac{28}{5}\cdot\dfrac{15}{2}\cdot\dfrac{20}{3}-250=28\cdot5\cdot2-250=30$$ # Модуль числа Модуль, або абсолютна величина дійсного числа $$a$$ (позначають $$|a|$$), – невід’ємна величина, яка визначається наступним чином: $$ |a| = \begin{cases} \\,\\,\\,\\,\\,a,\\,\\,\\, a\geq 0;\\\ -a,\\,\\,\\, a Наприклад: $$|0| = 0; |-1| = 1; |\pi-4| = 4-\pi$$. У геометричному сенсі модулем є відстань на числовій прямій від початку відліку до точки даного числа. Обчисліть значення виразу $$|\dfrac{\pi}{2} + 2|-|\dfrac{3\pi}{2} - 4|$$ $$0$$ $$-6$$ $$6 - \pi$$ $$\pi + 1$$ # Пропорції та відсотки Визначення **Пропорцiя** — рiвнiсть двох вiдношень вигляду \\(a:b=c:d\\) або \\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\\). Члени \\(a\\) та \\(d\\) називають крайнiми членами пропорцiї, а \\(b\\) та \\(c\\) — середнiми. Часто пропорцiю записують у виглядi:
$$a \quad — \quad c$$
$$b \quad — \quad d$$
**Основна властивiсть пропорцiї** – добуток крайнiх членiв дорiвнює добутку середнiх членiв: $$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc.$$ Наприклад: $$\dfrac{55}{13} = \dfrac{110}{26} \Rightarrow 55\cdot26 = 13\cdot110 = 1430.$$
**Властивiсть переставляння**. Якщо у пропорцiї помiняти мiсцями крайнi або середнi члени, або i тi i тi, знову вийде пропорцiя. Iншими словами можна переставляти члени пропорцiї «хрест-навхрест»:
$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d} \Rightarrow \dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a} \Rightarrow \dfrac{d}{c}=\dfrac{b}{a}.$$ Як видно зi спiввiдношень вище випливає **властивiсть обернення – можна перевернути обидва дроби пропорцiї i рiвнiсть не порушиться.** Алгоритм **Знаходження невiдомого члена пропорцiї** Для того щоб знайти невiдомий член пропорцiї необхiдно скористатись основною властивiстю пропорцiї, пiсля чого подiлити обидвi частини на член пропорцiї, що стоїть разом з невiдомим.\ Нехай невiдоме $$c = x:$$
$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{x}{d} \Rightarrow ad = bx \Rightarrow x = \dfrac{ad}{b}.$$\ Нехай невiдоме $$b = x:$$
$$\dfrac{a}{x} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow ad = xc \Rightarrow x = \dfrac{ad}{c}.$$
Таким же чином можна знайти невiдомi $$a$$ чи $$d$$. **Прямо пропорцiйнi величини.** Двi величини $$x$$ та $$y$$ прямо пропорцiйнi, якщо збiльшити (зменшити) в певну кiлькiсть разiв першу, при цьому друга збiльшиться (зменшиться) у таку ж кiлькiсть разiв. «Кiлькiсть разiв» називають коефiцiєнтом пропорцiйностi $$k$$, а залежнiсть записують як: $$y = kx$$. Приклад $$1$$ кг груш коштує $$15$$ грн., $$2$$ кг – вiдповiдно $$30$$ грн., $$3$$ кг – $$45$$ грн. i так далi.\ Тобто вартiсть груш є прямо пропорцiйною до кiлькостi кiлограм: $$y=15\cdot x.$$ **Обернено пропорцiйнi величини.** Двi величини $$x$$ та $$y$$ обернено пропорцiйнi, якщо збiльшити (зменшити) в певну кiлькiсть разiв першу, при цьому друга зменшиться (збiльшиться) у таку ж кiлькiсть разiв. «Кiлькiсть разiв» називають коефiцiєнтом пропорцiйностi $$k$$, а залежнiсть записують як: $$y=\dfrac{k}{x}.$$ Приклад Aвтiвка, що рухається зi швидкiстю $$50$$ км/год проходить вiдстань у $$25$$ км за $$30$$ хв.\ Якщо вона рухатиметься зi швидкiстю $$75$$ км/год, то їй вистачить $$20$$ хв.\ Тобто час руху є обернено пропорцiйним до швидкостi руху: $$v = \dfrac{25}{t}.$$ Визначення **Масштаб** — це вiдношення вiдстанi у сантиметрах мiж точками на картi до вiдстанi у сантиметрах мiж цими ж точками на мiсцевостi. Масштаб $$1:1000000$$ значить, що $$1$$ см на картi вiдповiдають $$1000000$$ см = $$10000$$ м = $$10$$ км на мiсцевостi. Відстань між Києвом та Одесою складає 480 км.\ Яким є масштаб карти, якщо виміряна лінійкою відстань - 96 см? 1:50000 1:100000 1:500000 1:1000000 1:2000000 Для того, щоб знайти необхідний масштаб потрібно скласти пропорцію. $$96$$ см – $$480$$ км, $$1$$ – $$x$$.\ Переведемо $$480$$ км у см: $$480$$ км $$=480\cdot10^5$$ см.\ Знайдемо $$x$$: $$x=\dfrac{1\cdot480\cdot10^5}{96}=5\cdot10^5=500000$$.\ Отже масштаб складає $$1:500000.$$ Cкільки ця відстань складатиме на карті з масштабом 1:2000000? 12 см 18 см 20 см 24 см 36 см Для того, щоб знайти необхідну відстань потрібно скласти пропорцію.\ $$x$$ см – $$480$$ км, $$1 – 2000000$$.\ Переведемо $$480$$ км у см: $$480$$ км $$=480\cdot10^5$$ см.\ Знайдемо $$x$$: $$x=\dfrac{480\cdot10^5}{2000000}=24$$ см.\ Отже відстань складає $$24$$ см. # Відсотки Визначення **Вiдсоток** — це сота доля числа, яка позначається $$\\%$$. $$1 \\% = \dfrac{1}{100} \Rightarrow a \\% = \dfrac{a}{100}.$$ Вiдсотки не є розмiрною величиною. Десятковий дрiб переводиться у вiдсотки множенням на $$100$$, знак $$\\%$$ дописується. Вiдсотки переводяться у десятковий дрiб дiленням на $$100$$, знак $$\\%$$ прибирається. **Збiльшення числа** на $$p \\%$$ еквiвалентне множенню числа на $$\left(1 +\dfrac{p}{100}\right).$$ **Зменшення числа** на $$p \\%$$ еквiвалентне множенню числа на $$\left(1 -\dfrac{p}{100}\right).$$ **Щоб знайти** $$p$$ **вiдсоткiв вiд числа** $$a$$ необхiдно помножити число $$a$$ на вiдсотки $$p$$ (у виглядi десяткового дробу). Наприклад: знайти $$55 \\%$$ вiд $$15$$: $$55 \\% = 0,55; \quad 15\cdot0,55 = 8,25.$$ Щоб **знайти число за даним значенням** $$b$$, **що складає** $$p$$ **вiдсоткiв** необхiдно зробити зворотне: роздiлити даний дрiб числа $$b$$ на вiдсотки $$p$$ (у виглядi десяткового дробу). Наприклад: знайти число, якщо $$40 \\%$$ вiд нього складає $$8$$: $$40 \\% = 0,4;\quad \dfrac{8}{0,4}=20.$$ Щоб **знайти вiдсоткове вiдношення двох чисел** $$a$$ і $$b$$ необхiдно знайти їхню частку $$\dfrac{a}{b}$$ у виглядi десяткового дробу, та перевести його у вiдсотки (помножити на $$100$$ та дописати знак $$\\%$$). Наприклад: знайти, який вiдсоток складає $$15$$ вiд $$60$$: $$\dfrac{15}{60}=\dfrac{1}{4}=0,25;\quad 0,25 = 25 \\%$$. На початковому етапi знайомства з вiдсотками iнтуїтивно легше **користуватись пропорцiєю**. Приклад Скiльки води потрiбно додати до $$10$$ г $$50 \\%$$ розчину солi, щоб розчин мiстив $$10 \\%$$ солi? Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Маса солi у $$50 \\%$$ розчинi: $$10\cdot50\\% = 10\cdot0,5=5$$(г). $$10 \\%$$ розчин мiстить $$90 \\%$$ води. Складаємо пропорцiю для нового розчину, $$x$$ – маса води у новому $$10 \\%$$ розчинi:$$\left. \begin{array}{l} 5\quad—\quad10\\%\\\ x\quad—\quad90\\% \end{array}\right\\} \Rightarrow x = \dfrac{5\cdot 90\\%}{10\\%} = 45$$ (г).Отже загальна маса води у новому розчині – $$45$$ г, але оскільки ми вже маємо у $$50 \\%$$ розчині $$5$$ г води, то нам потрібно додати ще $$40$$ г.**Вiдповiдь.** $$40$$ (г). **Простi та складнi вiдсотки**. В задачах про грошовi вкладення або знижки на цiну товару часто зручно користуватись формулами простих та складних вiдсоткiв. **Прості відсотки** нараховуються на початкову суму і величина нарахування є постійною сумою та не залежить від часу, що пройшов від моменту вкладу. Якщо банк виплачує клієнтові $$p$$ відсотків від початкової суми $$X\_0$$ щороку, на рахунку клієнта через $$n$$ років буде сума: $$X\_1=X\_0+X\_0 \dfrac{p}{100};$$ $$X\_2=X\_1+X\_0 \dfrac{p}{100}=X\_0 \left(1+\dfrac{2p}{100}\right);$$ $$\vdots$$ $$X\_n=X\_0 \left(1+\dfrac{pn}{100}\right).$$ Як бачимо, щороку додається одна й та сама кiлькiсть грошей. **Складні відсотки** нараховуються на поточну суму на рахунку і сума нарахування зростає з плином часу. Якщо банк виплачує клієнтові $$p$$ відсотків річних, на рахунку клієнта через $$n$$ років буде сума: $$X\_1=X\_0 \left(1+\dfrac{p}{100}\right);$$ $$X\_2=X\_1 \left(1+\dfrac{p}{100}\right)=X\_0 \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^2;$$ $$\vdots$$ $$X\_n=X\_0 \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n.$$ Як бачимо, щороку додається все більша й більша сума (бо відсотки обчислюються з накопиченої суми). Аналогічна ситуація – коли на товар декілька разів нараховується знижка. Отже, в обох пробірках по $$20$$ мл води. В першу додали $$7$$ грамів солі, в третю - $$2$$ грами.\ Яким вийшов перший розчин? $$20,6\\%$$ $$25,9\\%$$ $$35,0\\%$$ $$44,2\\%$$ $$53,8\\%$$ Загальна маса першого розчину з сіллю і водою складає $$20+7=27$$ г. Для того, щоб знайти відсоток солі у розчині необхідно масу солі розділити на масу розчину: $$7:27\approx0,259=25,9\\%$$ Яким вийшов третій розчин? $$8,3\\%$$ $$9,1\\%$$ $$10,0\\%$$ $$10,9\\%$$ $$11,1\\%$$ Загальна маса третього розчину з сіллю і водою складає $$20+2=22$$ г. Для того, щоб знайти відсоток солі у розчині необхідно масу солі розділити на масу розчину: $$2:22\approx0,091=9,1\\%$$ # Розв’язання задач на спiльну виконану роботу (задачi на продуктивнiсть) У ЗНО часто зустрiчаються задачi, в яких йде мова про виконання спiльної роботи: копання грядок, виготовлення деталей, заповнення басейну водою з декiлькох труб тощо. У всiх цих задачах використовуються однi й тi самi три параметри: * об’єм роботи: $$S;$$ * час виконання роботи: $$t;$$ * продуктивнiсть: $$v$$ (швидкiсть виконання). Цi параметри пов’язанi спiввiдношенням: **Об’єм роботи** = **продуктивність $$\times$$ час $$\Longleftrightarrow$$ $$\boldsymbol{S=v\cdot t}.$$** Якщо об’єм роботи не вказаний – його краще прийняти рівним одиниці для спрощення розрахунків. Ключовим знанням для розв’язку задач на продуктивність є те, що **швидкість спільної роботи рівна сумі індивідуальних швидкостей виконання робіт:** $$v\_{\Sigma} = v\_{1} + v\_{2} = \dfrac{S}{t\_{1}} + \dfrac{S}{t\_{2}}.$$ Приклад Двi труби заповнюють басейн за $$12$$ хвилин. Перша труба працюючи окремо може заповнити басейн за $$20$$ хвилин. За скiльки заповнить басейн друга труба? Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Приймаємо об'єм роботи $$S=1$$ (наповнити повний басейн). Час заповнення басейну першою трубою - $$t\_1 = 20$$ хвилин, отже її продуктивність рівна $$v\_{1} = \dfrac{S}{t\_{1}} = \dfrac{1}{20}$$. Нехай друга труба заповнює басейн за $$t\_2 = x$$ хвилин, отже її продуктивність рівна $$v\_{2} = \dfrac{S}{t\_{2}} = \dfrac{1}{x}.$$Час спільної роботи дорівнює $$t\_{\Sigma} = 12$$ хвилин, тоді спільна продуктивність рівна $$v\_{\Sigma} = \dfrac{S}{t\_{\Sigma}} = \dfrac{1}{12}$$, звідки випливає наступне рівняння:$$v\_{\Sigma} = v\_{1} + v\_{2} \Longrightarrow \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{x}.$$Звідки $$x = 30.$$**Вiдповiдь.** $$30$$ хвилин. За який час менша труба самостійно заповний весь резервуар? (відповідь округліть до найближчого цілого числа) 57 c 109 c 237 c 119 c 432 c Нехай $$V$$ — об'єм склянки. $$t$$ — час заповнення великою трубкою, який складає $$38,77$$ с, $$x$$ — час заповнення малою трубкою. Тоді $$S\_B = \dfrac{V}{t}$$ — швидкість заповнення великою трубкою, а $$S\_M = \dfrac{V}{x}$$ — швидкість заповнення малою трубкою. Мала трубка заповнює частину об'єму за час $$38,77$$ с, іншу частину цього об'єму трубки заповнюють разом за $$19,71$$ с.\ З цих даних складаємо рівняння: $$V = 38,77\cdot S\_M + 19,71\cdot(S\_M+S\_B)$$. $$V=38,77\cdot\dfrac{V}{x}+19,71\cdot(\dfrac{V}{x}+\dfrac{V}{38,77})$$ $$1 = 38,77\cdot\dfrac{1}{x}+19,71\cdot(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{38,77})$$ $$1 - \dfrac{19,71}{38,77}= \dfrac{58,48}{x}$$ $$\dfrac{19,06}{38,77}= \dfrac{58,48}{x}$$ $$19,06\cdot x = 58,48\cdot38,77$$ $$x = \dfrac{58,48\cdot38,77}{19,06}=118,95\approx119$$ # Одночлени та многочлени Визначення **Степенем числа $$a$$** з натуральним показником $$n$$ $$(n>1)$$ називають вираз $$a^n$$, що дорівнює добутку $$n$$ множників, кожен з яких рівний $$a$$. $$a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot\dots \cdot a}\_{n\thinspace\mbox{разів}},\thinspace\mbox{де}\thinspace \mbox{n} \thinspace\in \thinspace \mathbb{N}.$$ У виразі $$a^n$$ число $$a$$ називають **основою степеня**, а число $$n$$ – **показником степеня**. Якщо $$a\neq0$$ то $$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}.$$ Будь-який степінь додатного числа є додатним. Парний степінь від’ємного числа є додатним. Непарний степінь від’ємного числа є від’ємним. Наприклад: $$2^5=32>0;\thinspace(-2)^6=64>0;\thinspace (-2)^3=-8**Основні властивості степенів:** * $$a^0 = 1,\thinspace a\neq0$$ * $$a^1 = a$$ * $$a^m\cdot a^n = a^{(m+n)}$$ Наприклад: $$3^2\cdot 3^3 = 3^5 = 243$$ * $$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{(m-n)}$$ Наприклад: $$\dfrac{2^9}{2^4} = 2^5 = 32$$ * $$(a^m)^n = a^{(m\cdot n)}$$ Наприклад: $$(5^3)^2 = 5^6 = 15625$$ * $$(a\cdot b)^n = a^n\cdot b^n$$ Наприклад: $$22^3 = (11\cdot 2)^3 = 11^3\cdot 2^3 = 10648$$ * $$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$$ Наприклад: $$\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{3^2}{2^2} = \dfrac{9}{4}$$ Також справедливі такі вирази: $$0^n = 0;\thinspace 1^n = 1.$$ Знайдіть значення виразу: $$7^3$$ $$249$$ $$343$$ $$49$$ $$81$$ $$7$$ Значення даного виразу знаходимо наступним чином:\ $$7^3 = 7\cdot7\cdot7 = 49\cdot7 = 343$$ Знайдіть значення виразу: $$4^{-2}$$ $$16$$ $$-16$$ $$\dfrac{1}{16}$$ $$-\dfrac{1}{16}$$ $$64$$ Значення даного виразу знаходимо наступним чином:\ $$4^{-2}=\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{4\cdot4}=\dfrac{1}{16}$$ Знайдіть значення виразу: $$(2^3)^2$$ $$16$$ $$8$$ $$64$$ $$80$$ $$16$$ Значення даного виразу знаходимо наступним чином:\ $$(2^3)^2=(2\cdot2\cdot2)^2=(4\cdot2)^2=8^2=8\cdot8=64$$ # Одночлен Визначення **Одночлен** складається з числового множника та однiєї або декiлькох змiнних, кожна з яких узята з тим або iншим натуральним показником степеня. Наприклад: $$-5$$; $$6a^2 bd^5$$; $$x$$; $$-c^2 lmc^6.$$ **Стандартний вигляд одночлена:** єдиний числовий множник (коефіцієнт) записаний на початку та після цього степені різних змінних. В результатi **множення одночленiв** виходить теж одночлен, який записують у стандартному виглядi, при цьому використовують для цього властивостi множення та правила множення степенiв з однаковими основами. Наприклад: $$(4abc)\cdot(12b^6 c^2 ) = 48ab^7 c^3.$$ **Степенем одночлена** називають суму степенiв усiх змiнних. Якщо одночлен складається лише з коефiцiєнта, то його степiнь – нульовий. Наприклад: $$48ab^7 c^3$$ – одночлен одинадцятого степеня. Приведіть до стандартного вигляду вираз: $$7 \cdot a^3\cdot 4 \cdot b^7 \cdot a^2 \cdot c \cdot a^{-7} \cdot b^{-1} \cdot 2 \cdot c^{-10}$$ $$28a^{-1}b^{7}c^{-10}$$ $$56a^{-2}b^{6}c^{-9}$$ $$14a^{3}b^{4}c^{9}$$ $$56a^{-1}b^{6}c^{-9}$$ $$a^{2}b^{-6}c^{9}$$ Приведіть до стандартного вигляду вираз: $$(4x^{2}y^{3}z)\cdot(5x^{7}y^{15})$$ $$4x^{9}y^{18}$$ $$20x^{9}y^{18}z$$ $$20x^{9}z$$ $$5y^{18}z$$ $$x^{18}y^{9}z$$ # Многочлен Визначення **Многочленом** називають алгебраїчну суму одночленiв. Доданки многочлена, що вiдрiзняються лише коефiцiєнтами, називають **подiбними доданками**. Суму подiбних доданкiв можна замiнити одночленом. Наприклад: у многочлені $$x^2 y - xy + 3x^2 + 6xy$$ доданки $$-xy$$ та $$6xy$$ є подібними, тому можна записати $$x^2 y - xy + 3x^2 + 6xy = x^2 y + 3x^2 + (6xy-xy) = x^2 y + 3x^2 + (6-1)xy = x^2 y + 3x^2 + 5xy.$$ Якщо многочлен не має подібних доданків він називається **многочленом стандартного вигляду**. **Степенем многочлена** стандартного вигляду називають найбільший зі степенів одночленів, що до нього входять. Наприклад: $$x^2 y- xy^5 + 3x^2$$ – многочлен шостого степеня. Визначення**Стандартний вигляд многочлена $$n$$-го степеня з однією змінною:**\ $$P(x)=a\_0 x^n + a\_1 x^{n-1} + a\_2 x^{n-2} + \dots + a\_{n-2} x^2 + a\_{n-1} x + a\_n,$$\ де $$x$$ – змінна, $$a\_0, a\_1, \dots, a\_{n-1}, a\_n$$ – довільні числа, $$a\_0 \neq 0$$, $$n \thinspace\in \thinspace \mathbb{N}$$ або $$n = 0$$. Число $$a\_0$$, що стоїть при найбільшому степені $$x$$ називають старшим коефіцієнтом. Доданок $$a\_n$$, що не містить змінної $$x$$ називають вільним доданком. Наприклад: у многочлені $$4x^3 + 2x + 1$$, старший коефіцієнт рівний $$4$$, а вільний доданок рівний $$1$$. Два многочлена **тотожно рівні**, якщо всі коефіцієнти при однакових степенях змінних є рівними. Число $$b$$ називають **коренем многочлена**, якщо $$P(b)=0.$$ Зведіть подібні доданки: $$3x^2y-2xy^2-2x^2y+3xy^2$$ $$x^2y-xy^2$$ $$3x^2y+2xy^2$$ $$3x^2y-2xy^2$$ $$-2x^2y+3xy^2$$ $$x^2y+xy^2$$ Зведіть подібні доданки: $$4a^2b^2c + 4a^3 - 2a^2b^2c - 4a^3 + 8abc^3 + 5a^2b^2c - 16abc^3$$ $$2a^2b^2c-16abc^3$$ $$7a^2b^2c-8abc^3$$ $$7a^2b^2c$$ $$4a^3$$ $$3a^2b^2c+5abc^3$$ # Дiї над многочленами **Додавання/віднімання**. Потрібно розкрити дужки та звести подібні доданки. Якщо перед дужками стоїть знак «+», то знаки дужок лишаються незмінними; якщо «-», то знаки всередині дужок слід замінити на протилежні. Наприклад: $$(4x^2 y + xy) + (x - 6 - xy) = 4x^2 y + xy + x - 6 - xy = 4x^2 y + x - 6.$$\ $$(4x^2 y + xy) - (x - 6 - xy) = 4x^2 y + xy - x + 6 + xy = 4x^2 y + 2xy + x + 6.$$ **Множення одночлена на многочлен**. Потрiбно одночлен помножити на кожний доданок многочлена i додати отриманi добутки. Наприклад: $$(4x^2 y - xy)\cdot(-3y^3)=4x^2 y\cdot(-3y^3) + (-xy)\cdot(-3y^3 ) = -12x^2 y^4 + 3xy^4.$$ **Множення многочлена на многочлен**. Потрiбно кожен доданок одного многочлена помножити на кожен доданок другого многочлена i додати отриманi добутки. Наприклад: $$(4x^2 y-xy)\cdot(x-6-xy)=4x^2 y\cdot x+(-xy)\cdot x+4x^2 y\cdot(-6)+(-xy)\cdot$$\ $$\cdot(-6)+4x^2 y\cdot(-xy)+(-xy)\cdot(-xy)=4x^3 y-x^2 y-24x^2 y+6xy-4x^3 y^2+x^2 y^2=$$\ $$=-4x^3 y^2+4x^3 y+x^2 y^2-25x^2 y+6xy.$$ **Ділення многочлена на одночлен.** Потрібно кожен доданок многочлена поділити на одночлен і додати отримані частки. Наприклад: $$(4x^5y-2x^3y^3+8xy^2+6xy):(2xy) = (4x^5y):(2xy) - (2x^3y^3):(2xy)+$$\ $$+ (8xy^2):(2xy) + (6xy):(2xy) = 2x^4 - x^2y^2 + 4y + 3.$$ **Ділення многочлена на многочлен**. Потрібно виконати ділення за правилом кута: 1\. Привести многочлени до стандартного вигляду. 2\. Поділити старший додаток діленого на старший додаток дільника. 3\. Записати отриманий одночлен як доданок у результат. 4\. Помножити дільник на отриманий одночлен та відняти цей добуток від діленого. 5\. Повторювати кроки $$1-4$$ доки не залишиться в остачі нуль або степінь остачі не стане меншим від степеня дільника. Наприклад: $$3x^5+7x^4-8x^3-13x^2+4x-2$$ на многочлен $$x^2 - 2$$: .td {border-color:transparent !important;border-collapse:collapse;border-spacing:0;border-width: none !important;background-color: transparent !important;} tr {border-color:transparent;border-width:0px !important; background-color: transparent !important;} .td td{font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;font-weight:normal;padding:10px 5px;border-color:transparent !important;border-style:solid;border-width:0px !important;overflow:hidden;word-break:normal;} .td .td-s6z2{text-align:center} | | $$3x^5$$ | $$+$$ | $$7x^4$$ | $$-$$ | $$8x^3$$ | $$-$$ | $$13x^2$$ | $$+$$ | $$4x$$ | $$-$$ | $$2$$ | $$x$$ | $$-$$ | $$2$$ | | | | - | -------- | ----- | -------- | ----- | --------- | ----- | --------- | ----- | ------ | ----- | ----- | -------- | ----- | -------- | ----- | -------- | | | $$3x^5$$ | $$+$$ | $$0x^4$$ | $$-$$ | $$6x^3$$ | | | | | | | $$3x^4$$ | $$+$$ | $$7x^3$$ | $$-$$ | $$2x^2$$ | | | | | $$7x^4$$ | $$-$$ | $$2x^3$$ | $$-$$ | $$13x^2$$ | | | | | | | | | | | | | | $$7x^4$$ | $$+$$ | $$0x^3$$ | $$-$$ | $$14x^2$$ | | | | | | | | | | | | | | | | $$-2x^3$$ | $$+$$ | $$x^2$$ | $$+$$ | $$4x$$ | | | | | | | | | | | | | | $$-2x^3$$ | $$+$$ | $$0x^2$$ | $$+$$ | $$4x$$ | | | | | | | | | | | | | | | | $$x^2$$ | $$+$$ | $$0x$$ | $$-$$ | $$2$$ | | | | | | | | | | | | | | $$x^2$$ | $$+$$ | $$0x$$ | $$-$$ | $$2$$ | | | | | | | | | | | | | | | | | | $$0$$ | | | | | | Знайдіть суму двох многочленів: $$(-3a^2b + 4ab + a) - (-3a^2b + 18ab + a - 5b)$$ $$2a + b$$ $$-14ab + 2a + 5b$$ $$-14ab + 5b$$ $$2a + 5b + 6a^b$$ $$6a^2b + 5b$$ $$(-3a^2b + 4ab + a) -$$$$ (-3a^2b +18ab + a - 5b) =$$$$ -3a^2b + 4ab + a +$$$$ 3a^2b - 18ab - a +$$$$ 5b = -14ab + 5b$$ Знайдіть добуток двох многочленів: $$(xy^2 - x + y)\cdot(x^2y + 2x - 5y)$$ $$x^3y^3-5xy^3-x^3y-2x^2-5y^2$$ $$x^3y^3+3x^2y^2+7xy-5xy^3-x^3y-2x^2-5y^2$$ $$x^3y^3+3x^2y^2+7xy-5xy^3-x^3y-2x^2$$ $$5x^3y^3+3x^2y^2-7xy-5xy^3-x^3y-2x^2-5y^2$$ $$x^3y^3+3x^2y^2+7xy-5xy^3+x^3y-2x^2+y^2$$ $$(xy^2 - x + y)\cdot(x^2y + 2x - 5y) = xy^2\cdot x^2y + xy^2\cdot2x + xy^2\cdot(-5y) - x\cdot x^2y - x\cdot2x -$$ $$- x\cdot(-5y) + y\cdot x^2y + y\cdot2x + y\cdot(-5y) = x^3y^3 + 2x^2y^2 - 5xy^3 - x^3y - 2x^2 + 5xy +$$ $$+ x^2y^2+ 2xy - 5y^2 = x^3y^3 + 3x^2y^2 + 7xy - 5xy^3 - x^3y - 2x^2 - 5y^2$$ # Формули скороченого множення Під час виконання операцій над многочленами зручно користуватись наступними формулами: 1. **Різниця квадратів:** $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).$$ Наприклад: $$(a-3)(a+3)=a^2-3^2=a^2-9.$$ 2. **Квадрат суми/різниці:** $${(a \pm b)}^2 = (a^2 \pm 2ab + b^2).$$ Наприклад: $$(5a-3)^2=(5a)^2-2\cdot(5a)\cdot3+3^2=25a^2-30a+9.$$ 3. **Сума/різниця кубів:** $$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2).$$ Наприклад: $$(4-3y)(16+12y+9y^2 )=4^3-(3y)^3=64-27y^3.$$ 4. **Куб суми/різниці:** $$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2 b + 3ab^2 \pm b^3.$$ Наприклад: $$(5+2x)^3 = 5^3 + 3\cdot(5)^2\cdot(2x) + 3\cdot5\cdot(2x)^2 + (2x)^3 = 125 + 150x + 60x^2 + 8x^3.$$ 5. **Різниця $$n$$-х степенів:** $$a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + a^2 b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1}).$$ 6. **Сума $$n$$-х степенів, якщо $$n$$ - непарне:** $$a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots + a^2 b^{n-3} - ab^{n-2} + b^{n-1}).$$ # Розкладання многочлена на множники 1. **Винесення спільного множника за дужки**. Якщо кілька доданків многочлена містять одну й ту саму змінну, то її можна винести за дужки у найменшому степені. Наприклад: $$21a^3 b-7ab^2+4ab+15a^5 b^7=ab\cdot(21a^2-7b+4+15a^4 b^6).$$ 2. **Метод групування**. В цьому методі використовується винесення многочлена за дужки. Для цього групують доданки так, щоб після винесення спільних множників, у кожній групі в дужках лишився один і той самий многочлен, який після цього виносять за дужки. Наприклад: $$12a^2+3ab-4b^3-16ab^2=(12a^2-16ab^2 )+(3ab-4b^3 )=4a(3a-4b^2)+$$\ $$+b(3a-4b^2)=(3a-4b^2 )(4a+b).$$ Алгоритм **Видiлення повного квадрата з тричлена** Вирази вигляду $$Ax^{2n}+Bx^n y^m+Cy^{2m}$$, що не є квадратами двочлена, можна розкласти на множники виділивши повний квадрат з тричлена. Для цього потрібно: а) записати один з доданків у вигляді квадрату деякого виразу $$X$$; б) записати другий доданок у вигляді $$2XY$$, звідки знайти вираз $$Y$$; в) додати та відняти одночасно квадрат виразу $$Y$$; г) застосувати формулу квадрату суми чи різниці. Приклад Розкласти на множники тричлен $$16x^6+40x^3 y-11y^2$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**а) Представляємо перший доданок у вигляді квадрату деякого виразу $$X$$: $$ 16x^6=$$\ $$=(4x^3 )^2,$$ тоді $$X=4x^3.$$б) Шукаємо вираз $$Y$$ з другого доданку, представивши його у вигляді $$2XY$$: $$40x^3 y=2\cdot(4x^3 )\cdot(5y),$$ тоді $$Y=5y$$.в-г) Додаємо та віднімаємо $$Y^2=(5y)^2=25y^2,$$ після чого групуємо доданки, щоб утворити повний квадрат та скористатись формулою різниці квадратів:$$16x^6 + 40x^3 y - 11y^2 + 25y^2 - 25y^2 = (16x^6 + 40x^3 y + 25y^2) - 11y^2 - 25y^2 = $$\ $$ = (4x^3 + 5y)^2 - 36y^2 = (4x^3 + 5y - 6y)(4x^3 + 5y + 6y) = (4x^3 - y)(4x^3 + 11y).$$**Вiдповiдь.** $$(4x^3-y)(4x^3+11y).$$ 1. **Розкладання на множники квадратного тричлена**. Кожний квадратний тричлен $$ax^2+bx+c$$ може бути розкладений на множники першого степеня наступним чином: $$ax^2+bx+c=a(x-x\_1)(x-x\_2),$$ де $$x\_{1,2}$$ – корені квадратного тричлена (корені рівняння $$ax^2+bx+c=0$$). Вони визначаються за формулами $$x\_{1,2} = - \dfrac{b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$ Приклад Розкласти многочлен $$3x^2-12x-15$$ на множники. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Знайдемо корені рівняння $$3x^2-12x-15=0:$$$$x\_{1,2} = - \dfrac{-12 \pm \sqrt{(-12)^2 -4\cdot3\cdot(-15)}}{2\cdot 3} = \dfrac{12 \mp \sqrt{324}}{6} = \dfrac{12 \mp 18}{6} \Rightarrow \begin{cases} x\_1 = -1; \\\ x\_2 = 5. \end{cases}.$$Отже, скориставшись формулою розкладу маємо: $$3x^2-12x-15=3(x+1)(x-5)$$.**Вiдповiдь.** $$3(x+1)(x-5).$$ Винесіть спільний множник за дужки: $$2\cdot a^2\cdot b + 6\cdot a\cdot b^2 + 4\cdot a\cdot b\cdot x$$ $$6ab(\dfrac{a}{3}+b+x)$$ $$a^2 \cdot b(2+3a \cdot b + 4x)$$ $$2ab(a+3b+2x)$$ # Бiном Ньютона Визначення Сума вигляду $$(a+b)^n$$ називається біномом Ньютона та обчислюється за наступною формулою: $$(a+b)^n = a^n + \gamma\_1 a^{n-1}b + \gamma\_2 a^{n-2}b^2 + \dots + \gamma\_{n-2} a^2 b^{n-2} + \gamma\_{n-1} a b^{n-1} + b^n,$$ де коефіцієнти розкладу $$\gamma\_1, \dots, \gamma\_n$$– елементи $$n$$-го рядка трикутнику Паскаля. Трикутник Паскаля запам’ятовувати не потрібно, треба лише знати, як його побудувати. Кожен рядок починається та закінчується одиницею, і має на один елемент більше, ніж попередній. Всі числа між ними отримуються складанням двох чисел, які стоять над даним (ліворуч і праворуч). Наприклад, для $$(a+b)^7$$ коефіцієнти розкладу беремо з сьомого рядка трикутника Паскаля: Наприклад: $$(a+b)^7=a^7+7a^6 b+21a^5 b^2+35a^4 b^3+35a^3 b^4+21a^2 b^4+7ab^6+b^7.$$ Приклад Знайти номер члена розкладу бінома $$(\sqrt\[3]{x} + \dfrac{1}{x})^{16}$$, який не містить $$x$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Що ж, для спільного члена розкладу маємо формулу: $$\gamma\_n (\sqrt\[3]{x})^{16-n} (\dfrac{1}{x})^n$$Загалом, значення $$\gamma\_n$$ для нас не має вагомої ролі, тому перемножимо $$(\sqrt\[3]{x})^{16-n}$$ і $$(\dfrac{1}{x})^n$$ і знайдемо їх значення:$$(\sqrt\[3]{x})^{16-n} \cdot (\dfrac{1}{x})^n \rightarrow $$$$ x^{\frac{16-n}{3}} \cdot x^{-n} \rightarrow x^{\frac{16-4n}{3}}$$Отже, коли $$16-4n=0 \rightarrow n = 4$$, ми отримаємо, що $$x^0 = 1$$ і значення цього члену не буде залежати від $$x$$.**Вiдповiдь.** $$4$$ Обчислити: $$(5-3)^3$$ $$5$$ $$3$$ $$8$$ $$7$$ $$11$$ $$(5-3)^3=5^3 + 3\cdot5^2\cdot(-3) + 3\cdot5\cdot(-3)^2 + (-3)^3 =5\cdot5\cdot5 + 3\cdot5\cdot5\cdot(-3) +$$ $$+ 3\cdot5\cdot(-3)\cdot(-3) + (-3)\cdot(-3)\cdot(-3)=125-225+135-27=8$$ Вказати коефіцієнти для 6-го ступеня у трикутнику Паскаля: $$1, 4, 6, 4, 1$$ $$1, 5, 10, 10, 5, 1$$ $$1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$$ $$1, 7, 21, 35, 35, 21, 7 ,1$$ # Корiнь та його властивостi Визначення **Дробово-раціональним** називають вираз вигляду $$\dfrac{M}{N}$$, де $$M, N$$ - многочлени. Визначення **Область допустимих значень (ОДЗ)** – множина значень змінних виразу, при яких цей вираз визначений та має сенс. Розглянемо дріб $$\dfrac{M}{N}$$: многочлен $$N$$, що стоїть у знаменнику, не може дорівнювати нулеві (бо на нуль ділити не можна). Таким чином ОДЗ такого виразу — будь-які значення змінних, окрім тих, при яких $$N \neq 0$$. Приклад Знайти ОДЗ виразу $$\dfrac{\left(x-\dfrac{3}{x}\right)(x+5)(x-8)}{x^2-9}.$$ Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Продивимось «проблемні» зони цього виразу – знаменники, вони не повинні бути рівними нулеві. Із першого множника чисельника $$\left(x-\dfrac{3}{x}\right)$$ знаходимо, що $$x\neq 0,$$ вносимо цей вираз до ОДЗ. Із загального знаменника бачимо, що $$x^2-9\neq 0.$$ Розкладаємо на множники: $$(x-3)(x+3)\neq 0.$$ Отже, $$x\neq \pm 3,$$ вносимо це до ОДЗ. Загалом, маємо ОДЗ: $$x\neq 0, \pm 3.$$**Вiдповiдь.** $$x\neq 0, \pm 3.$$ Поняття ОДЗ будемо використовувати надалі при розгляді ірраціональних виразів, рівнянь та нерівностей. **Дії з дробово-раціональними виразами:** \* Зведення до спільного знаменника, додавання, віднімання, множення та ділення дробово-раціональних виразів підпорядковуються тим самим правилам, що й звичайні дроби. \* Множення/ділення чисельника і знаменника одночасно на одне й те саме число (скорочування спільних множників для чисельника і знаменника). При цьому важливо не забувати про ОДЗ після скорочення (воно лишається навіть у тому разі, коли вираз, який його давав, скоротився). Визначення **Рівність дробу нулеві.** Дріб $$\dfrac{M}{N}$$ дорівнює нулеві за умови, що вираз $$M$$ у чисельнику рівний нулеві, а вираз $$N$$ у знаменнику відмінний від нуля: $$\begin{cases} M=0;\\\ N\neq0; \end{cases} \Longrightarrow \dfrac{M}{N}=0.$$ Приклад Знайдемо, за яких значень $$x$$ виконується рівність $$\dfrac{(x-3)(x+5)(x-6)}{x^2-9}=0.$$ * * Розв’язок * * Вiдповiдь * * Приховати **Розв’язок.** З умови рівності дробу нулеві прирівнюємо чисельник нулеві та перевіряємо, щоб знаменник був відмінний від нуля (це і є ОДЗ).\ ОДЗ: $$x^2-9=(x-3)(x+3)\neq 0 \Longrightarrow x \neq \pm 3.$$\ Чисельник рівний нулеві, якщо хоча б один з множників дорівнює нулю:\ $$(x-3)(x+5)(x-6)=0 \Longleftrightarrow \begin{cases} x-3=0;\\\ x+5=0;\\\ x-6=0; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=3;\\\ x=-5;\\\ x=6. \end{cases} $$\ Перевіряємо, чи задовольняють знайдені значення ОДЗ. В результаті даний в умові дробово-раціональний вираз рівний нулеві лише при $$\begin{cases} x=-5;\\\ x=6. \end{cases}$$ **Вiдповiдь.** $$\begin{cases} x=-5;\\\ x=6. \end{cases}$$ Знайдіть ОДЗ виразу: $$\dfrac{(x+\dfrac{2}{x-2})(x-4)}{x^2-4}$$ $$x \neq -2$$ $$x \neq 2$$ $$x \neq \pm 2$$ $$x \neq 4$$ $$x \neq \pm 4$$ Із першого множника чисельника $$\dfrac{2}{x-2}$$ знаходимо, що $$x\neq2$$.\ Із загального знаменника бачимо, що $$x^2-4\neq0$$.\ Розкладаємо на множники: $$(x+2)(x-2)\neq0$$.\ Отже, $$x\neq\pm2$$. При якому значенні $$x$$ справджується рівність: $$\dfrac{(x+3)(x-5)}{x^2-25}$$ $$x=-3$$ $$x=-3,5$$ $$x=5$$ $$x=\pm5$$ $$x=\pm3$$ Знайдемо ОДЗ: $$x\neq\pm5$$.\ Рівність дробу нулю справджується при $$x=-3; 5$$.\ Отже, єдиною відповіддю є $$x=-3$$. # Квадратний корiнь та його основнi властивостi Визначення **Квадратним коренем числа $$a$$** називають число $$b$$, таке, що $$b^2=a.$$ Наприклад: квадратним коренем числа $$225$$ є числа $$15$$ та $$-15$$, тому що $$(\pm 15)^2=225$$. Визначення **Арифметичним квадратним коренем числа $$a$$** називають невід’ємне число, квадрат якого рівний невід’ємному числу $$a$$. Це число позначається $$\sqrt{a}$$. Наприклад: $$\sqrt{64}=8$$. Вираз $$\sqrt{-15}$$ не має сенсу. Знак кореня $$\sqrt{\color{white} a}$$ **називають радикалом**, число $$a$$ — **підкореневим виразом**. Інший варіант запису квадратного кореня – через **дробний степінь** $$\dfrac{1}{2}$$: $$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$$. Саме з цього випливають основні властивості кореня – вони такі ж самі, як і у степеневих виразів. **Основні властивості квадратного кореня:** * $$\sqrt{a^2}=|a|, a \in \mathbb{R}.$$ Наприклад: $$\sqrt{15^2}=15.$$ * $$(\sqrt{a})^2=a.$$ Наприклад: $$\sqrt{(-15)^2}=15, (\sqrt{15})^2=15.$$ * $$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}.$$ Наприклад: $$\sqrt{15}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}.$$ * $$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, a\geq0, b\geq0.$$ Наприклад: $$\sqrt{15}=\dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt2}.$$ * $$b\sqrt a = \begin{cases} \sqrt{b^2a}, b\geq0;\\\ -\sqrt{b^2a}, b\leq0. \end{cases}$$ Наприклад: $$2\sqrt{15}=\sqrt{60}; -2\sqrt{15}=-\sqrt{60}.$$ * $$\sqrt{b^2a}=|b|\sqrt{a}.$$ Наприклад: $$\sqrt{90}=3\sqrt{10}.$$ **ОДЗ для підкореневого виразу** $$\sqrt{a}$$: $$a\geq0$$ Спростіть вираз: $$\sqrt{72}$$ $$3\sqrt{4}3$$ $$6\sqrt{2}$$ $$2\sqrt{16}$$ $$4\sqrt{3}$$ Спростіть вираз: $$\sqrt{a^5}$$ $$a^2\sqrt{a}$$ $$a^2$$ $$a^3\sqrt{a}$$ $$\sqrt{a}$$ # Корінь n-го степеня та його основні властивості Визначення **Коренем $$n$$-го степеня числа $$a$$** називають число $$b$$, таке, що $$b^n=a$$, $$n \in \mathbb{N}.$$ Наприклад: коренем четвертого степеня числа $$16$$ є числа $$2$$ та $$-2$$, тому що $$(\pm 2)^4=16.$$ Коренем другого степеня є **квадратний корінь**, третього – **кубічний**. Зауважимо, що **корені парних ступенів** з $$n=2k$$ існують лише для **додатних чисел**. Кожне число має **два корені**: $$(b)^{2n}=(-b)^{2n}=a.$$ **Корені непарних ступенів** з $$n=2k+1$$ існують для **будь-яких чисел** (в тому числі від’ємних). Кожне числo має **один корінь**: $$(b)^{2n+1}=a; (-b)^{2n+1}=-a.$$ Наприклад: число $$225$$ має два квадратних корені: $$\pm15$$, бо $$(\pm15)^2=225$$; число $$64$$ має один кубічний корінь: $$4$$, бо $$(4)^3=64$$; а $$-4$$ є кубічним коренем $$-64$$: $$(-4)^3=-64.$$ Визначення **Арифметичним коренем $$n$$-го степеня числа $$a$$** називають невід’ємне число, $$n$$-й степінь якого рівний невід’ємному числу $$a$$. Це число позначається $$\sqrt\[n]{a}$$. Наприклад: $$\sqrt\[4]{64}=2$$ Пoзначення $$\sqrt\[n]{a}$$ використовується для всіх арифметичних коренів, а також для неарифметичних (число a від’ємне) коренів непарного степеня. Степенем додатного числа $$a$$ з **раціональним показником $$\dfrac{m}{n}$$**, $$n \in \mathbb{N}, n\geq2,$$\ $$m \in \mathbb{Z}$$ називають корінь $$n$$-го степеня з числа $$a^m$$: $$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt\[n]{a^m}.$$ Надалі будемо розгляди окремо корені парного степеня з $$n=2k$$, для яких $$a\geq0$$ (арифметичні корені) та непарного степеня з $$n=2k+1$$, для яких $$a\in \mathbb{R}$$ (і арифметичні, і неарифметичні корені). | | $$n = 2k$$ | $$n = 2k+1$$ | Приклади | | ------ | --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------------------------------------------- | | $$1.$$ | $$(\sqrt\[n]{a})^n = a$$ | $$(\sqrt\[n]{a})^n = a$$ | $$\sqrt\[3]{27} = 3; \sqrt\[4]{256} = 4$$ | | $$2.$$ | $$(\sqrt\[2k]{a})^{2k} = \|a\|$$ | $$(\sqrt\[2k+1]{a})^{2k+1} = a$$ | $$\sqrt\[4]{16} = 2; \sqrt\[3]{-64} = -4$$ | | $$3.$$ | $$\sqrt\[2k]{-a}$$ **не існує!!!** | $$\sqrt\[2k+1]{-a} = -\sqrt\[2k+1]{a}$$ | $$\sqrt\[3]{-64} = -\sqrt\[3]{64} = -4$$ | | $$4.$$ | $$(\sqrt\[n]{a})^m = \sqrt\[n]{a^m}$$ | $$(\sqrt\[n]{a})^m = \sqrt\[n]{a^m}$$ | $$(\sqrt\[3]{4}) = \sqrt\[3]{256}$$ | | $$5.$$ | $$\sqrt\[2k]{ab} = \sqrt\[2k]{\|a\|} \cdot \sqrt\[2k]{\|b\|}$$ | $$\sqrt\[2k+1]{ab} = \sqrt\[2k+1]{a} \cdot \sqrt\[2k+1]{b} $$ | $$\sqrt\[3]{54} = \sqrt\[3]{2} \cdot \sqrt\[3]{27}$$ | | $$6.$$ | $$a\sqrt\[2k]{b} = \begin{cases} \sqrt\[2k]{a^{2k}b}, \thinspace & a \ge 0 \\\ -\sqrt\[2k]{a^{2k}b}, \thinspace & a \lt 0 \end{cases}$$ | $$a\sqrt\[2k+1]{b} = \sqrt\[2k+1]{a^{2k+1}b} $$ | $$\begin{aligned}2\sqrt\[3]{3} & = \sqrt\[3]{24} \\\ -2\sqrt\[4]{5} & = -\sqrt\[4]{90}\end{aligned}$$ | | $$7.$$ | $$\sqrt\[2k]{a^{2k}b} = \|a\| \sqrt\[2k]{b}$$ | $$\sqrt\[2k+1]{a^{2k+1}b} = a \sqrt\[2k+1]{b}$$ | $$\sqrt\[3]{54} = 3\sqrt\[3]{2}$$ | | $$8.$$ | $$\sqrt\[n]{\sqrt\[k]{a}} = \sqrt\[nk]{a} $$ | $$\sqrt\[n]{\sqrt\[k]{a}} = \sqrt\[nk]{a} $$ | $$\sqrt\[3]{\sqrt\[4]{10}} = \sqrt\[12]{10}$$ | Також справедливі вирази: $$\sqrt\[nk]{a^{mk}}=\sqrt\[n]{a^m}, a \geq0; \sqrt\[n]{0}=0; \sqrt\[n]{1}=1.$$ Спростіть вираз: $$\sqrt\[4]{81}$$ $$-3$$ $$3$$ $$9$$ $$-9$$ Спростіть вираз: $$\sqrt\[4]{-4}$$ такий корінь невизначений $$1$$ $$2$$ $$4$$ # Ірраціональні вирази Визначення **Ірраціональним** називають вираз, у якому над змінними окрім стандартних операцій (додавання, віднімання, множення та ділення) виконують операцію зведення у нецілий степінь. Наприклад: ірраціональними є вирази $$\dfrac{\sqrt{2+a-b}}{3b^2}$$, $$56x^2y^{\frac{3}{2}}z^{\frac{1}{16}}$$ тощо. Зауважимо, якщо у виразі ірраціональність присутня лише у коефіцієнтах, то відносно змінної такий вираз не буде ірраціональним. Наприклад: $$2x^2+\sqrt{a}x+\sqrt{5}$$ не є ірраціональним, якщо змінною є $$x$$. З іншого боку, якщо змінною є $$a$$, то такий вираз є ірраціональним. **Все залежить від того, які величини вважаємо коефіцієнтами, а які – змінними**. Визначення Алгебраїчний вираз $$\dfrac{M(x)}{N(x)}$$ називають **дробово-ірраціональним**, якщо хоча б один з виразів $$M(x)$$ чи $$N(x)$$ є ірраціональним відносно змінної $$x$$. # Доповнюючий множник Нехай $$a(x)$$ — деякий ірраціональний вираз відносно змінної $$x$$. Алгебраїчний вираз $$\bar a(x)$$, що тотожно не рівний нулеві, називають **доповнюючим множником**, якщо вираз $$a(x)\cdot\bar a(x)$$ є раціональним. Наприклад: для виразу $$(\sqrt{2}-1)$$ доповнюючим множником є вираз $$(\sqrt{2}+1)$$, бо їхній добуток $$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$$ є раціональним виразом. Доповнюючих множників для даного виразу $$a(x)$$ може бути незліченна кількість. Вкажіть доповнюючий множник для виразу: $$\sqrt{2} - 3$$ $$3-\sqrt{2}$$ $$3 + \sqrt{2}$$ $$\sqrt{3} + 2$$ $$\sqrt{3} + 2$$ Вираз $$3 + \sqrt{2}$$ є доповнюючим множником, бо добуток $$(\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} + 3) = 2 -3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 9 = -7$$ є раціональним виразом. Вкажіть доповнюючий множник для виразу $$\sqrt\[5]{x+3}$$ $$\sqrt\[5]{(x+3)^4}$$ $$\sqrt\[5]{(x+3)^{11}}$$ $$\sqrt\[5]{(x+3)^5}$$ $$\sqrt\[5]{(x^2+3)^2}$$ Вираз $$\sqrt\[5]{(x+3)^4}$$ є доповнюючим множником, бо добуток $$\sqrt\[5]{x+3}\cdot \sqrt\[5]{(x+3)^4}= x+3$$ є раціональним виразом. # Звiльнення вiд iррацiональностi у знаменнику (чисельнику) iррацiонального дробу Часто виникає необхідність звільнитись від ірраціональності у знаменнику (чисельнику) дробово-ірраціонального виразу. Це можна забезпечити, скориставшись основною властивістю дробу, – **помножити чисельник та знаменник на доповнюючий множник** для знаменника (чисельника): $$\dfrac{\overbrace{M(x)}^\text{ірраціональний вираз}}{\underbrace{N(x)}\_\text{ірраціональний вираз}}=\dfrac{\overbrace{M(x)\cdot\bar N(x)}^\text{ірраціональний вираз}}{\underbrace{N(x)\cdot\bar N(x)}\_\text{раціональний вираз}}=\dfrac{\overbrace{M(x)\cdot\bar M(x)}^\text{раціональний вираз}}{\underbrace{N(x)\cdot\bar M(x)}\_\text{ірраціональний вираз}}.$$ Приклад Звільнитися від ірраціональності у знаменниках виразу $$\dfrac{1}{\sqrt7}+\dfrac{25}{\sqrt\[3]{10}}.$$ * * Розв’язок * * Вiдповiдь * * Приховати **Розв’язок.** Для першого знаменника $$\sqrt{7}$$ доповнюючим виразом буде $$\sqrt{7}$$, бо $$\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}=7$$ — раціональний вираз. Для другого знаменника $$\sqrt\[3]{10}$$ доповнюючим виразом буде $$\sqrt\[3]{10^2}$$, бо $$\sqrt\[3]{10}\cdot\sqrt\[3]{10^2}=10$$ — раціональний вираз. Таким чином: $$\dfrac{1}{\sqrt7}+\dfrac{25}{\sqrt\[3]{10}}=\dfrac{1\cdot\sqrt7}{\sqrt7\cdot\sqrt7}+\dfrac{25\cdot\sqrt\[3]{10^2}}{\sqrt\[3]{10}\cdot\sqrt\[3]{10^2}}=\dfrac{\sqrt7}{7}+\dfrac{5\sqrt\[3]{10^2}}{10}.$$ **Вiдповiдь.** $$\dfrac{\sqrt7}{7}+\dfrac{5\sqrt\[3]{10^2}}{10}.$$ Звільніться від ірраціональності у знаменнику дробу: $$\dfrac{1}{\sqrt{7}-2}$$ $$\dfrac{-\sqrt{7}-2}{4}$$ $$\dfrac{\sqrt{7}+2}{3}$$ $$\dfrac{\sqrt{7}+2}{2}$$ $$1$$ Домножимо знаменник дробу на доповнюючий множник: $$\dfrac{\sqrt{7}+2}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)}=\dfrac{\sqrt{7}+2}{3}.$$ Звільніться від ірраціональності у знаменнику дробу: $$\dfrac{14}{\sqrt\[5]{(x^3+1)^2}}$$ $$\dfrac{14\sqrt\[5]{(x^3+1)^3}}{x^3+1}$$ $$\dfrac{14\sqrt\[5]{(x^3+1)^2}}{x^3+1}$$ $$\dfrac{14\sqrt\[3]{(x^3+1)^3}}{x^3+1}$$ $$\dfrac{14\sqrt\[5]{(x^3+1)^4}}{x^3+1}$$ Домножимо знаменник дробу на доповнюючий множник: $$\dfrac{14}{\sqrt\[5]{(x^3+1)^2}} = \dfrac{14\sqrt\[5]{(x^3+1)^3}}{\sqrt\[5]{(x^3+1)^2}\sqrt\[5]{(x^3+1)^3}} = \dfrac{14\sqrt\[5]{(x^3+1)^3}}{x^3+1}.$$ # Доповнюючi множники для основних типiв iррацiональностей у знаменнику (чисельнику) Перший рядок – доповнюючий множник знаходимо шляхом доповнення до цілого степеня, а наступні три виводимо з формул скороченого множення. | Вираз | Доповнюючий множник | Результат множення | Чому саме такий вигляд доповнюючого множника? | | ------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------- | --------------------------------------------- | | $$\sqrt\[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $$ | $$\sqrt\[n]{a^{kn-m}} = a^{\frac{kn-m}{n}}, \\\ k \gt \dfrac{m}{n}, k \in \mathbb{N} $$ | $$a^k, \thinspace k \in \mathbb{N} $$ | Доповнення до цілого степеня | | $$\sqrt{a} + \sqrt{b} $$ | $$\sqrt{a} - \sqrt{b}$$ | $$a-b$$ | Формула різниці квадратів | | $$\sqrt\[3]{a} + \sqrt\[3]{b} $$ | $$\sqrt\[3]{a^2} - \sqrt\[3]{ab} + \sqrt\[3]{b^2} $$ | $$a+b$$ | Формула суми кубів | | $$\sqrt\[3]{a} - \sqrt\[3]{b} $$ | $$\sqrt\[3]{a^2} + \sqrt\[3]{ab} + \sqrt\[3]{b^2} $$ | $$a-b$$ | Формула різниці кубів | Приклад Звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу:\ a) $$\dfrac{25}{\sqrt\[6]{x^2+x+1}}$$; б) $$\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{x}+1}$$; в) $$\dfrac{x}{\sqrt\[3]{2x+5}+3}$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати **Розв’язок.** a) $$\dfrac{25}{\sqrt\[6]{x^2+x+1}}=\dfrac{25\cdot\sqrt\[6]{(x^2+x+1)^5}}{\sqrt\[6]{x^2+x+1}\cdot\sqrt\[6]{(x^2+x+1)^5}}=\dfrac{25\cdot\sqrt\[6]{(x^2+x+1)^5}}{x^2+x+1}$$; б) $$\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}\cdot(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)\cdot(\sqrt{x}-1)}=\dfrac{\sqrt{x}\cdot(\sqrt{x}-1)}{x-1}$$; в) $$\dfrac{x}{\sqrt\[3]{2x+5}+3} = \dfrac{x}{\sqrt\[3]{2x+5}+\sqrt\[3]{27}}= \= \dfrac{x\cdot(\sqrt\[3]{(2x+5)^2}-\sqrt\[3]{27(2x+5)}+\sqrt\[3]{27^2})}{(\sqrt\[3]{2x+5}+\sqrt\[3]{27})\cdot(\sqrt\[3]{(2x+5)^2}-\sqrt\[3]{27(2x+5)}+\sqrt\[3]{27^2})} =$$ $$= \dfrac{x\cdot(\sqrt\[3]{(2x+5)^2}-3\sqrt\[3]{(2x+5)}+9)}{2x+5+27} = \dfrac{x\cdot(\sqrt\[3]{(2x+5)^2}-3\sqrt\[3]{(2x+5)}+9)}{2x+32}$$. **Вiдповiдь.**\ a) $$\dfrac{25\cdot\sqrt\[6]{(x^2+x+1)^5}}{x^2+x+1}$$; б) $$\dfrac{\sqrt{x}\cdot(\sqrt{x}-1)}{x-1}$$; в) $$\dfrac{x\cdot(\sqrt\[3]{(2x+5)^2}-3\sqrt\[3]{(2x+5)}+9)}{2x+32}$$. # Додаток В ірраціональних виразах вигляду $$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}$$ можна позбавитись від зовнішнього знака кореня (перетворити на вираз вигляду $$\sqrt{d} \pm \sqrt{e}$$ за умови, що вираз $$A^2-B$$ є повним квадратом іншого виразу. Якщо у виразі перед внутрішнім коренем стоїть коефіцієнт, його необхідно внести під знак кореня для приведення до стандартного вигляду $$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}$$. Таким чином робиться перетворення $$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{d} \pm \sqrt{e}$$. $$A$$ та $$B$$ відомі, тому вони позначені великими літерами, $$d$$ та $$e$$ – відповідно змінні (або невідомі). Далі дається виведення формули для обчислення $$d$$ та $$e$$ через $$A$$ та $$B$$. Вони є громіздкими, тому запам'ятовувати їх не потрібно, достатньо пам'ятати алгоритм виведення. Для подальших дій знадобиться знання, як розв'язувати квадратні рівняння та вирішувати прості системи рівнянь. Алгоритм 1. Піднести обидві частини виразу $$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{d} \pm \sqrt{e}$$ до квадрата.\ 2\. Скласти систему рівнянь, прирівнявши раціональні доданки та доданки з коренем.\ 3\. Розв’язати систему рівнянь відносно змінних $$d$$ та $$e$$. Отже, піднесемо обидві частини виразу до квадрата: $$\left(\sqrt{A\pm\sqrt{B}}\right)^2=(\sqrt{d} \pm \sqrt{e})^2;$$ $$A\pm\sqrt{B}=d\pm2\sqrt{de}+e.$$ Прирівняємо раціональні доданки та доданки з коренем, склавши систему рівнянь: $$\begin{cases} A=d+e;\\\ \sqrt{B}=2\sqrt{de}. \end{cases}$$ Алгоритм **Pішення системи рівнянь** 1. Піднести обидві частини другого рівняння (з коренями) до квадрата.\ 2\. З першого рівняння (з раціональними доданками) виразити $$d$$ (або $$e$$) та підставити у друге рівняння.\ 3\. Привести друге рівняння, отримане у п.$$2$$, до стандартного вигляду для квадратного рівняння.\ 4\. Знайти корені квадратного рівняння – змінну $$e$$ (або $$d$$).\ 5\. Виразити $$d$$ (або $$e$$) через знайдені корені та рівняння з раціональними доданками. З першого рівняння системи виразимо $$d$$: $$d=A-e$$ Піднесемо обидві частини другого рівняння системи до квадрата: $$(\sqrt B)^2=(2\sqrt{de})^2;$$ $$B=4de.$$ Підставимо в отримане рівняння $$d$$, яке виразили раніше: $$B=4(A-e)e.$$ Розкриємо дужки, поділимо всі доданки на $$-4$$ та перенесемо їх у ліву сторону. Отримане рівняння є квадратним відносно $$e$$: $$e^2-Ae+\dfrac{B}{4}=0.$$ Корені квадратного рівняння $$ax^2+bx+c=0$$ знаходимо за формулами: $$x\_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$ Отже, з квадратного рівняння знаходимо $$e$$: $$e\_{1,2}=\dfrac{A\pm\sqrt{A^2-B}}{2}.$$ Скориставшись виразом $$d=A-e$$, знаходимо $$d$$: $$d\_{1,2}=A-\dfrac{A\pm\sqrt{A^2-B}}{2}=\dfrac{A\mp\sqrt{A^2-B}}{2}.$$ Помічаємо, що $$d\_1=e\_2, d\_2=e\_1$$, отже, можемо обрати довільну пару. Нехай $$d$$ буде зі знаком «$$+$$», а $$e$$ буде зі знаком «$$-$$». Остаточно: $$d=\dfrac{A+\sqrt{A^2-B}}{2};$$ $$e=\dfrac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}.$$ Тепер стає очевидним, для чого висувається умова, щоб вираз $$A^2-B^2$$ був повним квадратом, бо інакше ніякого спрощення не відбудеться. Використовуючи виведені формули, можна перетворити вираз $$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{d} \pm \sqrt{e}$$. $$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\dfrac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}\pm\sqrt{\dfrac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}.$$ # Показниковi та логарифмiчнi тотожностi Далі наведено основні показникові тотожності, частину з яких вже було наведено при означенні [степеня](http://math.ed-era.com/3/stepin_z_tsilim_pokaznikom.html), решта – при означенні [кореня](http://math.ed-era.com/4/korn_n-go_stepenya_ta_iogo_osnovn_vlastivost.html). В показникових тотожностях **основа завжди приймається додатною** (це далі не вказується), отже $$a^x>0$$ – завжди більше від нуля. **Основні показникові тотожності:** 1. $$a^0=1$$. 2. $$a^1=a$$. 3. $$a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$$. 4. $$a^{x+y}=a^x\cdot a^y$$. Наприклад: $$7^{3+x}=7^3\cdot7^x=343\cdot7^x.$$ 5. $$a^{x-y}=\dfrac{a^x}{a^y}$$. Наприклад: $$7^{x-3}=7^{-3}\cdot7^x=\dfrac{1}{343}\cdot7^x.$$ 6. $$a^{xy}=(a^x)^y=(a^y)^x$$. Наприклад: $$625^x=(5^4)^x=5^{4x}.$$ 7. $$a^{\frac{x}{y}}=\sqrt\[y]{a^x}, y\in\mathbb{N}$$. Наприклад: $$3^{\frac{x}{2-x}}=\sqrt\[2-x]{3^x}.$$ 8. $$a^x\cdot b^x=(ab)^x$$. Наприклад: $$3^x\cdot4^x=(3\cdot4)^x=12^x.$$ 9. $$\dfrac{a^x}{b^x}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^x$$. Наприклад: $$\dfrac{5^x}{3^x}=\left(\dfrac{5}{3}\right)^x.$$ # Логарифм Визначення **Логарифмом числа $$b$$ за основою $$a$$ ($$a>0, a\neq1, b>0$$)** називається показник степеня, до якого треба піднести число $$a$$, щоб отримати число $$b$$: $$a^x=b$$. Логарифм числа $$b$$ за основою $$a$$ **позначається** $$\log\_{a}b$$. Наприклад: $$\log\_{6}36=2,$$ бо $$6^2=36$$. **Логарифм з основою $$1$$ не визначений: $$a\neq1$$**. З визначення логарифма випливає **основна логарифмічна тотожність**: $$a^{\log\_{a}b}=b \Leftrightarrow \log\_{a}{a^b}=b.$$ Логарифм за основою $$10$$ має спеціальний запис $$\log\_{10}b=\lg{b}$$ і називається **десятковим логарифмом**. Для десяткових логарифмів справедливі рівності: $$10^{\lg{x}}=x; \lg{10^x}=x.$$ Наприклад: $$\lg1000=3,$$ бо $$10^3=1000.$$ Логарифм за основою $$e$$ має в математиці велике значення. Число $$e=2,7182818284\dots$$ Саме число $$e$$ є ірраціональним. Для логарифма за цією основою теж є спеціальний запис $$\log\_{e}x=\ln{x}$$ і називається **натуральний логарифм**. Наприклад: $$\ln403,429\approx5,$$ бо $$e^5\approx2,71828^5\approx403,429.$$. **ОДЗ для логарифмічного виразу** $$\log\_{a}b: \begin{cases} a>0;\\\ a\neq1;\\\ b>0. \end{cases}$$ Чому дорівнює $$\log\_1{10}$$? $$10^1$$ $$1^{10}$$ такий вираз невизначений $$\sqrt{10}$$ $$1$$ Чому дорівнює $$\log\_3{9}$$? $$-2$$ $$3$$ $$2$$ $$-3$$ такий вираз невизначений # Логарифмiчнi тотожностi В наведених далі співвідношеннях **основа логарифма вважається додатною та нерівною** $$1: a>0, a\neq1$$. Основні логарифмічні тотожності: 1. $$a^{\log\_{a}b}=b$$. 2. $$\log\_{a}1=0$$. 3. $$\log\_{a}a=1$$. 4. $$\log\_{a}{a^b}=b$$. 5. $$\log\_{a}{xy}=\log\_{a}{|x|}+\log\_{a}{|y|}, xy>0$$. Наприклад: $$\log\_{3}54=\log\_{3}{2\cdot27}=\log\_{3}2+\log\_{3}27=\log\_{3}2+\log\_{3}{3^3}=\log\_{3}2+3.$$ 6. $$\log\_{a}{\dfrac{x}{y}}=\log\_{a}{|x|}-\log\_{a}{|y|}, xy>0$$. Наприклад: $$\log\_{2}{\dfrac{16}{9}}=\log\_{2}16-\log\_{2}9=\log\_{2}{2^4}-\log\_{2}{9}=4-\log\_{2}{9}.$$ 7. $$\log\_{a}{x^p}=p\cdot\log\_{a}{|x|}, x^p>0$$. Наприклад: $$\log\_{5}64=\log\_{5}{2^6}=6\log\_{5}2.$$ 8. $$\log\_{a^q}x=\dfrac{1}{q}\log\_{a}x, q\neq0$$. Наприклад: $$\log\_{9}23=\log\_{3^2}23=\dfrac{1}{2}\log\_{3}23.$$ 9. $$\log\_{a^q}{x^p}=\dfrac{p}{q}\log\_{a}x, q\neq0$$ — випливає з формул ($$7$$) та ($$8$$). Наприклад: $$\log\_{16}125=\log\_{2^4}{5^3}=\dfrac{3}{4}\log\_{2}5.$$ 10. $$\log\_{a}x=\dfrac{\log\_{b}x}{\log\_{b}a}$$ - формула переходу до іншої основи. Наприклад: $$\log\_{2}27=\dfrac{\log\_{3}27}{\log\_{3}2}=\dfrac{\log\_{3}{3^3}}{\log\_{3}2}=\dfrac{3}{\log\_{3}2}.$$ 11. $$\log\_{a}b=\dfrac{1}{\log\_{b}a}$$ — випливає з формули ($$10$$). 12. $$a^{\log\_{c}b}=b^{\log\_{c}a}$$ — випливає з формули ($$7$$). # Логарифмування та потенцiювання Визначення **Логарифмування** — це операція знаходження логарифмів заданих чисел чи виразів. Приклад Знайти логарифм $$x=25a\dfrac{b^2}{c}$$ за основою $$a$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Логарифмуємо обидві частини рівності та користуємось основними тотожностями:$$\log\_{a}x=\log\_{a}25a\dfrac{b^2}{c}=\log\_{a}25 + \log\_{a}a + \log\_{a}{b^2} - \log\_{a}c=2\log\_{a}5+2\log\_{a}b-\log\_{a}c + 1.$$**Вiдповiдь.** $$\log\_{a}x=2\log\_{a}5+2\log\_{a}b-\log\_{a}c + 1.$$ Визначення **Потенціювання** — це операція знаходження чисел чи виразів за заданим логарифмом числа (виразу). Якщо по обидві сторони рівності стоять логарифми без коефіцієнтів з однаковими основами, то при потенціюванні значки логарифмів прибирають: $$\log\_{a}{b(x)}=\log\_{a}{c(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} b(x)=c(x);\\\ b(x)>0. \end{cases}$$ Якщо ж основи різні чи є коефіцієнти, то значки логарифмів прибирати не можна. Треба скористатись основними тотожностями для перетворення виразу. Приклад Пропотенціювати вираз $$2\log\_{2}x=\ln24-3\ln a+6\ln b$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Зводимо праву частину, щоб уся була під знаком логарифма:$$2\log\_{2}x=\ln24-3\ln a+6\ln b \Rightarrow \log\_{2}x=\dfrac{1}{2}\ln24-\dfrac{3}{2}\ln a+\dfrac{6}{2}\ln b;$$$$\log\_{2}x=\ln{\sqrt{24}}-\ln{a^{\frac{3}{2}}}+\ln{b^3} \Rightarrow \log\_{2}x=\ln{b^3}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}.$$Переходимо до однієї основи:$$\log\_{2}x=\ln {b^3}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}} \Leftrightarrow \log\_{2}x=\dfrac{\log\_{2}{b^3}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}}{\log\_{2}e} \Leftrightarrow x=\dfrac{b^3}{\log\_{2}e}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}.$$**Вiдповiдь.** $$x=\dfrac{b^3}{\log\_{2}e}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}.$$ Знайти логарифм виразу $$3a^2\dfrac{c^3}{b^4}$$ за основою $$b$$ $$log\_{b}3+log\_{b}a+log\_{b}c-4$$ $$-4$$ $$log\_{b}3+2log\_{b}a+3log\_{b}c-4$$ $$log\_{b}c-4$$ $$2log\_{b}a+3log\_{b}c$$ $$3a^2\dfrac{c^3}{b^4} = log\_{b}3 + log\_{b}a^2 + log\_{b}c^3 - log\_{b}b^4 = log\_{b}3 + 2log\_{b}a + 3log\_{b}c -4log\_{b}b =$$ $$= log\_{b}3+2log\_{b}a+3log\_{b}c-4$$. Пропотенціюйте вираз $$2log\_{2}x = ln a^{\frac{4}{3}}$$ $$x=a^{\frac{2}{3}}$$ $$x=a^{\frac{3}{2}}\dfrac{1}{log\_{2}e}$$ $$x=a^{\frac{2}{3}}\dfrac{1}{log\_{2}e}$$ $$log\_{2} x=\dfrac{1}{2}ln a^{\frac{4}{3}}$$\ $$log\_{2} x=lna^{\frac{2}{3}}$$\ $$log\_{2} x = \dfrac{log\_{2}a^{\frac{2}{3}}}{log\_{2}e}$$\ $$x=a^{\frac{2}{3}}\dfrac{1}{log\_{2}e}$$ # Системи алгебраїчних рiвнянь ## Системи алгебраїчних рiвнянь ## Системи рівнянь з двома змінними Визначення **Системa алгебраїчних рівнянь** — це набір рівнянь, які повинні задовольнятися одночасно: $$\begin{cases} F\_1(x\_1, x\_2,\dots, x\_m) = 0,\\\ F\_2(x\_1, x\_2,\dots, x\_m) = 0,\\\ \dots\\\ F\_n(x\_1, x\_2,\dots, x\_m) = 0. \end{cases}$$ **Розв’язати систему рівнянь** — знайти множину всіх наборів $$x\_1, x\_2,\dots, x\_m$$, при яких всі рівності системи є вірними. Якщо множина розв’язків є порожньою, то таку систему рівнянь називають **несумісною**. Система має розв’язок тільки в тому випадку, коли кількість змінних не більша від кількості рівнянь $$m\leq n$$. **Рівносильні системи рівнянь** — це системи рівнянь, множини розв'язків яких збігаються. Всі методи розв’язання систем базуються на переходах до рівносильних систем (простіших для розв’язання). Далі будуть розглянуті методи розв’язання систем рівнянь з двома змінними: $$\begin{cases} F\_1(x, y) = 0,\\\ F\_2(x, y) = 0. \end{cases}$$ Розв'язки таких систем записують у вигляді множини пар чисел: $$\\{(x\_0; y\_0), (x\_1; y\_1), \dots\\}$$ # Метод підстановки Якщо з одного рівняння системи можна виразити одну змінну через іншу (наприклад, $$y = f(x)$$, або навпаки), то після підстановки отриманого виразу в друге рівняння отримана система рівнянь рівносильна вихідній: $$\begin{cases} F(x, y) = 0,\\\ y = f(x); \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} F(x, f(x)) = 0,\\\ y = f(x). \end{cases}$$ Після цього розв’язуємо рівняння $$F(x, f(x)) = 0$$ з однією змінною $$x$$. Для отримання значень $$y$$ знайдені значення $$x$$ підставляємо у рівняння $$y = f(x)$$. Цей метод зручно використовувати, коли хоча б одна зі змінних присутня лише в першому степені. Приклад Розв’язати систему рівнянь $$\begin{cases} x + y = 1,\\\ x^2 - y^2 = 2y. \end{cases}$$ Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**З першого рівняння виражаємо $$x$$ через $$y$$: $$x + y = 1 \Longleftrightarrow x = 1 - y.$$Підставляємо цей вираз у друге рівняння:$$(1 - y)^2 - y^2 = 2y \Longleftrightarrow 1 - 2y + y^2 - y^2 = 2y \Longleftrightarrow 1 - 2y = 2y \Longleftrightarrow y = \dfrac{1}{4}.$$Отже, $$y\_0 = \dfrac{1}{4}.$$Знаходимо значення $$x\_0$$, підставиши $$y\_0$$ в перше рівняння:$$x\_0 = 1 - y\_0 = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}.$$**Відповідь.** $$\left(\dfrac{3}{4}; \dfrac{1}{4}\right).$$ Розв'язати систему рівнянь: $$\begin{cases} x+y=1\\\ x-y=7 \end{cases}$$ $$(4;-3)$$ $$(4;3)$$ $$(-4;-3)$$ $$(-4;3)$$ Виразимо $$x$$ через $$y$$: $$\begin{cases} x=1-y\\\ x-y=7 \end{cases}$$ Підставимо у друге рівняння $$x$$ і спростимо систему: $$\begin{cases} x=1-y\\\ 1-y-y=7 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x=1-y\\\ -2y=6 \end{cases}$$ Помножимо друге рівняння системи на $$-\dfrac{1}{2}$$: $$\begin{cases} x=1-y\\\ y=-3 \end{cases}$$ Тепер, знаючи значення $$y$$, знайдемо значення $$x$$: $$\begin{cases} x=1-(-3)\\\ y=-3 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x=4\\\ y=-3 \end{cases}$$ Розв'язати систему рівнянь: $$\begin{cases} 3x+5y=21\\\ 8x-3y=7 \end{cases}$$ $$(2;-3)$$ $$(-2;3)$$ $$(2;3)$$ $$(-2;-3)$$ Перше рівняння помножимо на $$\dfrac{1}{3}$$, і виразимо $$x$$ через $$y$$: $$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}y+7\\\ 8x-3y=7 \end{cases}$$ Підставимо у друге рівняння $$x$$ і спростимо систему: $$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}y+7\\\ 8(-\dfrac{5}{3}y+7)-3y=7 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}y+7\\\ -\dfrac{49}{3}y=-49 \end{cases}$$ Помножимо друге рівняння системи на $$-\dfrac{3}{49}$$: $$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}y+7\\\ y=3 \end{cases}$$ Тепер, знаючи значення $$y$$, знайдемо значення $$x$$: $$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}\cdot3+7\\\ y=3 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x=2\\\ y=3 \end{cases}$$ # Метод алгебраїчного додавання Якщо замість одного рівняння записати лінійну комбінацію рівнянь (суму рівнянь, кожне з яких помножено на довільне число), а друге залишити незмінним, то отримана система рівнянь буде рівносильна вихідній: $$\begin{cases} F\_1(x, y) = 0,\\\ F\_2(x, y) = 0; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} a\cdot F\_1(x, y) + b\cdot F\_2(x, y) = 0,\\\ F\_2(x, y) = 0; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} F\_1(x, y) = 0,\\\ c\cdot F\_1(x, y) + d\cdot F\_2(x, y) = 0; \end{cases}$$ де $$a, b, c, d \in \mathbb{R}$$. Інколи зручно замість обох рівнянь записати різні їхні лінійні комбінації (наприклад, суму та різницю рівнянь). Після спрощення системи методом алгебраїчного додавання часто також потрібно застосовувати метод підстановки, розглянутий вище. Приклад Розв’язати систему рівнянь $$\begin{cases} 3x + 5y = 7,\\\ x - 6y = 10. \end{cases}$$ Розв’язок 1 Розв’язок 2 Вiдповiдь Приховати**Перший варіант.**Помножимо друге рівняння системи на $$-3$$ та додамо до нього перше (зверніть увагу: ліву частину додаємо до лівої, а праву — до правої), тоді змінна $$x$$ у другому рівнянні знищиться:$$\begin{cases} 3x + 5y = 7,\\\ x - 6y = 10; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 3x + 5y = 7,\\\ -3x + 18y = -30; \end{cases} \Longleftrightarrow$$$$\Longleftrightarrow \begin{cases} 3x + 5y = 7,\\\ -3x + 18y + 3x + 5y = -30 + 7; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 3x + 5y = 7,\\\ 23y = -23. \end{cases}$$З другого рівняння знаходимо $$y\_0 = -1.$$Підставимо це значення в перше рівняння:$$3x\_0 + 5\cdot(-1) = 7 \Longleftrightarrow x\_0 = 4.$$**Другий варіант.**Помножимо друге рівняння системи на $$-3$$ та додамо до нього перше, і,так само, помножимо перше рівняння на $$\dfrac{6}{5}$$ та додамо до нього друге:$$\begin{cases} 3x + 5y = 7,\\\ x - 6y = 10; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 3x + 5y - 3(x - 6y)= 7 - 3\cdot10,\\\ x - 6y + \dfrac{6}{5}(3x + 5y) = 10 +\dfrac{6}{5}\cdot7. \end{cases}$$Розкривши дужки та звівши подібні доданки, бачимо, що в першому рівнянні зникає змінна $$x$$, а в другому — $$y$$:$$\begin{cases} 3x + 5y - 3x + 18y= -23,\\\ x - 6y + \dfrac{6}{5}(3x + 5y) = 10 +\dfrac{6}{5}\cdot7; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 23y= -23,\\\ \dfrac{23}{5}x = \dfrac{92}{5}; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} y\_0= -1,\\\ x\_0 = 4. \end{cases}$$**Відповідь.** $$(4; -1).$$ Вкажіть множину розв'язків системи рівнянь: $$\begin{cases}x-y=1, \\\ x+y=2. \end{cases}$$ $$\\{\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\\}$$ $$\\{-\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\\}$$ $$\\{\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\\}$$ $$\\{-\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2}\\}$$ Додамо перше і друге рівняння: $$\begin{cases}x-y=1, \\\ 2x=3. \end{cases}$$\ Звідси знаходимо розв'язок системи рівнянь: $$\begin{cases}y=\dfrac{1}{2}, \\\ x=\dfrac{3}{2}. \end{cases}$$ # Метод заміни змінної Інколи зручно зробити заміну змінних, але її вигляд залежить від конкретного прикладу. Часто користуються заміною: $$\begin{cases} x + y = u,\\\ x\cdot y = v. \end{cases}$$ Приклад Розв’язати систему рівнянь $$\begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 4,\\\ x + y + xy = 3. \end{cases}$$ Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Зробимо заміну змінних: $$\begin{cases} x + y = u,\\\ x\cdot y = v. \end{cases}.$$Перетворимо вирази з лівої частини першого рівняння:$$x^2 + y^2 + x + y = x^2 + y^2 + 2xy - 2xy + x + y = (x + y)^2 + x + y - 2xy = u^2 + u - 2v.$$Тепер можна записати:$$\begin{cases} u^2 + u - 2v = 4,\\\ u + v = 3. \end{cases}.$$Скористаємось методом додавання: помножимо друге рівняння на $$2$$ та додамо до першого:$$\begin{cases} u^2 + u - 2v = 4,\\\ u + v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} u^2 + u - 2v + 2(u + v)= 4 + 2\cdot3,\\\ u + v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} u^2 + 3u - 10= 0,\\\ u + v = 3. \end{cases}$$Розв’яжемо перше рівняння та знайдемо $$u$$.За т. Вієта $$u\_1 + u\_2 = -3; u\_1u\_2 = -10.$$Ці умови задовольняють корені: $$u\_1 = -5; u\_2 = 2.$$Тепер потрібно розв’язати дві системи рівнянь:$$u = -5: \begin{cases} u = -5,\\\ u + v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} u = -5,\\\ v = 8; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x + y = -5,\\\ xy = 8. \end{cases}$$Тут можна скористатись методом підстановки, але простіше — згадати т. Вієта. Нехай $$t = x$$ та $$t = y$$ — корені квадратного рівняння:$$t^2 + 5t + 8 = 0.$$Шукаємо дискримінант: $$D = 5^2 - 4\cdot1\cdot8 = 25 - 32 = -7$$u = 2: \begin{cases} u = 2,\\\ u + v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} u = 2,\\\ v = 1; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x + y = 2,\\\ xy = 1. \end{cases}$$Тут також скористаємося т. Вієта, як і в попередньому випадку. Нехай $$t = x$$ та $$t = y$$ — корені квадратного рівняння:$$t^2 - 2t + 1 = 0 \Longleftrightarrow (t - 1)^2 = 0 \Longleftrightarrow t = 1.$$Маємо два рівних корені: $$t = x = y = 1.$$**Відповідь.** $$(1; 1).$$ Приклад Розв’язати систему рівнянь: $$\begin{cases} x^4 + x^2 = 92 - y^4 - y^2,\\\ x\cdot y = 4. \end{cases}$$ Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Робимо рівносильні переходи:$$\begin{cases} x^4 + x^2 = 92 - y^4 - y^2,\\\ x\cdot y = 4; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^4 + y^4 + x^2 + y^2 = 92,\\\ x\cdot y = 4. \end{cases}$$Зробимо заміну змінних: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = u,\\\ x\cdot y = v. \end{cases}$$Перетворимо вирази з лівої частини першого рівняння:$$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = u^2 - 2v^2.$$Тепер можна записати:$$\begin{cases} u^2 - 2v^2 + u = 92,\\\ v = 3. \end{cases}$$Підставляємо $$v = 3$$ в перше рівняння:$$u^2 - 18 + u = 92 \Longleftrightarrow u^2 + u - 100 = 0.$$Шукаємо дискримінант: $$D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-110) = 441 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних корені:$$u\_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{441}}{2} = 10; u\_2 = \dfrac{-1 - \sqrt{441}}{2} = -11.$$Від’ємний корінь відкидаємо, бо $$u = x^2 + y^2 \geq 0$$ — завжди невід’ємна величина.В результаті:$$\begin{cases} u = 10,\\\ v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 = 10,\\\ xy = 3. \end{cases}$$Скористаємось методом додавання: помножимо друге рівняння на $$2$$, а тоді додамо і віднімемо від першого рівняння:$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10,\\\ xy = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 + 2xy = 10 + 2\cdot3,\\\ x^2 + y^2 - 2xy = 10 - 2\cdot3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} (x + y)^2 = 16,\\\ (x - y)^2 = 4; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} |x + y| = 4,\\\ |x - y| = 2. \end{cases}$$Потрібно розглянути чотири випадки:$$x + y > 0, x - y > 0$$: $$\begin{cases} x + y = 4,\\\ x - y = 2. \end{cases}$$Складаємо та віднімаємо рівняння:$$\begin{cases} x + y = 4,\\\ x - y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 2x = 6,\\\ 2y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x\_1 = 3,\\\ y\_1 = 1. \end{cases}$$$$x + y > 0, x - yСкладаємо та віднімаємо рівняння:$$\begin{cases} x + y = 4,\\\ -x + y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 2x = 2,\\\ 2y = 6; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x\_2 = 1,\\\ y\_2 = 3. \end{cases}$$$$x + yСкладаємо та віднімаємо рівняння:$$\begin{cases} -x - y = 4,\\\ -x + y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} -2x = 6,\\\ -2y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x\_3 = -3,\\\ y\_3 = -1. \end{cases}$$$$x + y 0$$: $$\begin{cases} -(x + y) = 4,\\\ x - y = 2. \end{cases}$$Складаємо та віднімаємо рівняння:$$\begin{cases} -x - y = 4,\\\ x - y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} -2x = 2,\\\ -2y = 6; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x\_4 = -1,\\\ y\_4 = -3. \end{cases}$$**Відповідь.** $$\\{(3; 1), (1; 3), (-3; -1), (-1; -3)\\}.$$ Якою заміною доречно скористатись під час розв’язання системи рівнянь? $$\begin{cases}x^2-y^2=1, \\\ x^2+y^2-2xy=1. \end{cases}$$ $$u=x^2, v=y^2$$ $$u=x^2-y^2, v=x^2+y^2$$ $$u=x+y, v=x-y$$ $$u=x^2+xy, v=y^2+xy$$ # Лiнiйнi та квадратнi рiвняння ## Рівняння та його корені ## Загальні відомості Визначення **Алгебраїчне рівняння** — це рівність вигляду $$P(x\_1, x\_2,\dots,x\_n) = 0$$, де $$P$$ — многочлен від змінних $$x\_1, x\_2,\dots,x\_n$$, які ще називають невідомими. **Степенем рівняння** називають степінь многочлена $$P$$. Наприклад: $$x^5+yx^4+\sqrt{3x} = 0$$ — алгебраїчне рівняння п’ятого степеня від двох змінних. Надалі будемо розглядати рівняння від однієї змінної. Як правило, ця змінна позначається $$x$$. Визначення **Корінь рівняння** — це значення змінної $$x = a$$, при якому рівняння перетворюється на правильну рівність: $$P(a) = 0$$. Таких значень може бути декілька. Розв’язати рівняння означає знайти множину всіх його розв’язків (коренів) або ж довести, що коренів немає. Множина коренів може мати один, два, три і т.д. елементів, може бути порожньою множиною ($$x \in \emptyset$$), або ж нескінченою множиною ($$x \in \mathbb{R}$$). Рівняння не може мати більше коренів, ніж степінь цього рівняння. Приклад 1\. Рівняння $$x + 5 = 1$$ має один корінь: $$x = -4$$. 2\. Рівняння $$(x - 4)(x - 3)(x + 3) = 0$$ має три корені: $$-3, 3$$ та $$4$$. Кожне з цих значень перетворює добуток $$(x - 4)(x - 3)(x + 3)$$ на нуль, а при будь-яких інших значеннях — ні. 3\. Рівняння $$3x = 3x - 1$$ не має коренів, бо права частина при будь-яких значеннях $$x$$ буде меншою за ліву. 4\. Рівняння $$2x + 6 = 2(x + 3)$$ має нескінченну кількість коренів, бо після розкриття дужок ліва частина рівняння дорівнюватиме правій при будь-яких значеннях $$x$$. Визначення **Область визначення рівняння** — це ОДЗ змінної рівняння, тобто множина значень змінної, при яких обидві частини рівняння є змістовними. Рівносильними називають рівняння, множини розв’язків яких збігаються. Між рівносильними рівняннями ставлять значок $$\Longleftrightarrow$$. Наприклад: рівняння $$(x - 5)(x + 5) = 0$$ та $$x^2 = 25$$ мають одні й ті самі корені: $$-5$$ та $$5$$. Тому можна записати $$(x - 5)(x + 5) = 0 \Longleftrightarrow x^2 = 25$$. Скільки коренів має рівняння $$x+3=0$$? $$1$$ $$2$$ $$3$$ $$4$$ Скільки коренів має рівняння $$(x+3)(x+3)(x-2)(x+5)=0$$? $$1$$ $$2$$ $$3$$ $$4$$ # Лiнiйнi рiвняння Визначення **Лінійне рівняння з однією змінною** — це рівняння вигляду $$a\cdot x = b$$, де $$x$$ — змінна, а числа $$a$$ та $$b$$ — відомі. Ці числа називають коефіцієнтами рівняння. **Кількість розв'язків** рівняння $$a\cdot x = b$$ залежить від значень коефіцієнтів: * $$a \neq 0$$, рівняння має один корінь: $$x = \dfrac{b}{a}$$; * $$a = 0, b \neq 0$$, рівняння не має жодного кореня: $$0\cdot x = b \Longleftrightarrow x \in \emptyset$$; * $$a = 0, b = 0$$, рівняння має безліч коренів: $$0\cdot x = 0 \Longleftrightarrow x \in \mathbb{R}$$. Будь-яке рівняння, яке рівносильними перетвореннями зводиться до лінійного, є також лінійним. Наприклад: лінійними є рівняння $$3x = 5; 3 = 2 - 5x; 4(x - 1) = x - 5$$; не є лінійним рівняння $$(x - 2)(x - 1) = 2$$. Приклад 1\. $$6 = 2 - 4x \Longleftrightarrow 4x = -4 \Longleftrightarrow x = -1.$$ 2\. $$3x = 8 \Longleftrightarrow x = \dfrac{8}{3}.$$ 3\. $$5(x - 1) = x + 3 \Longleftrightarrow 5x - 5 = x + 3 \Longleftrightarrow 4x = 8 \Longleftrightarrow x = 2.$$ Розв'язати рівняння: $$2x+3=-x$$ $$x=-1$$ $$x=1$$ $$x=3$$ $$x=-3$$ Додамо до обох частин рівняння $$x$$: $$2x+3+x=-x+x$$ $$3x+3=0$$ Додамо до обох частин рівняння $$-3$$: $$3x+3-3=0-3$$ $$3x=-3$$ Розділимо обидві частини рівняння $$3$$: $$x=-1$$ # Квадратнi рiвняння ## Квадратні рівняння ## Загальні відомості Визначення **Квадратне рівняння** — це рівняння вигляду $$ax^2 + bx + c = 0$$, де $$x$$ — змінна, а числа $$a$$, $$b$$ та $$c$$ — відомі, при чому $$a \neq 0$$ (бо тоді рівняння є лінійним). Наприклад: $$2x^2 + 5x -1 = 0$$; $$2 - 5x^2 = 0$$. Будь-яке квадратне рівняння має або два різних дійсних коренів, або два однакових дійсних коренів, або не має дійсних коренів. Визначення **Повним** називається квадратне рівняння, у якого всі коефіцієнти відмінні від нуля, тобто $$b \neq 0, c \neq 0$$ ($$a \neq 0$$ за Визначенням). Якщо ж хоча б один з коефіцієнтів $$b$$ та $$c$$ рівний нулеві, таке рівняння — **неповне**. # Неповні квадратні рівняння Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів: * $$b = 0$$: маємо рівняння $$ax^2 + c = 0 \Longleftrightarrow x^2 = -\dfrac{c}{a} \Longleftrightarrow \left\[ \begin{gathered} x\_{1,2} = \pm \sqrt{-\dfrac{c}{a}}, \dfrac{c}{a} 0. \end{gathered} \right.$$ Наприклад: $$2x^2 - 8 = 0 \Longleftrightarrow x^2 = 4 \Longleftrightarrow x\_{1,2} = \pm 2$$.\ $$x^2 + 5 = 0 \Longleftrightarrow x^2 = -5 \Longleftrightarrow x \in \emptyset$$. * $$c = 0$$: маємо рівняння $$ax^2 + bx = 0 \Longleftrightarrow x\cdot(ax + b) = 0 \Longleftrightarrow \left\[ \begin{gathered} x = 0,\\\ ax + b = 0; \end{gathered} \right.$$ $$\Longleftrightarrow \left\[ \begin{gathered} x\_1 = 0,\\\ x\_2 = -\dfrac{b}{a}. \end{gathered} \right.$$ Наприклад: $$6x^2 - x = 0 \Longleftrightarrow x\cdot(6x - 1) = 0 \Longleftrightarrow \left\[ \begin{gathered} x = 0,\\\ 6x - 1 = 0; \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left\[ \begin{gathered} x\_1 = 0,\\\ x\_2 = \dfrac{1}{6}. \end{gathered} \right.$$ * $$b = c = 0$$: маємо рівняння $$ax^2 = 0 \Longleftrightarrow x^2 = 0 \Longleftrightarrow x\_1 = x\_2 = 0$$. Наприклад: $$25x^2 = 0 \Longleftrightarrow x = 0$$. Розв'язати рівняння: $$x^2-1=0$$ $$x=\pm1$$ $$x=\pm2$$ $$x=\pm3$$ $$x=0$$ Додамо до обох частин рівняння $$1$$: $$x^2-1+1=0+1$$ $$x^2=1$$ Візьмемо квадратний корінь з обох частин рівняння: $$\sqrt{x^2}=\sqrt{1}$$ $$x\_{1,2}=\pm1$$ Розв'язати рівняння: $$x^2-9=0$$ $$x=\pm1$$ $$x=\pm2$$ $$x=\pm3$$ $$x=0$$ Додамо до обох частин рівняння $$9$$: $$x^2-9+9=0+9$$ $$x^2=9$$ Візьмемо квадратний корінь з обох частин рівняння: $$\sqrt{x^2}=\sqrt{9}$$ $$x\_{1,2}=\pm3$$ # Повне квадратне рівняння та дискримiнант Скористаємось процедурою виділення повного квадрата з тричлена, яку ви можете знайти у розділі [Розкладання многочлена на множники](http://math.ed-era.com/3/rozkladannya_mnogochlena_na_mnozhniki.html): $$ax^2 + bx + c = 0.$$ Перед цим домножимо повне квадратне рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$ на $$4a$$: $$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0.$$ Представляємо перший доданок у вигляді квадрата деякого виразу $$X$$: $$(2ax)^2 + 4abx + 4ac = 0.$$ Отже, вираз $$X = 2ax$$. Другий доданок переписуємо так, щоб він мав вигляд $$2XY$$: $$(2ax)^2 + 2\cdot2ax\cdot b + 4ac = 0.$$ Звідки вираз $$Y = b$$. Додаємо та віднімаємо $$Y^2 = b^2$$: $$(2ax)^2 + 2\cdot2ax\cdot b + b^2 - b^2 + 4ac = 0.$$ Виділяємо повний квадрат $$(X + Y)^2$$ з отриманого виразу: $$(2ax + b)^2 - b^2 + 4ac =0,$$ $$(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac.$$ Для зручності позначимо $$b^2 - 4ac = D$$. Тоді тотожність матиме вигляд: $$(2ax + b)^2 = D.$$ Можливі три випадки: $$D > 0, D = 0$$ та $$D 1. $$D > 0$$. В такому випадку з $$D$$ можна добути корінь: $$D = (\sqrt{D})^2$$. Тоді після заміни та застосування формули різниці квадратів маємо рівняння: $$(2ax + b)^2 = (\sqrt{D})^2 \Longleftrightarrow (2ax + b)^2 - (\sqrt{D})^2 = 0 \Longleftrightarrow (2ax + b - \sqrt{D})(2ax + b + \sqrt{D}) = 0.$$ За однією з властивостей рівносильних перетворень добуток множників рівний нулеві, якщо хоча б один з множників рівний нулеві. Тоді отримуємо: $$\left\[ \begin{gathered} 2ax + b - \sqrt{D} = 0 \hfill \\\ 2ax + b + \sqrt{D} = 0 \hfill \\\ \end{gathered} \right. \Longrightarrow \begin{cases} x\_1 = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a},\\\ x\_2 = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a}. \end{cases}$$ Таким чином, **при** $$D > 0$$ **рівняння має два корені**, що відрізняються лише знаком при $$\sqrt{D}$$. Коротко їх записують у такий спосіб: $$x\_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$ 2. $$D = 0$$. В такому випадку маємо $$(2ax + b)^2 = 0 \Longleftrightarrow 2ax + b = 0 \Longleftrightarrow x = -\dfrac{b}{2a}$$. Цей корінь можна також отримати і з вищенаведеної формули для коренів $$x\_{1,2}$$, поклавши в ній $$D = 0$$. Таким чином, **при** $$D = 0$$ **рівняння має один корінь** (а точніше, два однакових корені). 3. $$D Визначення За знаком виразу $$D = b^2 - 4ac$$ можна визначити, скільки дійсних коренів матиме рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$. Цей вираз $$D$$ називають **дискримінантом**. * при $$D > 0$$ рівняння має два дійсних корені; * при $$D = 0$$ рівняння має один дійсний корінь (два однакових); * при $$D Визначення Формула коренів квадратного рівняння: $$x\_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$ Приклад 1. Розв’язати рівняння: $$x^2 - 5x + 6 = 0$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Шукаємо дискримінант: $$D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot6 = 25 - 24 = 1 > 0$$, отже рівняння має два дійсних корені:$$x\_1 = \dfrac{5 + \sqrt{1}}{2} = 3$$; $$x\_2 = \dfrac{5 - \sqrt{1}}{2} = 2.$$**Відповідь. $$x\_1 = 3$$, $$x\_2 = 2.$$** 2. Розв’язати рівняння: $$x^2 + 4x + 4 = 0$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Шукаємо дискримінант: $$D = (4)^2 - 4\cdot1\cdot4 = 16 - 16 = 0$$, отже, рівняння має один дійсний корінь:$$x = \dfrac{-4}{2\cdot1} = -2.$$**Відповідь. $$x = -2.$$** 3. Розв’язати рівняння: $$3x^2 + 2x + 1 = 0$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Шукаємо дискримінант: $$D = (2)^2 - 4\cdot3\cdot1 = 4 - 12 = -8**Відповідь. $$x \in \emptyset.$$** Розв'язати рівняння: $$x^2+3x-3=7$$ $$x=2$$ $$x=0$$ $$x=-2$$ $$x=5$$ $$x=-5$$ $$x=7$$ $$x=-4$$ Перенесемо доданки з правої частини рівняння в ліву: $$x^2+3x-3-7=0$$ $$x^2+3x-10=0$$ Знайдемо дискримінант квадратного рівняння: $$D=(3)^2-4\cdot1\cdot(-10)=9+40=49$$ Через те, що дискримінант більше нуля, квадратне рівняння має два дійсних кореня: $$x\_{1,2}=\dfrac{-3\pm7}{2\cdot1}=\\{2,-5\\}$$ Розв'язати рівняння: $$5x^2-5x=x-5$$ $$x \in \emptyset$$ $$x=0$$ $$x=1$$ $$x=-1$$ $$x=-5$$ $$x=7$$ $$x=-4$$ Перенесемо доданки з правої частини рівняння в ліву: $$5x^2-5x-x+5=0$$ $$5x^2-6x+5=0$$ Знайдемо дискримінант квадратного рівняння: $$D=(6)^2-4\cdot5\cdot5=36-100=-64$$ Через те, що дискримінант менше нуля, квадратне рівняння не має дійсних коренів. $$x \in \emptyset$$ # Факторизація квадратного рівняння (розкладання на множники) Теорема Якщо $$x\_{1,2}$$ — корені квадратного рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$, то справедлива тотожність: $$ax^2 + bx + c = a(x - x\_1)(x - x\_2)$$. Ця формула вже зустрічалася у розділі 3.6 [Розкладання многочлена на множники](http://math.ed-era.com/3/rozkladannya_mnogochlena_na_mnozhniki.html). Цього разу наводимо її з доведенням. Доведення У розділі 6.3.3 [Повне квадратне рівняння та дискримінант](http://math.ed-era.com/6/povne_kvadratne_rvnyannya_ta_diskriminant.html) за допомогою рівносильних перетворень ми отримали таке: $$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = (2ax + b - \sqrt{D})(2ax + b + \sqrt{D}).$$ Якщо тепер обидві частини розділити на $$4a^2$$, отримаємо: $$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = \left(x + \dfrac{b}{2a} - \dfrac{\sqrt{D}}{2a} \right)\left(x + \dfrac{b}{2a} + \dfrac{\sqrt{D}}{2a} \right).$$ Скориставшись формулою для знаходження коренів квадратного рівняння, маємо: $$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = (x - x\_1)(x - x\_2).$$ Помноживши обидві частини рівняння на $$a$$, маємо тотожність з теореми: $$ax^2 + bx + c = a(x - x\_1)(x - x\_2).$$ Теорема (обернена) Якщо виконується тотожність $$ax^2 + bx + c = a(x - x\_1)(x - x\_2)$$, то квадратне рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$ матиме корені $$x\_1$$ та $$x\_2$$. # Теорема Вiєта Можна поділити всі коефіцієнти квадратного рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$ на старший коефіцієнт $$a$$: $$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0$$. Таке рівняння називають **зведеним**. Визначення **Зведене квадратне рівняння** — квадратне рівняння, у якого коефіцієнт при $$x^2$$ рівний одиниці, тобто $$a = 1$$. Наприклад: $$x^2 - 2x + 1 = 0$$; $$x^2 - x = 0.$$ У пункті 6.3.4 [Факторизацiя квадратного рiвняння (розкладання на множники)](http://math.ed-era.com/6/faktorizatsya_kvadratnogo_rvnyannya_rozkladannya_na_mnozhniki.html) було виведено тотожність $$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = (x - x\_1)(x - x\_2)$$. Якщо розкрити дужки у правій частині тотожності: $$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = x^2 - x\_2x - x\_1x +x\_1x\_2 = x^2 - (x\_1 + x\_2)x + x\_1x\_2.$$ Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях $$x$$, отримуємо такі співвідношення: $$x\_1 + x\_2 = -\dfrac{b}{a},$$ $$x\_1x\_2 = \dfrac{c}{a}.$$ Ці тотожності вперше отримав Франсуа Вієт у XVI ст., вони лежать в основі теореми Вієта. Теорема Вієта Сума коренів квадратного рівняння рівна коефіцієнту при $$x$$, взятому з протилежним знаком та поділеному на коефіцієнт при $$x^2$$; добуток коренів рівний вільному доданку, поділеному на коефіцієнт при $$x^2$$: $$x\_1 + x\_2 = -\dfrac{b}{a},$$ $$x\_1x\_2 = \dfrac{c}{a}.$$ Теорема (обернена до т. Вієта) Якщо для двох чисел $$x\_1$$ та $$x\_2$$ виконуються рівності: $$x\_1 + x\_2 = -\dfrac{b}{a}$$, $$x\_1x\_2 = \dfrac{c}{a},$$ то числа $$x\_1$$ та $$x\_2$$ є коренями квадратного рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$. Приклад Знайти $$|x\_1 - x\_2|$$, де $$x\_{1,2}$$ — корені рівняння $$2x^2 + 2x - 12$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати **Розв’язок.** За теоремою Вієта: $$x\_1 + x\_2 = -1; x\_1x\_2 = -6$$. Запишемо з формул скороченого множення рівність $$(x\_1 - x\_2)^2 = {x\_1}^2 - 2x\_1x\_2 + {x\_2}^2$$. Якщо додати та відняти $$2x\_1x\_2$$ та скористатися формулою квадрату суми, маємо: $$(x\_1 - x\_2)^2 = {x\_1}^2 - 2x\_1x\_2 + {x\_2}^2 + 2x\_1x\_2 - 2x\_1x\_2 = ({x\_1}^2 + 2x\_1x\_2 + {x\_2}^2) - 4x\_1x\_2 = (x\_1 + x\_2)^2 - 4x\_1x\_2.$$ Підставивши числа, знайдені за т. Вієта, маємо $$(x\_1 - x\_2)^2 = (-1)^2 - 4\cdot(-6) = 25.$$ Таким чином, $$|x\_1 - x\_2| = 5$$. **Відповідь.** $$5$$. Чому дорівнює модуль різниці коренів рівняння $$x^2 - 4x + 4 = 1$$? $$4$$ $$3$$ $$2$$ $$1$$ Перенесемо всі доданки у ліву частину рівняння: $$x^2-4x+3=0$$ За теоремою Вієта знаходимо корені рівняння: $$x\_{1,2} = {1; 3}$$ Тоді модуль різниці коренів дорівнює: $$|3-1|= 2$$ # Бiквадратнi рiвняння, та рівняння, що зводяться до квадратних Визначення **Біквадратне рівняння** — це рівняння вигляду $$ax^4 + bx^2 + c = 0$$, де $$x$$ — змінна, а числа $$a$$, $$b$$ та $$c$$ — відомі, при чому $$a \neq 0$$. Взагалі будь-яке рівняння вигляду $$ax^{2n} + bx^n + c =0$$ (в тому числі і біквадратне) можна звести до квадратного заміною $$x^n = t$$ (для біквадратного $$x^2 = t$$). Приклад $$2x^4 + 4x^2 - 48 = 0$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв'язок.**Зробимо заміну $$x^2 = t$$:$$2t^2 + 4t - 48 = 0.$$Шукаємо дискримінант: $$D = (4)^2 - 4\cdot2\cdot(-48) = 16 + 384 = 400 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних коренів:$$t\_1 = \dfrac{-4 + \sqrt{400}}{2\cdot2} = 4; t\_2 = \dfrac{-4 - \sqrt{400}}{2\cdot2} = -6.$$Повертаємось до змінної $$x$$:$$x^2 = 4;$$$$x^2 = -6.$$З першого рівняння маємо $$x\_{1,2} = \pm 2$$, а з другого — $$x \in \emptyset$$.**Відповідь.** $$x\_{1,2} = \pm 2$$. Приклад $$x^8 - 17x^4 + 16 = 0$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв'язок.**Зробимо заміну $$x^4 = t$$:$$t^2 - 17t + 16 = 0.$$Шукаємо дискримінант: $$D = (-17)^2 - 4\cdot1\cdot16 = 289 - 64 = 225 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних коренів:$$t\_1 = \dfrac{17 + \sqrt{225}}{2\cdot1} = 16; t\_2 = \dfrac{17 - \sqrt{225}}{2\cdot1} = 1.$$Повертаємось до змінної $$x$$:$$x^4 = 16;$$$$x^4 = 1.$$З першого рівняння маємо $$x\_{1,2} = \pm 2$$, а з другого — $$x\_{3,4} = \pm 1$$.**Відповідь.** $$x \in \\{\pm 1; \pm2\\}$$. Розв'язати рівняння: $$x^4-16x^2-225=0$$ $$x=5$$ $$x=-5$$ $$x=0$$ $$x=1$$ $$x=-1$$ $$x=3$$ $$x=-3$$ Зробимо заміну $$y = x^2$$, тоді біквадратне рівняння матиме вигляд: $$y^2-16y-225=0$$ Знайдемо дискримінант квадратного рівняння: $$D=(-16)^2-4\cdot1\cdot(-225)=256+900=1156$$ Через те, що дискримінант більше нуля, квадратне рівняння має два дійсних кореня: $$y\_{1,2}=\dfrac{16\pm34}{2\cdot1}={25,-9}$$ Маємо два квадратних рівняння: $$(1) x^2=-9$$ $$(2) x^2=25$$ Перше квадратне рівняння не має дійсних коренів. Друге квадратне рівняння має два дійсних кореня: $$x\_{1,2}=\pm5$$ Розв'язати рівняння: $$x^4+97x^2+1296=0$$ $$x \in \emptyset$$ $$x=0$$ $$x=4$$ $$x=-4$$ $$x=-5$$ $$x=7$$ $$x=-7$$ Зробимо заміну \\(y = x^2\\), тоді біквадратне рівняння матиме вигляд: $$y^2+97y+1296=0$$ Знайдемо дискримінант квадратного рівняння: $$D=(97)^2-4\cdot1\cdot1296=9409-5184=4225$$ Через те, що дискримінант більше нуля, квадратне рівняння має два дійсних кореня: $$y\_{1,2}=\dfrac{-97\pm65}{2\cdot1}={-81,-16}$$ Маємо два квадратних рівняння: $$(1) x^2=-81$$ $$(2) x^2=-16$$ Перше і друге квадратні рівняння не мають дійсних коренів. $$x \in \emptyset$$ # Iншi види цiлих рiвнянь При розв’язанні цілих рівнянь вищих степенів знадобиться знання теореми Безу та схеми Горнера для ділення многочлена на двочлен. Теорема Безу Остача від ділення многочлена $$P(x)$$ на двочлен $$x - a$$ рівна $$P(a)$$. ДоведенняНехай остача від ділення многочлена $$P(x)$$ на двочлен рівна $$r$$, а частка — многочлен $$Q(x)$$. Тоді можна записати:$$P(x) = Q(x)\cdot(x - a) + r.$$Підставивши $$x = a$$ у многочлен $$P$$, маємо:$$P(a) = Q(a)\cdot(a - a) + r = r,$$це доводить теорему. Алгоритм **Схема Горнера** 1. Записати таблицю з двох рядків. 2. У верхньому записують всі коефіцієнти многочлена $$P(x)$$ (повинен бути записаний у стандартному вигляді). 3. Старший коефіцієнт дублюється в нижній рядок, а зліва від нього записують $$a$$. 4. Нижній рядок заповнюють за таким правилом: крайнє справа число множиться на $$a$$ та додається до числа, що стоїть над порожньою клітинкою. 5. Отриманий результат записують у порожню клітинку. Продемонструємо процес складання таблиці на попередньому прикладі: знайти остачу від ділення многочлена $$P(x)=x^5 - 3x^3 + x - 7$$ на $$x + 2.$$ Записуємо таблицю з двох рядків. У верхньому записуємо всі коефіцієнти многочлена $$P(x)$$. Старший коефіцієнт дублюється в нижній рядок, а зліва від нього записуємо $$a = -2$$: Тепер заповнюємо порожні клітинки нижнього рядка: * перша: $$(-2)\cdot$$$$1$$ + $$0$$ $$=$$ $$-2$$, * друга: $$(-2)\cdot($$$$-2$$$$) + ($$$$-3$$$$) = $$$$1$$, * третя: $$(-2)\cdot$$$$1$$ $$+$$ $$0$$ $$=$$ $$-2$$, * четверта: $$(-2)\cdot($$$$-2$$$$) + $$$$1$$$$ = $$$$5$$, * п’ята: $$(-2)\cdot$$$$5$$$$ + ($$$$-7$$$$) = -17$$. Як бачимо, можна тоді записати $$x^5 - 3x^3 + x - 7 = (x + 2)(x^4 - 2x^3 +x^2 - 2x + 5) - 17.$$ Якою буде остача від ділення $$x^4+3x^3-4x^2-10$$ на $$x-2$$? $$-4$$ $$-2$$ $$14$$ $$11$$ Перший член частки $$x^3$$, тоді маємо: $$5x^3-4x^2-10.$$\ Другий член частки $$5x^2$$, тоді маємо: $$6x^2-10.$$\ Третій член частки $$6x$$, тоді маємо: $$12x-10.$$\ Четвертий член частки $$12$$, тоді маємо остачу: $$14.$$ # Цiлi рацiональнi рiвняння вищих степенів Визначення **Алгебраїчне рівняння $$\boldsymbol n$$-го степеня** — це рівняння вигляду $$P\_n(x) = 0$$, де $$P\_n(x)=a\_0x^n + a\_1x^{n - 1} + a\_2x^{n - 2} + \dots + a\_{n - 2}x^2 + a\_{n - 1}x + a\_n$$ — многочлен $$n$$-го степеня стандартного вигляду. При $$n=1$$ таке рівняння є лінійним: $$a\_0x + a\_1 = 0$$, при $$n=2$$ — квадратним: $$a\_0x^2 + a\_1x + a\_2 = 0$$. Часто для розв'язання рівнянь вищих степенів зручно користуватись методами **розкладання многочлена $$P(x)$$ на множники**. Далі буде розглянуто інші методи розв’язання рівнянь вищих степенів. # Метод підбору коренів Теорема Якщо рівняння з цілими кофіцієнтами $$P\_n(x) = 0$$ має цілі корені ($$\mathbb{Z}$$-корені), то вони є дільниками вільного доданка $$a\_n$$ цього рівняння. Доведення Нехай $$x = a$$ — цілий корінь рівняння $$a\_0x^n + a\_1x^{n - 1} + a\_2x^{n - 2} + \dots + a\_{n - 2}x^2 + a\_{n - 1}x + a\_n = 0, де a\_0,a\_1,\dots,a\_n$$ — цілі числа. Тоді виконується рівність: $$a\_0a^n + a\_1a^{n - 1} + a\_2a^{n - 2} + \dots + a\_{n - 2}a^2 + a\_{n - 1}a + a\_n = 0.$$ Виразимо вільний доданок $$a\_n$$: $$a\_n = -a\_0a^n - a\_1a^{n - 1} - a\_2a^{n - 2} - \dots - a\_{n - 2}a^2 - a\_{n - 1}a,$$ $$a\_n= -a\cdot(a\_0a^{n - 1} + a\_1a^{n - 2} + a\_2a^{n - 3} + \dots + a\_{n - 2}a + a\_{n - 1}).$$ З останньої рівності випливає, що ціле число $$a$$ є дільником цілого вільного доданка $$a\_n$$. Алгоритм **Розв'язання рівнянь вищих степенів $$P\_n(x)=0$$** 1. Знайти множину дільників вільного доданка $$a\_n$$. 2. За т. Безу перевірити, чи є коренями дільники $$a\_n$$. 3. Якщо знайдений корінь $$x = x\_1$$, розділити за схемою Горнера чи методом кута многочлен $$P\_n(x)$$ на двочлен $$x - x\_1$$. Часткою буде многочлен степеня $$n - 1$$: $$Q\_{n - 1}(x)$$. 4. Шукати корені рівняння $$Q\_{n-1}(x) = 0$$, користуючись п.1-4, які теж є коренями вихідного рівняння (якщо такі є). Приклад Розв’язати рівняння $$2x^4 + 11x^3 - 2x^2 - 41x - 30 = 0$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв'язок.**Знаходимо множину дільників вільного доданка $$-30$$ : $$\pm1$$, $$\pm2$$, $$\pm3$$, $$\pm5$$, $$\pm6$$, $$\pm10$$, $$\pm15$$, $$\pm30$$.\ Перевіряємо, чи є коренями знайдені дільники за схемою Горнера (працюємо завжди з верхнім рядком):$$2$$$$11$$$$-2$$$$-41$$$$-30$$$$1$$$$2$$$$13$$$$11$$$$-30$$$$-60$$не є коренем$$-1$$$$2$$$$9$$$$-11$$$$-30$$$$0$$є коренем$$2$$$$2$$$$15$$$$28$$$$15$$$$0$$є коренем$$-2$$$$2$$$$7$$$$-16$$$$-9$$$$-12$$не є коренемІнші дільники перевіряти немає сенсу — вже два корені відомі, тому після ділення отримаємо квадратне рівняння, яке легко розв’язується.Отже, $$x\_1=-1$$ та $$x\_2=2$$ — корені рівняння.Тому далі необхідно розділити многочлен $$P(x)$$ на $$(x+1)(x-2)$$.З таблиці вище дістаємо, що частка від ділення многочлена $$P(x)=2x^4 + 11x^3 - 2x^2 - 41x - 30$$ на $$(x + 1)$$:$$2x^3 + 9x^2 - 11x - 30.$$Маємо $$P(x)=(x + 1)(2x^3 + 9x^2 - 11x - 30)$$. Залишилось розділити на $$(x - 2)$$.Ділимо многочлен $$2x^3 + 9x^2 - 11x - 30$$ за схемою Горнера на $$(x - 2)$$:$$2$$$$9$$$$-11$$$$-30$$$$2$$$$2$$$$13$$$$15$$$$0$$Частка від ділення: $$2x^2 + 13x + 15$$.Маємо $$P(x)=(x + 1)(x - 2)(2x^2 + 13x + 15)$$.Розв’яжемо квадратне рівняння $$2x^2 + 13x + 15$$.Шукаємо дискримінант: $$D=(13)^2 - 4\cdot2\cdot15 = 49 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних корені:$$x\_3 = \dfrac{-13 + \sqrt{49}}{2\cdot2} = -1,5; x\_4 = \dfrac{-13 - \sqrt{49}}{2\cdot2} = -5.$$Таким чином всі корені знайдені, а многочлен $$P(x)$$ можна записати як:$$P(x)=(x+1)(x-2)(x+1,5)(x+5).$$**Відповідь.** $$\\{-5; -1,5; -1; 2\\}$$. Яке з наведених чисел НЕ МОЖЕ бути коренем рівняння $$x^3-6x^2+11x-6$$? $$0$$ $$1$$ $$2$$ $$3$$ # Метод заміни змінної Цей метод вже використовували для розв’язання біквадратних рівнянь. В загальному випадку метод заміни змінної полягає ось у чому: 1. Для розв’язання рівняння $$P(x)=0$$ вводимо нову змінну $$t=f(x)$$. 2. Після цього $$P(x)$$ виражається через $$t$$, і в результаті записують нове рівняння $$Q(t)=0$$. Заміна повинна бути такою, щоб рівняння $$Q(t)=0$$ було простішим у розв’язанні за вихідне $$P(x)=0$$. 3. В результаті розв’язання нового рівняння $$Q(t)=0$$ знайдені корені $$t\_1, t\_2,\dots, t\_m$$. 4. Тепер розв'язуємо сукупність рівнянь:$$\left\[ \begin{gathered} f(x) = t\_1, \hfill \\\ f(x) = t\_2, \hfill \\\ \cdots \hfill \\\ f(x) = t\_m. \hfill \end{gathered} \right.$$ 5. В результаті розв’язання всіх рівнянь сукупності знаходять множину розв’язків вихідного рівняння $$P(x)=0$$: $$x\_1,x\_2,\dots,x\_n$$. Універсальних правил для відшукання заміни немає, все залежить від конкретного прикладу. Приклад Розв’язати рівняння $$(2x-5)^4-5(2x-5)^2+4=0$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв'язок.**\ Покладемо $$t=(2x-5)^2$$, тоді вихідне рівняння зводиться до:$$t^2-5t+4=0.$$За т. Вієта, $$t\_1 + t\_2=5;t\_1\cdot t\_2=4$$. Ці умови задовольняють корені: $$t\_1=1; t\_2=4$$.Тепер, повернувшись до вихідної змінної, потрібно розв’язати сукупність рівнянь:$$\left\[ \begin{gathered} (2x-5)^2=1, \hfill \\\ (2x-5)^2=4; \hfill \\\ \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left\[ \begin{gathered} |2x-5|=1, \hfill \\\ |2x-5|=2; \hfill \\\ \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left\[ \begin{gathered} 2x-5=1, \hfill \\\ 2x-5=-1, \hfill \\\ 2x-5=2, \hfill \\\ 2x-5=-2; \hfill \\\ \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left\[ \begin{gathered} x=3, \hfill \\\ x=2, \hfill \\\ x=3,5, \hfill \\\ x=1,5. \hfill \\\ \end{gathered} \right.$$**Відповідь.** $$\\{1,5; 2; 3; 3,5\\}.$$ Якщо у рівняннях вигляду $$(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=e$$ виконується рівність $$a+b=c+d=k$$ або інших пар цих чисел, зручно розкрити дужки, згрупувавши множники попарно (при рівності $$a+b=c+d$$ — перший з другим, та третій з четвертим) та скористатись заміною вигляду: $$t=x^2+kx$$. Приклад Розв’язати рівняння $$(x-1)(x+2)(x+4)(x+1)=-5$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв'язок.**\ Розкриємо дужки, групуючи перший множник з третім та другий з останнім. Рівняння набуде вигляду:$$(x^2+3x-4)(x^2+3x+2)=-5.$$Робимо заміну $$t=x^2+3x$$, отримуємо таке рівняння:$$(t-4)(t+2)=-5 \Longleftrightarrow t^2-2t-3=0.$$За т. Вієта, $$t\_1+t\_2=2;t\_1\cdot t\_2=-3$$. Ці умови задовольняють корені: $$t\_1=3; t\_2=-1$$.Тепер, повернувшись до вихідної змінної, потрібно розв’язати сукупність рівнянь:$$\left\[ \begin{gathered} x^2+3x=3, \hfill \\\ x^2+3x=-1. \hfill \end{gathered} \right.$$Розв’язуємо перше рівняння: $$x^2+3x-3=0$$.Шукаємо дискримінант: $$D=(3)^2 - 4\cdot1\cdot(-3) = 21 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних корені:$$x\_1 = \dfrac{-3 + \sqrt{21}}{2}; x\_2 = \dfrac{-3 - \sqrt{21}}{2}.$$Переходимо до другого рівняння: $$x^2+3x+1=0$$.Шукаємо дискримінант: $$D=(3)^2 - 4\cdot1\cdot1 = 5 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних корені:$$x\_3 = \dfrac{-3 + \sqrt{5}}{2}; x\_4 = \dfrac{-3 - \sqrt{5}}{2}.$$**Відповідь.** $$\\{\dfrac{-3 \pm \sqrt{21}}{2};\dfrac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}\\}$$ Якою заміною скористатись при розв’язанні рівняння $$11x^4-12=4(9-3x^3)$$? $$t=x^2$$ $$t=−x$$ $$t=x^4$$ $$t=-2x^3$$ # Рiвняння з модулями ## Рiвняння з модулями ## Прості рівняння з модулями Під час розв’язання рівнянь, що містять знаки модуля, потрібно пам’ятати означення модуля (див. пункт 1.5 [Модуль числа](http://math.ed-era.com/1/modul_chisla.html)) Розглянемо загальний вигляд простого рівняння зі знаком модуля $$|f(x)|=g(x)$$. За означенням, якщо $$g(x) Саме тому можна користуватися рівносильним переходом: $$|f(x)|=g(x) \Longleftrightarrow \begin{cases} \left\[ \begin{gathered} f(x)=g(x), \hfill \\\ f(x)=-g(x), \hfill \end{gathered} \right.\\\ g(x)\geq0. \end{cases}$$ Таким чином, потрібно розв’язати два рівняння $$f(x)=g(x)$$ та $$f(x)=-g(x)$$, після чого залишити лише ті корені, які задовольняють умову $$g(x)\geq0$$. Приклад Розв’язати рівняння $$|3x-5|=8x-1$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Скористаємось ланцюжком рівносильних переходів:$$|3x-5|=8x-1 \Longleftrightarrow \begin{cases} \left\[ \begin{gathered} 3x-5=8x-1, \hfill \\\ 3x-5=-(8x-1), \hfill \end{gathered} \right.\\\ 8x-1\geq0; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} \left\[ \begin{gathered} -5x=4, \hfill \\\ 11x=6, \hfill \end{gathered} \right.\\\ x\geq\dfrac{1}{8}; \end{cases} \Longleftrightarrow$$$$\Longleftrightarrow \begin{cases} \left\[ \begin{gathered} x=-\dfrac{4}{5}, \hfill \\\ x=\dfrac{6}{11}, \hfill \end{gathered} \right.\\\ x\geq\dfrac{1}{8}; \end{cases} \Longleftrightarrow x=\dfrac{6}{11}.$$Було розв’язано два рівняння та знайдено їхні корені $$x\_1=-\dfrac{4}{5};x\_2=\dfrac{6}{11}$$. Після цього був відібраний лише один корінь $$x=\dfrac{6}{11}$$, щоб задовольнити означення модуля.**Відповідь.** $$\dfrac{6}{11}$$. Яке з чисел є коренем рівняння $$|x-3|=4x+6$$? $$x=0$$ $$x=\dfrac{2}{3}$$ $$x=-1$$ $$x=-\dfrac{3}{5}$$ # Метод інтервалів Коли рівняння має багато знаків модуля, зручно користуватись методом інтервалів. Цей метод є також базовим під час розв'язання нерівностей. Алгоритм **Метод інтервалів** 1. Знайти, за яких значень змінної підмодульні вирази рівні нулеві. 2. Відкласти ці точки на числовій прямій, розбивши її на проміжки знакосталості. 3. Знайти знак підмодульного виразу на кожному проміжку та позначити це на числовій прямій. 4. Розв’язати рівняння на кожному проміжку, позбавляючись знаків модуля, враховуючи знаки підмодульного виразу на кожному проміжку. 5. Перевірити відповідність знайдених коренів числовому проміжку, на якому розв’язують рівняння. Приклад Розв’язати рівняння $$|x+1|-|x+3|+|2-x|=4$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв'язок.**Йдемо по пунктах алгоритму для методу інтервалів:Вираз $$x+1$$ рівний нулеві при $$x=-1$$, $$x+3$$ при $$x=-3$$, а $$2-x$$ при $$x=2$$.\ Відкладаємо значення $$-3$$, $$-1$$ та $$2$$ на числовій прямій.Визначаємо знаки підмодульних виразів на кожному проміжку та позначаємо їх на числовій прямій (знаки стоять у тому ж порядку, що й модулі в рівнянні).$$x\in (-\infty;-3)$$$$x \in\[-3;-1)$$$$x\in \[-1;2]$$$$x\in (2;+\infty)$$$$x+1$$x+1$$x+1>0$$,$$x+1>0$$,$$x+3$$x+3>0$$,$$x+3>0$$,$$x+3>0$$,$$2-x>0$$;$$2-x>0$$;$$2-x>0$$;$$2-xРозв’язуємо рівняння на чотирьох інтервалах, позбавляючись знаків модуля, та перевіряємо відповідність коренів інтервалу:$$x\in (-\infty;-3)$$Розкриваємо знаки модуля:$$-(x+1)-(-(x+3))+(2-x)=4\Longleftrightarrow-x+4=4\Longleftrightarrow x=0$$Але $$x=0\notin(-\infty;-3)$$ — розв’язок лежить не на інтервалі, що розглядаємо, тому $$x\in \emptyset$$ на даному інтервалі.$$x \in\[-3;-1)$$Розкриваємо знаки модуля:$$-(x+1)-(x+3)+(2-x)=4\Longleftrightarrow-3x-2=4\Longleftrightarrow x=-2.$$$$x=-2\in\[-3;-1)$$, тому є коренем.$$x\in \[-1;2]$$Розкриваємо знаки модуля:$$(x+1)-(x+3)+(2-x)=4\Longleftrightarrow-x=4\Longleftrightarrow x=-4.$$Але $$x=-4\notin\[-1;2]$$ – розв’язок лежить не на інтервалі, що розглядаємо, тому $$x\in \emptyset$$ на даному інтервалі.$$x\in (2;+\infty)$$Розкриваємо знаки модуля:$$(x+1)-(x+3)-(2-x)=4\Longleftrightarrow x-4=4\Longleftrightarrow x=8.$$$$x=8\in(2;+\infty),$$ тому є коренем.**Відповідь.** $$\\{-2; 8\\}$$. На якому числовому проміжку всі підмодульні вирази рівняння $$|2x+2|+|x−1|−|5+x|−|2−x|=10$$ є невід’ємними? $$(-\infty;-5)$$ $$(1;2]$$ $$(-1;1]$$ $$(2;\infty)$$ # Рівняння з параметрами Визначення **Рівняння з параметрами** — це вид алгебраїчного рівняння, в якому деякі коефіцієнти задані не числовими значеннями, а позначені літерами, які можуть набувати будь-яких значень. Розв'язати рівняння з параметрами означає: 1. Знайти «контрольні» значення параметрів, при яких у рівнянні відбуваються якісні зміни: змінюється кількість чи значення коренів. 2. Знайти всі вирази для коренів рівняння при різних значеннях параметрів. При знаходженні «контрольних» значень параметра також треба **враховувати ОДЗ параметра**, бо якщо його значення виходить за межі ОДЗ, то рівняння взагалі не має змісту. Наприклад, якщо в рівнянні міститься вираз з параметром у знаменнику дробу, «контрольними» будуть значення параметра, які перетворять цей вираз у нуль, бо в такому разі рівняння ніякого змісту не несе. Далі будуть розглянуті лінійні та квадратні рівняння з параметрами та типові способи знаходження «контрольних» значень параметрів. # Лінійне рiвняння з параметрами В загальному випадку лінійне рівняння $$a\cdot x=b$$ теж є рівнянням з параметрами $$a$$ i $$b$$. Це рівняння задає множину лінійних рівнянь (для всіх значень параметрів). Наприклад: $$3x=5; -x=8$$. Насправді це рівняння з параметрами було вже розв’язане в попередній лекції: * при $$a\neq0$$, рівняння має один корінь: $$x=\dfrac{b}{a}$$; * при $$a=0,b\neq0$$, рівняння не має жодного кореня: $$0\cdot x=b$$; * при $$a=0,b=0$$, рівняння має безліч коренів: $$0\cdot x=0$$. В процесі розв’язання рівняння були розглянуті різні значення параметрів та знайдені для них корені. Для лінійного рівняння «**контрольним**» є значення параметра, яке дає **нульовий коефіцієнт при змінній** (в даному прикладі це $$a=0$$). Приклад Розв’язати рівняння $$4x-n=8$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв'язок.**Тут нічого складного, «контрольних» значень немає, просто виражаємо $$x$$:$$x=\dfrac{8+n}{4}.$$**Відповідь.** $$x=\dfrac{8+n}{4}.$$ Приклад 1\. Розв’язати рівняння $$(m^2-1)\cdot x=8$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв'язок.**Знайдемо «контрольні» значення параметра $$m$$, при яких коефіцієнт при $$x$$ стане рівним нулеві:$$m^2-1=0\Longleftrightarrow m^2=1\Longleftrightarrow m=\pm1.$$Розв’яжемо рівняння при $$m=-1$$:$$((-1)^2-1)\cdot x=8\Longleftrightarrow0\cdot x=8\Longleftrightarrow x\in\emptyset.$$Розв'яжемо рівняння при $$m=1$$:$$(1^2-1)\cdot x=8\Longleftrightarrow0\cdot x=8\Longleftrightarrow x\in\emptyset.$$Розв'яжемо рівняння при $$m\neq\pm1$$:$$(m^2-1)\cdot x=8\Longleftrightarrow x=\dfrac{8}{m^2-1}.$$Записуємо відповідь, вказавши всі корені та значення параметрів, за яких ці корені знайдені.**Відповідь.** при $$m=\pm1$$, $$x\in\emptyset;$$при $$m\neq\pm1$$, $$x=\dfrac{8}{m^2-1}.$$ 2\. Розв’язати рівняння $$2(5-a)x+a^2=25$$. * * Розв’язок * * Вiдповiдь * * Приховати **Розв'язок.** Знайдемо «контрольні» значення параметра $$a$$, за яких коефіцієнт при $$x$$ стане рівним нулеві: $$2(5-a)=0\Longleftrightarrow a=5.$$ Розв’яжемо рівняння при $$a=5$$: $$0\cdot x+5^2=25\Longleftrightarrow x\in\mathbb{R}.$$ Розв'яжемо рівняння при $$a\neq5$$: $$2(5-a)x+a^2=25\Longleftrightarrow x=\dfrac{25-a^2}{2(5-a)}.$$ Розкладемо чисельник на множники та скоротимо на $$(5-a)$$, бо $$a\neq5$$: $$x=\dfrac{(5+a)(5-a)}{2(5-a)}\Longleftrightarrow x=\dfrac{5+a}{2}.$$ Записуємо відповідь, вказавши всі корені та значення параметрів, за яких ці корені знайдені. **Відповідь.** при $$a=5$$, $$x\in\mathbb{R};$$ при $$a\neq5$$, $$x=\dfrac{5+a}{2}.$$ # Квадратне рівняння з параметрами Пригадаємо з попередньої лекції, що у квадратному рівнянні $$ax^2+bx+c=0$$ дискримінант визначено як: $$D=b^2-4ac.$$ * при $$D>0$$ рівняння має два дійсних корені: $$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$; * при $$D=0$$ рівняння має один дійсний корінь (два однакових): $$x=-\dfrac{b}{2a}$$; * при $$D У квадратних рівняннях з параметрами «**контрольними**» є значення параметра, яке дає **нульовий старший коефіцієнт** (при $$x^2$$), та **нульовий дискримінант** (від нього залежить кількість коренів). Приклад Знайти значення параметра $$a$$, за яких рівняння $$(1-a)x^2+2ax+3-a=0$$ має тільки один корінь. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв'язок.**Знайдемо «контрольні» значення параметра $$a$$, за яких коефіцієнт при $$x^2$$ стане рівним нулеві:$$1-a=0\Longleftrightarrow a=1.$$Розв’яжемо рівняння при $$a=1$$. Рівняння стане лінійним і матиме один корінь:$$0x^2+2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x+3-\dfrac{1}{2}=0\Longleftrightarrow x=-\dfrac{5}{2}.$$Якщо $$a\neq\dfrac{1}{2}$$, то рівняння є квадратним. Шукаємо дискримінант:$$D=(2a)^2-4\cdot(1-a)\cdot(3-a)= 4a^2-(3-3a-a+a^2)=4(4a-3).$$Дискримінант рівний нулеві за іншого «контрольного» значення параметра $$a=\dfrac{3}{4}$$.Саме коли $$D=0$$ рівняння теж має один корінь.**Відповідь.** $$a=\dfrac{3}{4}$$ або $$a=1$$. Приклад Розв’язати рівняння $$(1-a^2)x^2-2(a+1)x=1$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв'язок.**Знайдемо «контрольні» значення параметра $$a$$, за яких коефіцієнт при $$x^2$$ стане рівним нулеві:$$1-a^2=0\Longleftrightarrow a=\pm1.$$Розв’яжемо рівняння при $$a=-1$$:$$0x^2-2(-1+1)\cdot x=1\Longleftrightarrow0x=1\Longleftrightarrow x\in\emptyset.$$Розв’яжемо рівняння при $$a=1$$:$$0x^2-2(1+1)\cdot x=1\Longleftrightarrow x=-\dfrac{1}{4}$$.Тепер розглянемо випадок $$a\neq1$$ — рівняння є квадратним.Шукаємо дискримінант:$$D=(-2(a+1))^2-4(1-a^2)\cdot(-1)=4(a^2+2a+1)+4(1-a^2)=$$$$=4(a^2+2a+1+1-a^2)=4(2a+2)=8(a+1).$$Знаходимо «контрольну» точку з умови $$D=0$$:$$8(a+1)=0\Longleftrightarrow a=-1.$$Але вже накладена умова $$a\neq\pm1$$, тому $$D\neq0$$.Дискримінант може бути лише більшим або меншим від нуля (пам’ятаємо при цьому, що $$a\neq1$$):$$a>-1\Longrightarrow D>0$$, і рівняння має два дійсних корені:$$x\_{1,2} = \dfrac{2(a+1)\pm\sqrt{8(a+1)}}{2(1-a^2)}=\dfrac{a+1\pm\sqrt{2(a+1)}}{1-a^2};$$$$aУ відповіді об’єднаємо це з випадком $$a=-1$$, де теж $$x\in\emptyset.$$**Відповідь.** при $$a\in(-\infty;-1]$$: $$x\in\emptyset;$$при $$a\in\\{1\\}$$: $$x=\dfrac{1}{4};$$при $$a\in(-1;1)\cup(1;+\infty)$$: $$x\_{1,2}=\dfrac{a+1\pm\sqrt{2(a+1)}}{1-a^2}.$$ # Цілі нерівності Розглянемо таку життєву ситуацію. Сашко планує бюджет на найближчий місяць, зокрема витрати на мобільний зв’язок. Він користується тарифним планом «Шалений день» оператора «Кайф :)». За цим планом абонентська плата складає $$40$$ грн/міс, а вартість $$1$$ Мб трафіку мобільного інтернету – $$5$$ копійок. У бюджеті Сашко виділяє $$75$$ грн на користування мобільним зв’язком. Якщо представити кількість використаних Мб інтернету на місяць як $$x$$, то задані умови можна сформулювати таким чином: $$\underbrace{40}\_{\textit{абонентська} \thinspace \textit{плата}\\\ \thinspace 40 \thinspace \textit{грн}/\textit{міс}}$$ $$\underbrace{+}\_{\textit{плюс}}$$ $$\underbrace{0,05x}\_{\textit{х} \thinspace \textit{використаних} \thinspace \textit{МБ}\\\ \thinspace \textit{вартістю} \thinspace 5 \thinspace \textit{коп/МБ}}$$ $$\underbrace{\leq}\_{\textit{мають} \thinspace \textit{складати}\\\ \thinspace \textit{не} \thinspace \textit{більше} \thinspace \textit{ніж}}$$ $$\underbrace{75}\_{75 \thinspace \textit{грн}}$$ Визначення **Нерівність** — це співвідношення двох математичних об’єктів, що вказує їхню відносну величину та порядок (якщо такий можна встановити). **Строгими нерівностями** називають такі співвідношення: * $$a $$a > b$$ значить, що $$a$$ більше, ніж $$b$$. Також виділяють **нестрогі нерівності**: * $$a \leq b$$ значить, що $$a$$ **менше або дорівнює** $$b$$; * $$a \geq b$$ значить, що $$a$$ **більше або дорівнює** $$b$$. Поняття **кореня** для нерівностей не вводять. Розв’язати нерівність означає знайти множину значень змінної, при підстановці яких нерівність є правильною. Множину розв'язків зазвичай записують в **інтервальному представленні**. Припустимо, що числа $$a$$ і $$b$$ є дійсними, причому $$a Інтервал складається з множини чисел, що міститься між двома числами $$a$$ і $$b$$ – кінцями інтервалу — або нижньою та верхньою границями відповідно. Розглянемо основні типи інтервалів та методи їх зображення на числовій прямій. * **Відкритий** інтервал $$(a,b)$$ не включає кінцеві точки і відповідає нерівності $$a ![](/files/-LWNRQcIqa0SDpVc-uCk) Якщо кінцеві точки включаються до інтервалу, то він називається **закритим**, позначається $$\[a,b]$$ і відповідає нерівності $$a \leq x \leq b$$. ![](/files/-LWNRQcKSqDdHvlpvBpq) Інколи одна границя включається до інтервалу, а інша – ні. Такі випадки називають **напівінтервалами**, позначають $$(a,b]$$ та $$\[a,b)$$ і їм відповідають нерівності $$a ![](/files/-LWNRQcME6YNWXjecHY_) ![](/files/-LWNRQcOYmPs0ivakSok) Якщо інтервал необмежений з однієї сторони, його називають **нескінченним**. Наприклад, інтервал $$\[a,\infty)$$ відповідає нерівності $$x\geq a$$, а інтервал $$(-\infty,b)$$ – нерівності $$x ![](/files/-LWNRQcQHNoCMzJWTt0M) ![](/files/-LWNRQcSFjqqudt3m-dF) Дужки та крапочки Круглі дужки вказують на те, що кінцеві точки не включені до інтервалу. Квадратні дужки вказують на те, що кінцеві точки включені до інтервалу. Круглі дужки завжди використовуються зі значком $$\infty$$ або $$-\infty$$. Аналогічно при зображенні на числовій прямій: якщо кінцева точка не включена до інтервалу, то її зображають порожнім кружечком $$\circ$$, якщо включена – замальованим $$\bullet$$. Визначення **Алгебраїчна нерівність** — це співвідношення вигляду $$f(x) > 0$$ або $$f(x) Наприклад: $$x В загальному випадку розв'язання нерівностей дуже схоже на розв'язання рівнянь: використовують рівносильні переходи до простіших у розв'язанні нерівностей. Відмінності полягають у тому, що часто множина розв'язків є необмеженою. Наприклад, $$x \in (2;+\infty)$$. В такому випадку повністю перевірити всі значення неможливо, і важливо при цьому користуватись **лише рівносильними переходами**, пам'ятаючи, що **ОДЗ повинна залишатись незмінною**. Вкажіть всі відкриті інтервали: $$(1;3)$$ $$\[1;2)$$ $$(-21;0)$$ $$\[17;54]$$ $$(-\infty;0)$$ $$(-12;2]$$ $$(\dfrac{1}{2};10)$$ $$(0;\dfrac{7}{6})$$ Вкажіть всі закриті інтервали: $$(1;3)$$ $$\[1;2)$$ $$(-21;0)$$ $$\[17;54]$$ $$(-\infty;0)$$ $$(-12;2]$$ $$(\dfrac{1}{2};10)$$ $$(0;\dfrac{7}{6})$$ Вкажіть всі напівінтервали: $$(1;3)$$ $$\[1;2)$$ $$(-21;0)$$ $$\[17;54]$$ $$(-\infty;0)$$ $$(-12;2]$$ $$(\dfrac{1}{2};10)$$ $$(0;\dfrac{7}{6})$$ Вкажіть всі нескінчені інтервали: $$(1;3)$$ $$\[1;2)$$ $$(-21;0)$$ $$\[17;54]$$ $$(-\infty;0)$$ $$(-12;2]$$ $$(\dfrac{1}{2};10)$$ $$(0;\dfrac{7}{6})$$ # Основні властивості Ці операції можна використовувати для виконання рівносильних переходів, що не змінюють множини розв’язків нерівності: 1. Співвідношення «менше» і «більше» протилежні одне одному. Наприклад: якщо $$8 > x$$, то $$x 2. Відношення транзитивності: * якщо $$x * якщо $$x>a$$ і $$a>b$$, то $$x>b$$. Наприклад: якщо $$x 3. Розкрити дужки в будь-якій частині нерівності. Наприклад: | $$ \begin{align} \color{#1570bd}(x-4\color{#1570bd})\color{#1570bd}(1-x\color{#1570bd}) & \ge 0 \\\ \color{#1570bd}(x-4-x^2+4x\color{#1570bd}) & \ge 0 \\\ -x^2 + 5x -4 & \ge 0 \end{align}$$ |

Вихідна нерівність
Розкриваємо дужки
Спрощуємо

| | --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------- | 4. Звести подібні доданки в будь-якій частині нерівності. Наприклад: | $$ \begin{align} x^3 - 8 & \lt x^2 - 3x -x^2 \\\ x^3 - 8 & \lt \color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 - 3x - \color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 \\\ x^3 - 8 & \lt - 3x \end{align}$$ |

Вихідна нерівність
Знаходимо подібні доданки
Спрощуємо

| | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------------- | 5. До обох частин додати або ж відняти будь-який вираз. Наприклад: | $$ \begin{align} \sqrt{x} - x + 3 & \gt 2 \\\ \sqrt{x} - x + 3 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 & \gt 2 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 \\\ \sqrt{x} - x + 1 & \gt 0 \end{align}$$ |

Вихідна нерівність
Віднімаємо $$2$$ від обох частин
Спрощуємо

| | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------------- | 6. Обидві частини помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля: * Якщо вираз додатний – знак нерівності залишається без змін. Наприклад: | $$ \begin{align} 3x^2 & \gt 2 \\\ \dfrac{3}{\color{#1570bd}3}x^2 & \gt \dfrac{2}{\color{#1570bd}3} \\\ x^2 & \gt \dfrac{2}{3} \end{align}$$ |

Вихідна нерівність
Ділимо обидві частини на $$3$$
Спрощуємо

| | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------ | * Якщо вираз від’ємний – знак нерівності змінюється на протилежний. Наприклад: | $$ \begin{align} -x^2 - 2 & \gt 1 \\\ (-x^2-2) \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}(\color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}) & \lt 1 \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}(\color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}) \\\ x^2 + 2 & \lt -1 \end{align}$$ |

Вихідна нерівність
Множимо обидві частини на $$-1$$ та змінюємо знак на протилежний
Спрощуємо

| | --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- | Перехід до якої нерівності буде рівносильним для виразу $$(1+x)(x-3)>2$$? $$2x+5 $$-x^2+2x+5 $$(x-3)>+3$$ $$x^2+2x+5 Перехід до якої нерівності буде рівносильним для виразу $$(x-2)(x+3) $$-x^2-x+6>0$$ $$(x-6) $$x^2+6 $$6-x>x^2$$ # Лiнiйнi нерiвностi Визначення **Лінійна нерівність з однією змінною** — це нерівність вигляду $$a\cdot x > b$$ або $$a\cdot x Повернемося до нашого прикладу з мобільним зв’язком: Скільки Мб інтернет-трафіку може використати Сашко з бюджетом $$75$$ грн.? На це питання можна відповісти, розв’язавши нерівність $$40 + 0,05x \leq 75$$ відносно змінної $$x$$. Метод розв’язання майже такий самий, як і для рівняння $$40 + 0,05x = 75$$ Нашою метою є **залишити $$x$$ «на самоті» в лівій частині**: | $$ \begin{align} 40 + 0,05x & \le 75 \\\ 40 + 0,05x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4\color{#1570bd}0 & \le 75 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4\color{#1570bd}0 \\\ 0,05x & \le 35 \\\ \dfrac{0,05}{\color{#1570bd}0\color{#1570bd},\color{#1570bd}0\color{#1570bd}5}x & \le \dfrac{35}{\color{#1570bd}0\color{#1570bd},\color{#1570bd}0\color{#1570bd}5} \\\ x & \le 700 \end{align}$$ |

Вихідна нерівність
Віднімаємо $$40$$ від обох частин
Спрощуємо
Ділимо обидві частини нерівності на $$0,05$$
Спрощуємо

| | ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | Отже, на місяць, маючи $$75$$ грн і тариф «Шалений день», Сашко може витрачати $$700$$ МБ мобільного інтернету. Ми розпочали з нерівності $$40+0,05x\leq75$$ та перейшли до рівносильної нерівності $$x\leq700$$. Алгоритм **Pозв’язання лінійних нерівностей** 1. Спростити обидві частини нерівності. 2. Зібрати всі доданки, що містять $$x$$ в одній частині нерівності (як правило лівій), а всі вільні доданки – в іншій. 3. Розділити обидві частини нерівності на коефіцієнт при змінній $$x$$. 4. Записати відповідь в інтервальному представленні та зобразити її на числовій прямій. Приклад Розв’язати нерівність: $$3x Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Спрощувати тут вже нема чого, всі доданки з $$x$$ в лівій частині, вільні доданки – у правій. Переходимо відразу до пункту **$$3$$**: необхідно розділити обидві частини нерівності на коефіцієнт при змінній $$x$$ та спростити отриманий вираз.$$ \begin{align} 3x & \lt 8 \\\ \dfrac{3}{3}x & \lt \dfrac{8}{3} \\\ x & \lt \dfrac{8}{3} \end{align}$$Вихідна нерівність\ Ділимо обидві частини на $$3$$\ \ СпрощуємоЄдине, що залишилось – записати відповідь в інтервальному представленні та зобразити її на числовій прямій:![](/files/-LWNRQ4pYDdBaqsI4pz2) **Вiдповiдь.** $$x \in (-\infty;\dfrac{8}{3})$$. Приклад Розв’язати нерівність: $$-2\leq2-4x$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Всі доданки з $$x$$ вже розміщені в правій частині, збираємо всі вільні доданки в лівій:$$ \begin{align} -2 & \le 2 - 4x \\\ -2 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 & \le 2 - 4x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 \\\ -4 & \le -4x \end{align}$$Вихідна нерівність\ Віднімаємо $$2$$ від обох частин\ СпрощуємоДілимо обидві частини на коефіцієнт при змінній:$$ \begin{align} \dfrac{-4}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}4} & \color{#1570bd}\ge \dfrac{-4}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}4}x \\\ 1 & \ge x \end{align}$$Ділимо обидві частини на $$-4$$ та змінюємо знак нерівності на протилежний\ СпрощуємоТепер записуємо відповідь в інтервальному представленні та зображаємо її на числовій прямій:![](/files/-LWNRQ4r1IpM17eO0wLD) **Вiдповiдь.** $$x \in (-\infty;1]$$. Приклад Розв’язати нерівність: $$5(x-1)>x+3$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Розкриваємо дужки та забираємо змінну $$x$$ в лівій частині нерівності:$$ \begin{align} 5(x-1) & \gt x + 3 \\\ 5x - 5 & \gt x + 3 \\\ 5x - 5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}x & \gt x + 3 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}x \\\ 4x - 5 & \gt 3 \\\ \end{align}$$Вихідна нерівність\ Розкриваємо дужки в лівій частині\ Віднімаємо $$x$$ від обох частин\ СпрощуємоВсі вільні доданки залишаємо в правій частині нерівності:$$ \begin{align} 4x - 5 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}5 & \gt 3 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}5 \\\ 4x & \gt 8 \\\ \end{align}$$Додаємо $$5$$ до обох частин\ СпрощуємоДілимо обидві частини на коефіцієнт при змінній:$$ \begin{align} \dfrac{4}{\color{#1570bd}4}x & \gt \dfrac{8}{\color{#1570bd}4} \\\ x & \gt 2 \\\ \end{align}$$Ділимо обидві частини на $$4$$\ СпрощуємоЗаписуємо відповідь в інтервальному представленні та зображаємо її на числовій прямій:![](/files/-LWNRQ4tQlEm2U6RWBsd) **Вiдповiдь.** $$x \in (2;+\infty)$$. Приклад Розв’язати нерівність: $$\dfrac{(2x-1)^2}{4}-\dfrac{3(x-1)}{4} \geq x^2$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Розкриваємо дужки та спрощуємо вирази в лівій частині нерівності:$$ \begin{align} \dfrac{(2x-1)^2}{4} - \dfrac{3(x-1)}{4} & \ge x^2 \\\ \color{#1570bd}4 \left(\dfrac{(2x-1)^2}{4} - \dfrac{3(x-1)}{4}\right) & \ge \color{#1570bd}4\color{#1570bd}(x^2\color{#1570bd}) \\\ \dfrac{1 \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}4}{4}(2x-1)^2 - \dfrac{3 \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}4}{4}(x-1) & \ge 4x^2 \\\ (2x-1)^2 - 3(x-1) & \ge 4x^2 \\\ (4x^2 - 4x + 1) - (3x-3) & \ge 4x^2 \\\ 4x^2 - 7x + 4 & \ge 4x^2 \\\ \end{align}$$Вихідна нерівність\ \ Множимо обидві частини на $$4$$\ \ Розкриваємо дужки\ \ Спрощуємо\ Розкриваємо дужки\ СпрощуємоЗбираємо всі доданки зі змінною $$x$$ в лівій частині, а вільні доданки – в правій:$$ \begin{align} 4x^2 - 7x + 4 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 & \ge 4x^2 - \color{#1570bd}4\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 \\\ - 7x + 4 & \ge 0 \\\ - 7x + 4 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4 & \ge 0 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4 \\\ - 7x & \ge -4 \\\ \end{align}$$Віднімаємо $$4x^2$$ від обох частин\ Спрощуємо\ Віднімаємо $$4$$ від обох частин\ СпрощуємоДілимо на коефіцієнт при змінній:$$ \begin{align} \dfrac{-7}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}7} \thinspace x & \color{#1570bd}\le \dfrac{-4}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}7} \\\ x & \le \dfrac{4}{7} \end{align}$$Ділимо обидві частини на $$-7$$ та змінюємо знак нерівності на протилежний\ СпрощуємоЗаписуємо відповідь в інтервальному представленні та зображаємо її на числовій прямій:![](/files/-LWNRQ4v9uupo6dA0JNo) **Вiдповiдь.** $$x \in \left(-\infty;\dfrac{4}{7}\right]$$. Розв'язати нерівність: $$4(x-2)>5(x-3)$$ $$x $$x>7$$ $$x $$x>-7$$ Розкриємо дужки і спростимо нерівність: $$4x-8>5x-15$$ $$4x-5x>-15+8$$ $$-x>-7$$ Помножимо обидві частини нерівності на $$-1$$, при цьому знак нерівності зміниться на протилежний: $$x Розв'язати нерівність: $$7x-1+4(x+3) $$x>\dfrac{11}{5}$$ $$x $$x>-\dfrac{11}{5}$$ $$xPозкриємо дужки і спростимо нерівність:$$7x-1+4x+12$$11x-6x$$5xПомножимо обидві частини нерівності на $$\dfrac{1}{5}$$:$$x # Система та сукупність нерівностей Розглянемо таку життєву ситуацію. Михайло вчиться на соціолога. Нещодавно він провів опитування сімейних пар на вулицях Києва. Він поставив два питання: «Чи маєте Ви хлопчика?» та «Чи маєте Ви дівчинку?». Загалом було $$100$$ сімейних пар. Результати можна представити у вигляді такої діаграми: З діаграми випливає, що $$72$$ пари має хлопчиків **або** дівчаток. Крім того, $$21$$ пара мають хлопчиків **і** дівчаток одночасно. Слова «**або**» та «**і**» тут вжиті не випадково, вони представляють логічні операції об’єднання та перетину множин «пара має хлопчиків» та «пара має дівчат». Аналогічно, при розв’язанні нерівностей часто потрібно користуватись **операціями об’єднання та перетину** інтервалів. Алгоритм **Об’єднання та перетин інтервалів** 1. Зобразити інтервали на числовій прямій. 2. Для знаходження **об’єднання** потрібно взяти ті частини прямої, що належать **хоча б одному інтервалу**. Об’єднання, як і в теорії множин, позначається значком $$\cup$$. 3. Для знаходження **перетину** потрібно взяти ті частини прямої, що належать **обом інтервалам одночасно**. Перетин, як і в теорії множин, позначається значком $$\cap$$. Приклад **Знайти об’єднання та перетин інтервалів $$\[1;7]$$ і $$(5;9)$$.** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Зобразимо інтервали на числовій прямій:![](/files/-LWNRRYWiq4W44AkFXrS)![](/files/-LWNRRYYjl1QF15lhSsu)Для знаходження об’єднання потрібно взяти ті частини прямої, які належать першому **або** другому (хоча б одному) інтервалам.![](/files/-LWNRRY_J2EPv2LCkcnq)Отже, $$\[1;7] \cup (5;9) = \[1;9)$$.Для знаходження перетину потрібно взяти ті частини прямої, які належать першому **i** другому (обом одночасно) інтервалам.![](/files/-LWNRRYbZnlFILw3c_3S)Отже, $$\[1;7] \cap (5;9) = (5;7]$$.**Вiдповiдь.** $$\[1;9), (5;7].$$ Приклад **Знайти значення змінної $$x$$, якщо вона повинна задовольняти умови: $$\begin{eqnarray}\dfrac{x}{2} - 1 > 0 & або & -\dfrac{1}{4}(x+1) > 0 \nonumber \end{eqnarray}$$** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Розв’яжемо окремо два рівняння з умови, а потім знайдемо об’єднання (**або**) отриманих розв’язків.$$\begin{eqnarray} \dfrac{x}{2} - 1 > 0 & або & -\dfrac{1}{4}(x+1) > 0 \nonumber \\\ \dfrac{x}{2} > 1 & & x + 1 2 & & xОтже, маємо такі умови для змінної: $$x>2$$ або $$xЗобразимо ці розв’язки на числовій прямій та знайдемо їхнє об’єднання:![](/files/-LWNRRYdHceGDhNW2R8K)![](/files/-LWNRRYfCvnvRJC7EucA)![](/files/-LWNRRYh9Gspq8m_0unk)Отже, значення змінної $$x$$ повинно лежати у межах $$(-\infty,-1) \cup (2,\infty)$$ щоб задовольнити умови.**Вiдповiдь.** $$(-\infty,-1) \cup (2,\infty).$$ Приклад **Знайти значення змінної $$x$$, якщо вона повинна задовольняти умови:** $$\begin{eqnarray} -3(x-5)\leq 6 & i & x-2 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Розв’яжемо окремо два рівняння з умови, а потім знайдемо перетин (**i**) отриманих розв’язків.$$\begin{eqnarray} -3(x-5)\leq 6 & i & x-2Отже, маємо такі умови для змінної: $$x\geq3$$ або $$xІншим чином це запишемо так: $$3\leq xЗобразимо ці розв’язки на числовій прямій та знайдемо їхнє об’єднання:![](/files/-LWNRRYjsHHkFyB277BQ)![](/files/-LWNRRYltmUS9aTnbXnX)![](/files/-LWNRRYn_7PDWlR0HVsV)Отже, значення змінної $$x$$ повинно лежати в межах $$\[3,7)$$, щоб задовольнити умови.**Вiдповiдь.** $$\[3,7).$$ Скорочений запис перетину нерівностей Якщо $$a$$aто це можна записати у скороченій формі як$$a Всі операції в такому записі проводять одночасно над всіма трьома сторонами нерівності. Під час розв’язання метою є **залишити змінну $$x$$ «на самоті» в центральній частині** нерівності. Насправді, ми вже навчились розв’язувати найпростіші системи та сукупності нерівностей. Система нерівностей Якщо між двома нерівностями стоїть слово «**і**» — тобто мається на увазі **перетин розв’язків нерівностей** – це значить, що змінна повинна **задовольнити обидві нерівності** одночасно. Перед нами ніщо інше, як **система нерівностей**. Такі нерівності записують одна під іншою з **великою фігурною дужкою зліва**. Умова попереднього прикладу тоді виглядатиме як: $$-3(x-5)\leq 6 \quad i \quad x-2спростивши, маємо:$$ x \geq 3 \quad i \quad x Сукупність нерівностей Якщо між двома нерівностями стоїть слово «**або**» - тобто мається на увазі **об’єднання розв’язків нерівностей** – це значить, що змінна повинна **задовольнити хоча б одну з нерівностей**. Таке об’єднання називається сукупністю нерівностей. В цьому випадку нерівності записуються одна під іншою з **великою квадратною скобкою зліва**. Умова попереднього прикладу тоді виглядатиме як: $$ \dfrac{x}{2} - 1 > 0 \quad або \quad -\dfrac{1}{4}(x+1) > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \left\[\begin{gathered} \hspace{-0.25cm}\dfrac{x}{2} - 1 > 0,\\\ -\dfrac{1}{4}(x+1) > 0. \end{gathered}\right. $$ спростивши, маємо: $$ x > 2 \quad або \quad x2,\\\ x Системи і сукупності нерівностей дуже просто та наочно розв’язують за допомогою інтервального представлення розв’язків. Надалі ми будемо користуватись поняттями системи і сукупності нерівностей для розв’язання нерівностей з модулями. Приклад **Розв’язати систему нерівностей: $$\begin{cases} 5x+2(1-x) \geq x+5,\\\ \dfrac{x}{2}+5>-2(5+x). \end{cases}$$** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Розв’язуємо кожну з нерівностей окремо: $$\begin{eqnarray} 5x+2(1-x) &\geq& x+5 \nonumber\\\ 5x+2-2x &\geq& x+5 \nonumber\\\ 2x &\geq& 3 \nonumber\\\ x &\geq& \dfrac{3}{2} \nonumber \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \dfrac{x}{2}+5 &>& -2(5+x)\nonumber\\\ \dfrac{x}{2}+5 &>& -10-2x\nonumber\\\ \dfrac{5x}{2} &>& -15\nonumber\\\ x &>& -6\nonumber \end{eqnarray}$$Залишилося зобразити розв’язки на числовій прямій та знайти їхній перетин.![](/files/-LWNRRYpX00uJTjE3CoD)**Вiдповiдь.** $$x \in \left\[\dfrac{3}{2};\infty\right).$$ Приклад **Розв’язати сукупність нерівностей: $$\left\[\begin{gathered} x+2\leq8-3(x+1),\\\ 5x-2>1-x. \end{gathered}\right.$$** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Розв’язуємо кожну з нерівностей окремо: $$\begin{eqnarray} x+2 &\leq& 8-3(x+1) \nonumber\\\ x+2 &\leq& 8-3x-3 \nonumber\\\ 4x &\leq& 3 \nonumber\\\ x &\leq& \dfrac{3}{4} \nonumber \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} 5x-2 &>& 1-x\nonumber\\\ 6x &>& 3\nonumber\\\ x &>& \dfrac{1}{2}\nonumber \end{eqnarray}$$Залишилося зобразити розв’язки на числовій прямій та знайти їхнє об'єднання.![](/files/-LWNRRYrqWymJglYqJJY)![](/files/-LWNRRYtyWg-E1PCwgmb)![](/files/-LWNRRYvUgDfsks2cBUz)**Вiдповiдь.** $$x \in \mathbb{R}.$$ Розв'язати систему нерівностей: $$\begin{cases} 4x-6(x-1)4 \end{cases}$$ $$x>\dfrac{9}{4}$$ $$x>2$$ $$x $$x Спростимо систему нерівностей: $$\begin{cases} 4x-6x-64 \end{cases}$$ $$\begin{cases} -4x10 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x>\dfrac{9}{4}\\\ x>2 \end{cases}$$ Спільний інтервал для цих двох нерівностей: $$x>\dfrac{9}{4}$$ Розв'язати систему нерівностей: $$\begin{cases} x1+x-3(4x-1) \end{cases}$$ $$x \in \[0;1]$$ $$x \in (0;-1)$$ $$x >0$$ $$x \in (0;1)$$ Спростимо систему нерівностей: $$\begin{cases} x1+x-12x+3 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 2x0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x0 \end{cases}$$ Спільний інтервал для цих двох нерівностей: $$x \in (0;1)$$ # Нерiвностi з модулями Розглянемо простеньку нерівність: $$|x| Розкриємо знак модуля за означенням: Для додатних значень $$x$$ значок модуля забираємо: $$x Для від’ємних значень $$x$$ при розкритті модуля потрібно помножити підмодульний вираз на $$-1$$: $$\begin{eqnarray} -x && -3 \nonumber \end{eqnarray}$$ В результаті маємо дві умови, що повинні виконуватися одночасно: $$ x-3 \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} x-3. \end{cases}$$ Можна піти простішим шляхом: нерівність $$|x| Тобто можна переписати таку нерівність у вигляді: $$-3 Тепер розглянемо іншу нерівність: $$|x|\geq2.$$ Розв’язком такого рівняння будуть ті значення $$x$$, що лежать на відстані $$2$$ і більше від $$0$$: Аналогічно, таке рівняння можна представити у вигляді сукупності двох рівнянь без значків модуля: $$x\geq2 \quad або \quad x\leq-2 \quad\Longleftrightarrow\quad \left\[\begin{gathered} x\geq2,\\\ x\leq-2. \end{gathered}\right.$$ Алгоритм Всі нерівності з модулями можна звести до таких трьох випадків: 1. $$|f(x)|-g(x). \end{cases}$$ 2. $$|f(x)|>g(x) \Longleftrightarrow \begin{cases} f(x)>g(x),\\\ f(x) $$|f(x)|>|g(x)| \Longleftrightarrow f^2(x) > g^2(x).$$ Для нестрогих нерівностей все працює точно так само. Приклад **Межі коливання середньої місячної температури повітря за $$2013$$ рік в м. Києві описуються такою нерівністю: $$|T-8,65|\leq 12,95$$. Знайдіть максимальне та мінімальне значення середньої місячної температури у $$2013$$ році.** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Позбавляємося значка модуля:$$|T-8,65|\leq 12,95\Longleftrightarrow-12,95\leq T-8,65\leq 12,95$$Розв'язуємо отриману нерівність:$$ \begin{align} -12,95 && \le && T - 8,65 && \le && 12,95 \\\ \\\ -12,95 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}8\color{#1570bd},\color{#1570bd}6\color{#1570bd}5 && \le && T -8,65 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}8\color{#1570bd},\color{#1570bd}6\color{#1570bd}5 && \le && 12,95 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}8\color{#1570bd},\color{#1570bd}6\color{#1570bd}5 \\\ \\\ -4,3 && \le && T && \le && 21,6 \end{align}$$Вихідна нерівність\ Додаємо $$8,65$$ до всіх трьох частин\ СпрощуємоЗображаємо це на числовій прямій:$$T \in \[-4,3;21,6]$$![](/files/-LWNRR-GGEPW7ZEfiEzx)**Вiдповiдь.** $$T\_{min}=-4,3$$; $$T\_{max}=21,6.$$ Приклад **Розв’язати нерівність: $$|5-2(x+1)|>x-1$$.** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Позбавляємося значка модуля:$$|5-2(x+1)|>x-1\Longleftrightarrow\left\[\begin{gathered} \hspace{-0.65cm}5-2(x+1)>x-1,\\\ 5-2(x+1)Розв’язуємо два рівняння сукупності окремо:$$ \begin{align} 5 - 2(x+1) & \gt x-1 \\\ 5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 & \gt x-1 \\\ 3 - 2x & \gt x-1 \\\ 3 - 2x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}(\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x\color{#1570bd}+\color{#1570bd}1\color{#1570bd}) & \gt x - 1 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}(\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}1\color{#1570bd}) \\\ 4 & \gt 3x \\\ \dfrac{4}{\color{#1570bd}3} & \gt \dfrac{3}{\color{#1570bd}3}x \\\ \dfrac{4}{3} & \gt x \end{align}$$Вихідний вираз\ Розкриваємо дужки\ Спрощуємо\ Додаємо $$2x+1$$ до обох частин\ Спрощуємо\ Ділимо обидві частини на $$3$$\ Спрощуємо$$ \begin{align} 5 - 2(x+1) & \lt -(x-1) \\\ 5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 & \lt \color{#1570bd}1 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}x \\\ 3 - 2x & \lt 1 - x \\\ 3 - 2x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}(\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x\color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}) & \lt 1 - x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}(\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x\color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}) \\\ 2 & \lt x \end{align}$$Вихідний вираз\ Розкриваємо дужки\ Спрощуємо\ Додаємо $$2x-1$$ до обох частин\ СпрощуємоЗобразимо ці розв’язки на числовій прямій та знайдемо їхнє об’єднання:![](/files/-LWNRR-IvqYPUWLFubKJ)![](/files/-LWNRR-KwWP52nazC2Ya)![](/files/-LWNRR-M4f13YKtfBYrk)**Вiдповiдь.** $$x \in \left(-\infty;\dfrac{4}{3}\right)\cup(2;\infty).$$ Розв'яжіть нерівність: $$|x−5|>4$$ $$(-\infty;1)\cup(9;\infty)$$ $$(-\infty;1)\cap(9;\infty)$$ $$(1;9)$$ $$(-\infty;\infty)$$ Розкриємо модуль з додатним знаком: $$x-5>4$$ $$x>9$$ Розкриємо модуль з від'ємним знаком: $$-x+5>4$$ $$xОб'єднання інтервалів і буде розв'яззком: $$(-\infty;1)\cup(9;\infty)$$ # Метод інтервалів Бурдж Халіфа – найвища споруда в світі, що розташована в місті Дубай, Об’єднані Арабські Емірати. Вона сягає $$828$$ метрів і складається зі $$162$$ поверхів. Вежу можна побачити з відстані $$90$$ км! Бейс-джампінг – екстремальний вид спорту. B.A.S.E. – скорочення слів Building, Antenna, Span, Earth – об’єктів, з яких стрибають бейс-джампери. В $$2014$$ році двоє французьких джамперів Фред Ф’юген та Вінс Реффет встановили новий рекорд Гіннеса - найвищий бейс-стрибок з будівлі – $$828$$ метрів. Вони стрибнули з самісінької кінцівки шпиля Бурдж-Халіфи. Пропоную подивитися відеозапис стрибка. Вражає, чи не так? А тепер спробуємо описати цей стрибок математично. На примітивному рівні, звичайно. Висота Бурдж Халіфи – $$828$$ метрів. Залежність висоти від часу при вільному падінні описується квадратичною функцією: $$h(t) = h\_{0} + v\_{0}t - \dfrac{gt^2}{2}$$ $$g\approx9.8\hspace{0.1cm}\text{м}/\text{c}^2$$ – прискорення вільного падіння, $$h\_{0}$$ – початкова висота, $$v\_{0}$$ – початкова швидкість. У випадку наших джамперів: $$h\_{0} = 828\text{м}$$, $$v\_{0} = 0\hspace{0.1cm}\text{м}/\text{c}$$ У результаті маємо: $$h(t) = 828 - 4,9t^2$$ З відео можна помітити, що хлопці розкривають парашути на висоті близько $$100$$ метрів. За інформацією з інтернет-форумів для джамперів, стало зрозуміло, що ця висота є критичною: якщо розкрити парашут нижче, такий стрибок може стати фатальним. Час, який є у джамперів для того, щоб розкрити парашут безпечно для життя, можна визначити з нерівності: $$\begin{align} 828 - 4,9t^2 &> 100 \nonumber \\\ 828 - 4,9t^2 - 100 &> 100 - 100 \nonumber \\\ 728 - 4,9t^2 &> 0 \nonumber \\\ \dfrac{728}{-4,9} - \dfrac{4,9}{-4,9}t^2 & Значення $$t=\pm12,19$$ перетворюють функцію в лівій частині нерівності на нуль і розбивають числову вісь на три проміжки: Розглянемо знаки, які прийматимуть множники лівої частини: | | $$(-\infty;-12,19)$$ | $$(-12,19;12,19)$$ | $$(12,19;\infty)$$ | | --------------- | -------------------- | ------------------ | ------------------ | | $$(t - 12,19)$$ | $$-$$ | $$-$$ | $$+$$ | | $$(t + 12,19)$$ | $$-$$ | $$+$$ | $$+$$ | Відповідно вся ліва частина має знаки: | | $$(-\infty;-12,19)$$ | $$(-12,19;12,19)$$ | $$(12,19;\infty)$$ | | -------------------------- | -------------------- | ------------------ | ------------------ | | $$(t - 12,19)(t + 12,19)$$ | $$+$$ | $$-$$ | $$+$$ | Бачимо, що при переході крізь точки $$-12,19;12,19$$ функція змінює свій знак. Нам потрібен той інтервал, де функція є від’ємною – тобто $$t \in (-12,19;12,19)$$. Тепер потрібно включити здоровий глузд і згадати, що час – величина невід’ємна (про квантову фізику та [проблему 2038 року](https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B0_2038_%D1%80%D0%BE%D0%BA%D1%83) поговоримо якось іншим разом), тому треба накласти додаткову умову: $$t\geq0$$. В результаті маємо підсумковий розв’язок: $$t \in (0;12,19)$$ Отже, ці бентежні хлопці мали трохи більше, ніж $$12$$ секунд для того, щоб насолодитися вільним падінням безпечно для життя. На перший погляд, це мало часу, але в нашому світі все відносне. Ось, наприклад, [цей хлопчина](http://youtu.be/ORp2nzwHXN0) за той саме час ($$12,2$$ секунди) зробив $$165$$ оплесків долонями, а всього за хвилину – $$804$$! Також погляньте на [ось таку підбірку](http://youtu.be/eE3rxyC_FhI) найшвидших збирань кубика Рубика. Вражає, чи не так? Тепер перейдемо до розгляду раціональних нерівностей. Визначення **Раціональна нерівність** — це нерівність вигляду $$P(x) > 0$$ або $$P(x) Наприклад: $$x^2>0;\quad x^2-3>x;\quad(x-2)(x+3)(x-5)^2\leq0;\quad x^4-5x^3+x-7 Якою на вашу думку була швидкість стрибунів на момент відкриття парашуту? $$30$$ м/с $$60$$ м/с $$90$$ м/с $$120$$ м/с # Метод інтервалів Будь-яку раціональну нерівність можна легко розв’язати за допомогою **методу інтервалів**.\ Зі схожою процедурою ми вже зустрічалися під час розв’язання рівнянь з модулями (див. розділ 8.2 [Рівняння з модулями](http://math.ed-era.com/7/prost_rvnyannya_z_modulyami.html)).\ Саме таким методом ми скористалися для знаходження часу на відкриття парашута в попередній задачі. Графіки допоможуть нам зрозуміти сутність методу інтервалів. Наприклад, поглянемо на графік функції $$f(x)=x^3+2x^2-5x-6$$ Основна думка полягає в тому, що **раціональна функція може змінювати знак лише у точках, в яких вона рівна нулеві.** Точки $$-3;-1;2$$ – це **граничні точки, між якими графік знаходиться або вище від осі $$x$$ (зображено синім), або нижче від осі $$x$$ (зображено оранжевим).** Знаходження граничних точок функції, що стоїть в нерівності, – це дуже важливий крок при розв’язанні раціональних нерівностей. Ці точки можна знайти, розв’язавши рівняння $$f(x)=0$$. Єдине, що залишиться – обрати необхідні інтервали залежно від знака нерівності. Алгоритм **Метод інтервалів** 1. Виразити нерівність у вигляді $$P(x)>0$$ або $$P(x) Розв’язати рівняння $$P(x)=0$$, знайшовши **граничні точки**. Зобразити граничні точки на числовій прямій, розбивши її на інтервали. Знайти знаки функції $$P(x)$$ на кожному інтервалі. Обрати ті інтервали, на яких знаки $$P(x)$$ задовольняють вихідну нерівність. Приклад Розв’язати нерівність $$x^3+8x-16>4(3x-x^2)$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Виразимо нерівність у вигляді $$P(x)>0$$ або $$P(x)Перетворюємо нерівність таким чином, аби праворуч залишився нуль:$$ \begin{align} x^3 + 8x - 16 & \gt 4(3x-x^2) \\\ x^3 + 8x - 16 & \gt \color{#1570bd}1\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x\color{#1570bd}-\color{#1570bd}4\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 \\\ x^3 + 8x - 16 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}1\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}4\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 & \gt 12x - 4x^2 \color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}4\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 \\\ x^3 + 4x^2 -4x -16 & \gt 0 \end{align}$$Вихідна нерівність\ Розкриваємо дужки\ Додаємо до обох частин $$4x^2 - 12x$$\ СпрощуємоРозв’яжемо рівняння $$P(x)=0$$, розклавши многочлен у лівій частині на множники:$$ \begin{align} x^3 + 4x^2 -4x -16 & = 0 \\\ x^2(x+4) - 4x - 16 & = 0 \\\ x^2(x+4) - 4(x+4) & = 0 \\\ (x+4)(x^2-4) & = 0 \\\ (x+4)(x+2)(x-2) & = 0 \end{align}$$Вихідна нерівність\ Виносимо за дужки $$x^2$$\ Виносимо за дужки $$-4$$\ Виносимо за дужки $$(x+4)$$\ За формулою різниці квадратів розкладаємо $$x^2-4$$Отже, граничні точки: $$-4;-2;2$$.Зобразимо ці точки на числовій прямій.В результаті утворилося чотири інтервали:![](/files/-LWNRRFfTLN1OAGc4Kre)Шукаємо знаки функції $$P(x)$$ на кожному інтервалі. Для цього беремо якесь тестове значення $$x$$ з кожного інтервалу, підставляємо його у функцію та дивимося на її знак:ІнтервалТестове значенняПідстановка у функціюЗнак функції$$(-\infty;-4)$$$$-5$$$$P(-5)=(-5)^3+4(-5)^2-4\cdot(-5)-16=-21$$$$-$$$$(-4;-2)$$$$-3$$$$P(-3)=(-3)^3+4(-3)^2-4\cdot(-3)-16=5$$$$+$$$$(-2;2)$$$$0$$$$P(0)=(0)^3+4(0)^2-4\cdot0-16=-16$$$$-$$$$(2;\infty)$$$$3$$$$P(3)=(3)^3+4(3)^2-4\cdot3-16=35$$$$+$$Зобразимо ці знаки на числовій прямій та оберемо тільки необхідні інтервали.![](/files/-LWNRRFhlOBG1EBTkyHv)Нерівність післе зведення набула вигляду $$P(x)>0$$, де $$P(x)=x^3+4x^2-4x-16$$Тому підходять лише ті інтервали, в яких функція $$P(x)$$ набуває додатних значень: $$(-4;-2)$$ та $$(2;\infty)$$. Таким чином $$x \in (-4;-2) \cup (2;\infty)$$. **Вiдповiдь.** $$x \in (-4;-2) \cup (2;\infty).$$ Метод «пелюстки» Насправді розв’язувати нерівності можна набагато простіше, зокрема шукати знак функції на всіх інтервалах підстановкою не потрібно. Достатньо знайти його на крайньому правому інтервалі. Цей інтервал завжди має вигляд: $$(a;\infty)$$ – він необмежений справа. Для визначення знака можна підставити будь-яке число з інтервалу. Візьмемо щось велике, наприклад, мільярд. Підставляючи мільярд у функцію, одразу розуміємо, який знак приймає ця функція без обчислення фактичного значення. Всі решта знаків вже автоматично відомі. При переході через граничну точку **знак інтервалу буде змінюватись на протилежний.** У випадку, коли гранична точка є **кратним коренем**, або, іншими словами, в розкладі на множники двочлен з таким коренем стоїть у степені більшому за одиницю, тобто присутній множник вигляду $$(x-x\_i )^k$$, – починаємо малювати «**пелюстки**». Нехай корінь має кратність $$2$$ – можна вважати, що це два окремих корені, між якими є інтервал, що злилися в одну точку на числовій осі. Початок і кінець інтервалу збігається, і він згортається у «пелюстку». При кратності $$3$$, відповідно, маємо три однакові корені, між якими є два інтервали, що згортаються у дві «пелюстки», і т.д. ![](/files/-LWNRRFjkyVfF6O8rNH9) Приклад Розв’язати нерівність $$(x-2)(x+2)(x-3)>0$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Многочлен в лівій частині $$P(x)=(x-2)(x+2)(x-3)$$ вже розкладений на множники, переходимо до п.$$3$$ алгоритму методу інтервалів.Граничні точки многочлена: $$-2;2;3$$.Зобразимо їх на числовій прямій.![](/files/-LWNRRFlst2zwdnagzKV)Шукаємо знак функції на правому інтервалі $$(3;\infty)$$. Підставимо тестове значення «мільярд».$$P(\color{#0F5181}{\textit{мільярд}}) = (\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}}-2}\_{>\thinspace\mbox{0}}) \\, (\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}}+2}\_{>\thinspace\mbox{0}}) \\, (\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}}-3}\_{>\thinspace\mbox{0}}) \\, >0$$Функція $$P(x)$$ в точці мільярд має два додатних множники і один від’ємний, отже, функція в цій точці буде додатною.Отже, правий інтервал має додатний знак. Всі корені мають непарну кратність «$$1$$», тому решту знаків чергуємо, рухаючись справа наліво при переході через граничні точки:![](/files/-LWNRRFn88sgljCiVrFT)Залишилось обрати інтервали, де функція додатня, бо за умовою $$P(x)>0$$. Такими є інтервали $$(-2;2)$$ та $$(3;\infty)$$.![](/files/-LWNRRFpdVWj9NiwC4Ak)**Вiдповiдь.** Отже, $$x \in (-2;2) \cup (3;\infty)$$. Приклад Розв’язати нерівність $$(x-1) (x-2)^2 (x+3)^3\geq0$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Многочлен в лівій частині $$P(x)=(x-1) (x-2)^2 (x+3)^3$$ вже розкладений на множники, переходимо до п.$$3$$ алгоритму методу інтервалів.Граничні точки многочлена: $$-3;1;2$$.Зобразимо їх на числовій прямій.![](/files/-LWNRRFrE8eQOipkfl27)Нерівність є нестрогою, інтервали включають кінцеві точки, тому їх зображуємо зафарбованими. Точка $$x=2$$ має кратність «$$2$$» — малюємо одну «пелюстку» на числовій осі. Точка $$x=-3$$ має кратність «$$3$$» — малюємо дві «пелюстки»:Шукаємо знак функції на правому інтервалі $$(2;\infty)$$. Підставимо тестове значення «мільярд ».$$\dfrac{P({\text{мільярд}})}{Q({\text{мільярд}})} = \underbrace{\left( \text{мільярд} - 1 \right)}\_{\gt 0} \underbrace{\left( \text{мільярд} - 2 \right)^2}\_{\gt 0} \underbrace{\left( \text{мільярд} + 3 \right)^3}\_{\gt 0} \geq 0$$ Всі три множники додатні, функція на цьому інтервалі має додатний знак: Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний: ![](/files/-LWNRRFtduRsJJ_7YIjm) Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $$P(x)\geq0$$. Такими є інтервали $$(-\infty;-3], \[1;2]$$ та $$\[2;\infty)$$. До речі, два останніх інтервали можна об’єднати, тому $$x \in (-\infty;-3] \cup \[1;\infty)$$. ![](/files/-LWNRRFvIp06G7sRMISC) **Вiдповiдь.** Отже, $$x \in (-\infty;-3] \cup \[1;\infty)$$. Розв’яжіть нерівність: $$(x−2)(x+3)(x+1)>0$$ $$(-3;-1)\cup(2;\infty)$$ $$(-3;-1)$$ $$(-3;-1)\cap(2;\infty)$$ $$(-3;2)$$ Граничні точки многочлена: $$-3;-1;2$$ Знак функції на правому інтервалі $$(2;\infty)$$ додатний, тому все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний. Обираємо інтервали, де функція додатна: $$(-3;-1), (2;\infty)$$ # Дробово-рацiональнi нерiвності Визначення **Дробово-раціональна нерівність** — це нерівність вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$ або $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} Наприклад: $$\dfrac{2}{x}0;\quad\dfrac{x^2-3x+5}{x(3x-1)(2x-6)(x-2)} Для розв’язання дробово-раціональних нерівностей користуються тим самим методом інтервалів. Основна думка в цьому варіанті полягає в тому, що **дробово-раціональна функція може змінювати знак лише у точках, в яких вона рівна нулеві або не існує.** **Граничні точки** для дробово-раціональної функції можна знайти прирівнявши нулеві як чисельник: $$P(x)=0$$ (дробово-раціональна функція рівна нулю), так і знаменник: $$Q(x)=0$$ (дробово-раціональна функція не існує). Алгоритм **Метод інтервалів** 1. Виразити нерівність у вигляді $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$ або $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} Розв’язати рівняння $$P(x)=0$$ та $$Q(x)=0$$, знайшовши **граничні точки**. Зобразити граничні точки на числовій прямій, розбивши її на інтервали. Знайти знаки функції $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ на кожному інтервалі. Обрати ті інтервали, на яких знаки $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ задовольняють вихідній нерівності. Приклад Розв’язати нерівність $$\dfrac{5}{x} Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Перетворюємо нерівність до вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ \begin{align} \dfrac{5}{x} & \lt x \\\ \dfrac{5}{x} - x & \lt x - x \\\ \dfrac{5}{x} - x & \lt 0 \\\ \dfrac{5}{x} - x \cdot \dfrac{x}{x} & \lt 0 \\\ \dfrac{5 - x^2}{x} & \lt 0 \end{align}$$Вихідна нерівність\ \ Віднімаємо $$x$$ від обох частин нерівності\ \ Спрощуємо\ \ Зводимо до спільного знаменника\ \ СпрощуємоМногочлен в знаменнику $$5-x^2$$ можна розкласти на множники за допомогою формули різниці квадратів: $$5-x^2=(\sqrt{5}-x)(\sqrt{5}+x)$$. У результаті маємо:\ $$\dfrac{(\sqrt{5}-x)(\sqrt{5}+x)}{x}Граничні точки многочлена $$P(x)$$ в чисельнику: $$-\sqrt{5};\sqrt{5}$$, а граничні точки многочлена $$Q(x)$$ в знаменнику: $$0$$. Загальні граничні точки: $$-\sqrt{5};0;\sqrt{5}$$.Зобразимо їх на числовій прямій:![](/files/-LWNRRjnp27Vf40qW-aW)Шукаємо знак функції на правому інтервалі $$(\sqrt{5};\infty)$$. Підставимо тестове значення «мільярд»:\ $$\dfrac{P({\text{мільярд}})}{Q({\text{мільярд}})} = \underbrace{\left( \sqrt{5} - \text{мільярд} \right)}\_{\lt 0} \underbrace{\left( \sqrt{5} + \text{мільярд} \right)}\_{\gt 0} \underbrace{\dfrac{1}{\text{мільярд}}}\_{\gt 0} \lt 0$$ Два множники додатні, один від’ємний – функція на цьому інтервалі має від’ємний знак. Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний: ![](/files/-LWNRRjp1bOJpSKmbbY_) Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} ![](/files/-LWNRRjryjnxH4tswHoR) **Вiдповiдь.** Отже, $$x \in (-\sqrt{5};0) \cup (0;\sqrt{5})$$. Приклад Розв’язати нерівність $$\dfrac{(x+2)^3(x+3)}{x^2-9} * * Розв’язок * * Вiдповiдь * * Приховати **Розв’язок.** Многочлен в знаменнику $$x^2-9$$ можна розкласти на множники за допомогою формули різниці квадратів: $$x^2-9=(x+3)(x-3)$$. В результаті маємо: $$\dfrac{(x+2)^3(x+3)}{(x-3)(x+3)}Граничні точки многочлена $$P(x)$$ в чисельнику: $$-3;-2$$, а граничні точки многочлена $$Q(x)$$ в знаменнику: $$-3;3$$. Загальні граничні точки: $$-3;-2;3$$.Зобразимо їх на числовій прямій. Точка $$x=-3$$ має кратність «$$2$$» — малюємо одну «пелюстку» на числовій осі. Точка $$x=-2$$ має кратність «$$3$$» — малюємо дві «пелюстки»:![](/files/-LWNRRjt2Cgf3hKQXRUl)Шукаємо знак функції на правому інтервалі $$(3;\infty)$$. Підставимо тестове значення «мільярд ».$$\dfrac{P({\text{мільярд}})}{Q({\text{мільярд}})} = \underbrace{\left( \text{мільярд} + 2 \right)^2}\_{\gt 0} \underbrace{\left( \text{мільярд} + 3 \right)}\_{\gt 0} \underbrace{\dfrac{1}{\text{мільярд} + 3}}\_{\gt 0} \underbrace{\dfrac{1}{\text{мільярд} - 3}}\_{\gt 0} \gt 0$$ Всі чотири множники додатні, функція на цьому інтервалі має додатний знак. Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний: ![](/files/-LWNRRjv06TBoiYw_c3G) Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} ![](/files/-LWNRRjx8aHbaNEaX-aR) **Вiдповiдь.** Отже, $$x \in (-2;3)$$. Скільки граничних точок має нерівність: $$\dfrac{(x-5)(x+1)(x-2)}{x^2-25}>0?$$ $$4$$ $$5$$ $$6$$ $$7$$ На скільки інтервалів розбивається числова пряма для нерівності: $$\dfrac{(x-5)(x+3)(x-3)}{x^2+9} $$2$$ $$3$$ $$4$$ $$5$$ # Нерiвностi з параметрами Точно так само, як і для рівнянь з параметрами, основна концепція при розв’язанні нерівностей з параметрами полягає в наступному: 1. Знайти «контрольнi» значення параметрiв, при яких у нерівності вiдбуваються якiснi змiни, наприклад, зміна знака на протилежний. 2. Знайти всi вирази для коренiв нерівності при рiзних значеннях параметрiв. Приклад Розв’язати нерівність $$\dfrac{x^2+3}{3-ax}>1$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Перше «контрольне» значення параметра: $$a=0$$.В такому випадку нерівність перетворюється на раціональну: $$\dfrac{x^2+3}{3}>1$$. Розв’яжемо її:$$ \begin{align} \dfrac{x^2 + 3}{3} & \gt 1 \\\ 3 \cdot \dfrac{x^2 + 3}{3} & \gt 3 \cdot 1 \\\ x^2 + 3 & \gt 3 \\\ x^2 + 3 - 3 & \gt 3 - 3 \\\ x^2 & \gt 0 \\\ \sqrt{x^2} & \gt \sqrt{0} \\\ |x| & \gt 0 \\\ x & \in (-\infty;0)\cup(0;+\infty) \end{align}$$Вихідна нерівність\ \ Множимо обидві частини на $$3$$\ \ Спрощуємо\ Віднімаємо $$3$$ від обох частин\ Спрощуємо\ Знаходимо квадратні корені обох частин\ Спрощуємо\ Записуємо розв'язок у інтервальному виглядіЗображуємо розв’язок на числовій осі:![](/files/-LWNRQ4DX4IcS6_yAtkb)Отже, при $$a=0$$ маємо $$x\in(-\infty;0)\cup(0;\infty)$$.Розглядаємо тепер інші випадки, коли $$a\neq0$$.У загальному випадку застосуємо метод інтервалів.Зводимо нерівність до стандартного вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$ або $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ \begin{align} \dfrac{x^2+3}{3 - ax} & \gt 1 \\\ \dfrac{x^2+3}{3-ax} - 1 & \gt 0 \\\ \dfrac{x^2+3}{3-ax} - \dfrac{3-ax}{3-ax} & \gt 0 \\\ \dfrac{x^2 + ax}{3-ax} & \gt 0 \end{align}$$Шукаємо граничні точки, для цього розкладаємо многочлени з чисельника і знаменника на множники.В знаменнику все просто: $$3-ax = a\left(\dfrac{3}{a}-x\right)$$, в чисельнику: $$x^2+ax=x(x+a)$$.Отже, нерівність можна переписати у вигляді:$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{x(x+a)}{a\left(\dfrac{3}{a}-x\right)}>0$$Граничні точки чисельника: $$x=0,x=-a$$; знаменника: $$x=\dfrac{3}{a}$$Для того, щоб зобразити ці точки на числовій прямій, розглядаємо два випадки:$$a>0$$: тоді має місце співвідношення $$-a$$aШукаємо знак функції на правому інтервалі і потім проставляємо знаки решти інтервалів:$$a>0$$: підставляємо тестове значення з правого інтервалу $$\left(\dfrac{3}{a};\infty \right)$$ - «мільярд»![](/files/-LWNRQ4FqmOTmCALaSWk)Три множники додатні, один від’ємний – функція на цьому інтервалі має від’ємний знак.Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:![](/files/-LWNRQ4HP-Vx6tCuR0f8)$$aмільярд»![](/files/-LWNRQ4JeAvL77JE2Z32)Два множники додатні, два від’ємні – функція на цьому інтервалі має додатний знак.Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:![](/files/-LWNRQ4LQ6CWb6Wbrjvl)Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$$$a>0$$: обираємо інтервали $$(-\infty;-a)$$ та $$\left(0;\dfrac{3}{a}\right)$$.$$a **Вiдповiдь.**Запишемо загальний результат:при $$a=0: x \in (-\infty;0) \cup (0;\infty);$$при $$a>0: x \in (-\infty;-a) \cup \left(0;\dfrac{3}{a}\right)$$;при $$a Які типи критичних значень параметра зустрінуться під час розв'язання нерівності $$\dfrac{(a-1)x^2-5x+10}{5(a-2)}>0$$? перетворення квадратичного виразу на лінійний рівність дискримінанту нулеві рівність знаменнику нулеві рівність підмодульного виразу нулеві # Дробово-раціональні рівняння ## Дробово-раціональні рівняння ## Загальні відомості Одне з найшвидших серійних авто у світі – Mercedes-AMG C63 — може з місця прискоритись до $$100$$ км/год за $$4,1$$ с, маючи при цьому максимальну швидкість $$250$$ км/год. А тепер погляньте на болід Ferrari гоночної серії Формула $$1$$. Цей красень зривається з місця до $$100$$ км/год за $$1,7$$ с, до $$200$$ км/год за $$3,8$$ с та має максимальну швидкість приблизно $$350$$ км/год! Неймовірно, чи не так? Уявіть, яку перевагу болід Формули $$1$$ матиме на трасі над суперкаром Mercedes. Ось це відео – чудова демонстрація цьому. Додамо трошки математики. Траса Ґран-Прі Формули $$1$$ «Альберт Парк» у Мельбурні, Австралія, завдовжки $$5303$$ метри. Болід Формули $$1$$ пройшов повне коло на $$47,3$$ с швидше за Mercedes. При цьому середня швидкість Mercedes на одному колі була на $$60$$ км/год меншою. Якщо представити середню швидкість на колі як $$x$$, тоді час проходження одного кола можна описати таким чином: $$\underbrace{\dfrac{5,303\thinspace км}{x\thinspace -\thinspace 60\thinspace км/год}}\_{суперкар\thinspace Mercedes}$$ $$-$$ $$\underbrace{\dfrac{5,303\thinspace км}{x}}\_{болід\thinspace F1}$$ $$=$$ $$\underbrace{47,3\thinspace с\thinspace \cdot \dfrac{1\thinspace год}{3600\thinspace с}}\_{різниця\thinspace часу}$$ Тепер можна відшукати середню швидкість боліда F$$1$$. Зведемо всі доданки до спільного знаменника: | $$\dfrac{5,303}{x-60} - \dfrac{5,303}{x} = \dfrac{47,3}{3600}$$ | Вихідне рівняння | | --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------- | | $$\dfrac{5,303}{x-60} - \dfrac{5,303}{x} \color{#1570bd}- \dfrac{\color{#1570bd}4\color{#1570bd}7\color{#1570bd},\color{#1570bd}3}{\color{#1570bd}3\color{#1570bd}6\color{#1570bd}0\color{#1570bd}0} = \dfrac{47,3}{3600} \color{#1570bd}- \dfrac{\color{#1570bd}4\color{#1570bd}7\color{#1570bd},\color{#1570bd}3}{\color{#1570bd}3\color{#1570bd}6\color{#1570bd}0\color{#1570bd}0}$$ | Віднімаємо $$\dfrac{47,3}{3600}$$ від обох частин | | $$\dfrac{5,303}{x-60} - \dfrac{5,303}{x} - \dfrac{47,3}{3600} = 0$$ | Спрощуємо | | $$\dfrac{-47,3x^2 + 2838x + 1145448}{3600x(x - 60)} = 0$$ | Зводимо до спільного знаменника | Маємо раціональний дріб. Пригадаємо умову рівності дробу нулеві (див. розділ 5 [Корінь та його властивості](http://math.ed-era.com/4/drobovo-ratsionalni_virazi.html)): $$\begin{cases} M=0\\\ N \neq 0 \end{cases} \Longrightarrow \dfrac{M}{N} = 0$$ Почнемо з **першої умови** і розв’язуємо рівняння з чисельника: | $$\dfrac{5,303}{x-60} - \dfrac{5,303}{x} = \dfrac{47,3}{3600}$$ | Вихідне рівняння | | ------------------------------------------------------------------------------------------ | ---------------------------------------- | | $$2838^2 - 4\cdot (-47,3)\cdot 1145448 = 224773006$$ | Шукаємо дискримінант | | $$\dfrac{-2838\pm \sqrt{224773005,6}}{2\cdot (-47,3)} = 0$$ | Дискримінант додатний, шукаємо корені | | $$\left\[ \begin{array}{} x\_1 \approx 188,5 \\\ x\_2 \approx -128,5 \end{array} \right.$$ | Спрощуємо та обчислюємо значення коренів | **Друга умова**: перевіряємо знайдені корені на відповідність ОДЗ – при цих значеннях знаменник не повинен дорівнювати нулеві. Зі знаменника легко побачити, що ОДЗ: $$x\neq0,x\neq60$$. Знайдені корені цю умову задовольняють. З двох знайдених коренів залишаємо тільки додатне значення швидкості боліда з точки зору здорового глузду. Таким чином, середня швидкість на колі боліда F$$1$$ склала $$188,5$$ км/год, а суперкара Mercedes AMG C$$65$$ – на $$60$$ км/год менше, тобто $$128,5$$ км/год. Формула $$1$$ є найбільш інноваційним та технологічно розвиненим видом автоспорту. Середня швидкість в гонці є найбільшою серед всіх гоночних серій. Цього вдається досягти за допомогою використання переднього та заднього антикрил, а також ідеального аеродинамічного профілю, що на високих швидкостях дають притисну силу в $$3000$$ кг для боліда вагою всього-на-всього $$650$$ кг. Дуже раджу подивитись випуск програми «Інженерні ідеї з Річардом Хамондом» про Формулу $$1$$: # Дробово-раціональне рівняння Повернемося до вихідного рівняння. Воно містило змінну в знаменнику дробу, і таке рівняння називається дробовим раціональним. Визначення **Дробово-раціональне рівняння** — це рівняння вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$$, де $$P(x),Q(x)$$ – многочлени, а $$x$$ – змінна. Наприклад: $$\dfrac{1}{x}=2;\quad \dfrac{x(x+3)}{x-1}=0;\quad \dfrac{5x^2+x+1}{3-x+x^3}-\dfrac{1}{x}=6.$$ Розв’язувати дробові раціональні рівняння не складніше, ніж звичайні раціональні. Головне – **пам’ятати про ОДЗ знаменника**. Алгоритм **Дробове раціональне рівняння** 1. Виразити рівняння у вигляді $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$$, де $$P(x),Q(x)$$ – многочлени. 2. Розв’язати рівняння $$P(x)=0$$. 3. Перевірити знайдені корені, щоб вони задовольняли ОДЗ знаменника: $$Q(x\_i)\neq0$$. Приклад Знайти корені рівняння $$\dfrac{x-3}{x^2+4x+3} + \dfrac{1}{x+1} = -\dfrac{x}{x+3}$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Користуємося вищезазначеним алгоритмом.Перетворюємо рівняння до вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$$:$$\dfrac{x-3}{x^2+4x+3} + \dfrac{1}{x+1} = - \dfrac{x}{x+3}$$Вихідне рівняння$$\dfrac{x-3}{x^2+4x+3} + \dfrac{1}{x+1} + \dfrac{x}{x+3} = 0$$Додаємо $$\dfrac{x}{x+3}$$ до обох частин та спрощуємо$$\dfrac{x-3+x+3+(x+1)x}{\color{#1570bd}(\color{#1570bd}x\color{#1570bd}+\color{#1570bd}3\color{#1570bd})\color{#1570bd}(\color{#1570bd}x\color{#1570bd}+\color{#1570bd}1\color{#1570bd})} = 0$$Зводимо до спільного знаменника$$\dfrac{\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2\color{#1570bd}+\color{#1570bd}3\color{#1570bd}x}{(x+3)(x+1)} = 0$$Спрощуємо$$\dfrac{\color{#1570bd}x(x+3)}{(x+3)(x+1)} = 0$$Виносимо $$x$$ в чисельнику за дужкиРозв’язуємо рівняння з чисельника:$$x(x+3) = 0$$Вихідне рівняння$$\left\[ \begin{array}{} x = 0 \\\ x + 3 = 0 \end{array} \right.$$Добуток множників рівний нулю записати як сукупність множників, кожен з яких рівний нулю$$\left\[ \begin{array}{} x = 0 \\\ x + 3 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}3 = 0 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}3 \end{array} \right.$$У другому рівнянні віднімемо $$3$$ від обох частин$$\left\[ \begin{array}{} x\_1 = 0 \\\ x\_2 = - 3 \end{array} \right.$$СпрощуємоТепер поглянемо на знаменник. ОДЗ такого дробу знаходимо з умови $$(x+3)(x+1)\neq0$$. Отже, отримуємо ОДЗ: $$x\neq-3;x\neq-1$$.Серед знайдених двох коренів ОДЗ задовольняє лише один $$x=0$$.**Вiдповiдь.** $$x=0$$. Приклад Знайти корені рівняння $$\dfrac{x^2-14x+2}{x^2+4x+2}+1=\dfrac{5x}{x^2-3x+2}.$$ Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Перед нами дробове раціональне рівняння. Зводимо його до вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$$.Скористаємося одним трюком. Якщо уважно придивитися до коефіцієнтів квадратних тричленів у рівнянні, можна побачити, що деякі з них збігаються:Якщо в такому рівняння поділити і чисельник, і знаменник на $$x$$ – можна буде зробити дуже вдалу заміну. Але спочатку треба перевірити, чи не є $$x=0$$ коренем рівняння, бо на $$0$$ ділити не можна:$$\dfrac{0^2-14 \cdot 0+2}{0^2+4\cdot0+2} +1 = \dfrac{5\cdot0}{0^2-3\cdot0+2}\Longleftrightarrow \dfrac{2}{2}+1=0$$Така рівність не справджується, тому можна спокійно ділити і чисельник, і знаменник дробів на $$x$$:$$\dfrac{\dfrac{x^2 - 14x + 2}{\color{#1570bd}x}}{\dfrac{x^2 + 4x + 2}{\color{#1570bd}x}} + 1 = \dfrac{\dfrac{5x}{\color{#1570bd}x}}{\dfrac{x^2-3x+2}{\color{#1570bd}x}}$$Ділимо чисельник і знаменник дробів на $$x$$$$\dfrac{\color{#1570bd}x - 14 + \dfrac{\color{#1570bd}2}{\color{#1570bd}x}}{\color{#1570bd}x + 4 + \dfrac{\color{#1570bd}2}{\color{#1570bd}x}} + 1 = \dfrac{5}{\color{#1570bd}x-3+\dfrac{\color{#1570bd}2}{\color{#1570bd}x}}$$Спрощуємо$$\dfrac{t-14}{t+4} + 1 = \dfrac{5}{t-3}$$Робимо заміну $$t= x + \dfrac{2}{x}$$$$\dfrac{t-14}{t+4} + 1 - \dfrac{5}{t-3} = 0$$Збираємо всі доданки в лівій частині$$\dfrac{2t^2 - 21t + 10}{(t-3)(t+4)} = 0$$Зводимо до спільного знаменника та спрощуємоРозв’язуємо рівняння з чисельника:$$2t^2 - 21t + 10 = 0$$Вихідне рівняння$$D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 441 - 80 = 361$$Шукаємо дискримінант$$t\_{1,2} = \dfrac{21 \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 2} = \dfrac{21 \pm 19}{4}$$Дискримінант додатний, шукаємо корені$$\left\[ \begin{array}{} t\_1 = 10, \\\ t\_2 = \dfrac{1}{2} \end{array} \right.$$Спрощуємо та обчислюємо значення коренівПоглянемо на ОДЗ змінної, знаменник повинен бути відмінним від нуля: $$(t-3)(t+4)\neq0$$. Це дає два заборонених значення змінної: $$t\neq3;t\neq-4$$. Обидва знайдені значення задовольняють ОДЗ.Повертаємося до вихідної змінної $$x$$ і отримуємо ще два дробових раціональних рівняння:$$\left\[ \begin{gathered} x + \dfrac{2}{x} = 10, \hfill \\\ x + \dfrac{2}{x} = \dfrac{1}{2} \hfill \\\ \end{gathered} \right.$$Оскільки раніше ми вже перевірили, що $$x\neq0$$ – можемо спокійно домножити обидві частини рівнянь на $$x$$ та розв’язати отримані квадратні рівняння:$$\left(x + \dfrac{2}{x} \right)\cdot x=10\cdot x$$$$\left(x + \dfrac{2}{x} \right)\cdot x= \dfrac{1}{2}\cdot x$$$$x^2+2=10x$$$$x^2+2=\dfrac{x}{2}$$$$x^2-10x+2=0$$$$x^2-\dfrac{x}{2}+2=0$$$$D=(-10)^2-4\cdot1\cdot2=92>0$$$$D=\left(-\dfrac{1}{2} \right)^2-4\cdot1\cdot2=-\dfrac{31}{4}$$x\_{1,2}=\dfrac{10\pm\sqrt{92}}{2}=5\pm\sqrt{23}$$$$x \in \emptyset$$Отже, вихідне рівняння має корені $$x\_{1,2}=5\pm\sqrt{23}$$.**Вiдповiдь.** $$x\_{1,2}=5\pm\sqrt{23}$$. Розв’яжіть рівняння: $$\dfrac{7x-2}{2x-7}=1$$ $$x=-1$$ $$x=7$$ $$x=5$$ $$x=-2$$ Претворимо рівняння до вигляду: $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0$$ $$\dfrac{(7x-2)-(2x-7)}{2x-7}=0$$ Розв’язуємо рівняння чисельника: $$7x-2-2x+7=0$$ $$x=-1$$ Звернемо увагу на знаменник: $$x\neq\dfrac{7}{2}$$. Отже, відповідь $$x=-1.$$ # Раціональні рівняння з параметрами Точно так само, як і для інших видів рівнянь з параметрами, основна концепція при розв’язанні полягає в такому: 1. Знайти «контрольнi» значення параметрiв, при яких у рівнянні вiдбуваються якiснi змiни, наприклад, вираз у знаменнику обертається на нуль. 2. Знайти всi вирази для коренiв рiвняння при рiзних значеннях параметрiв. Приклад Розв’язати рівняння $$\dfrac{x+5}{ax+2}-\dfrac{ax+4}{1-x}=0$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Маємо дробове раціональне рівняння.Зводимо його до стандратного вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$$:$$\dfrac{x+5}{ax+2}-\dfrac{ax+4}{1-x}=0$$$$\dfrac{1-x}{1-x}\cdot\dfrac{x+5}{ax+2}-\dfrac{ax+2}{ax+2}\cdot\dfrac{ax+4}{1-x}=0$$$$\dfrac{(1-x)(x+5)+(ax+2)(ax-4)}{(ax+2)(1-x)}=0$$$$\dfrac{x+5-x^2-5x+(ax)^2-4ax+2ax-8}{(ax+2)(1-x)}=0$$$$\dfrac{({a^2}-1)x^2-(2a+4)x-3}{(ax+2)(1-x)}=0$$$$(a^2-1) x^2-(2a+4)x-3=0$$По-перше, розглянемо «контрольні» значення параметра $$a=\pm1$$. Рівняння стане лінійним та матиме один корінь:При $$a=1$$:$$-(6\cdot1+2)x-3=0$$$$-2x-9=0$$$$x=-\dfrac{9}{2}$$При $$a=-1$$:$$-(6\cdot(-1)+2)x-3=0$$$$-2x+3=0$$$$x=-\dfrac{3}{2}$$Якщо $$a\neq\pm1$$, то рівняння є квадратним. Шукаємо дискримінант:$$D=(2a+4)^2-4\cdot(a^2-1)\cdot(-3)=4a^2+16a+16+12a^2-12=$$$$=16a^2+16a+4=4(4a^2+4a+1)=4(2a+1)^2\geq0$$Наступну контрольну точку шукаємо з умови $$D=0$$:$$4(2a+1)^2=0 \Longleftrightarrow 2a+1=0 \Longleftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}$$Шукаємо розв’язок при $$a=-\dfrac{1}{2}$$:$$x=\dfrac{2\left(-\dfrac{1}{2} \right)+4}{2\left( \left(-\dfrac{1}{2} \right)^2-1 \right)}=-2$$В решті випадків, коли $$a \notin \left\\{-1;-\dfrac{1}{2};1 \right\\}$$, рівняння має два корені:$$x\_{1,2} = \dfrac{2a+4\pm\sqrt{4(2a+1)^2}}{2(a^2-1)}=\dfrac{a+2\pm|2a+1|}{a^2-1}$$Розглянемо два випадки для позбавлення значка модуля:При $$a>-\dfrac{1}{2}$$:$$x\_1=\dfrac{a+2+(2a+1)}{a^2-1}=\dfrac{3a+3}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{3(a+1)}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{3}{a-1}$$$$x\_2=\dfrac{a+2-(2a+1)}{a^2-1}=\dfrac{-a+1}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{-1}{a+1}$$При $$a$$x\_1=\dfrac{a+2-(2a+1)}{a^2-1}=\dfrac{-a+1}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{-1}{a+1}$$$$x\_2=\dfrac{a+2+(2a+1)}{a^2-1}=\dfrac{3a+3}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{3(a+1)}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{3}{a-1}$$Бачимо, що корені на цих двох проміжках однакові, тому у відповіді будемо це записувати спільним інтервалом для параметра $$a$$:При $$a \notin \left\\{-1;-\dfrac{1}{2};1 \right\\}$$:$$x\_1=\dfrac{-1}{a+1}$$$$x\_2=\dfrac{3}{a-1}$$Єдине, що залишилось, – відкинути ті корені, які не входять в ОДЗ. Зі знаменника вихідного дробового рівняння$$\dfrac{(a^2-1) x^2-(2a+4)x-3}{(ax+2)(1-x)}=0$$отримуємо умову $$(ax+2)(1-x)\neq0$$. Отже, ОДЗ: $$x\neq1;x\neq-\dfrac{2}{a},a\neq0$$.Тепер головне – не заплутатись при відборі коренів. Для одного значення параметра $$a$$ квадратне рівняння дає нам два корені. Маючи ОДЗ для змінної $$x$$ та вирази для коренів, ми можемо знайти саме ті значення параметра $$a$$, які дають заборонені значення змінної $$x$$. Такі значення параметра $$a$$ теж будуть «контрольними». Але при цих «контрольних» значеннях один корінь є точно заборонений (звідки ми й знайшли це значення параметра), а ось другий скоріше за все – ні (це треба перевірити).В результаті для більшості значень параметра $$a$$ у відповіді буде два корені, а для таких «контрольних» значень – лише один (або жодного).Зараз виконуємо таку послідовність дій:Шукаємо «контрольні» значеннях параметра, що дають заборонені значення $$x$$.Шукаємо дозволені значення другого (іншого з двох) кореня при «контрольних» значення параметра $$a$$.Вперед!Шукаємо «контрольні» значення параметра $$a$$. Для цього прирівняємо знайдені вирази для коренів по черзі до заборонених значень $$x$$, та звідти виразимо $$a$$:$$x\_1(a) = 1: \quad \dfrac{-1}{a+1} = 1 \Longleftrightarrow a = -2$$$$x\_2(a) = 1: \quad \dfrac{3}{a-1} = 1 \Longleftrightarrow a = 4$$$$x\_1(a) = -\dfrac{2}{a}, a\neq0: \quad \dfrac{-1}{a+1} = -\dfrac{2}{a} \Longleftrightarrow a = 2(a+1)\Longleftrightarrow a = -2$$$$x\_2(a) = -\dfrac{2}{a}, a\neq0: \quad \dfrac{3}{a-1} = -\dfrac{2}{a} \Longleftrightarrow 3a = -2(a-1)\Longleftrightarrow a = \dfrac {2}{5}$$Знайшли три «контрольних» значення параметра $$a: -2;4;\dfrac{2}{5}$$.Шукаємо тепер дозволені значення $$x$$ при «контрольних» значення параметра:При $$a=-2$$:$$x\_1 (-2)=1$$ – заборонене значення, шукаємо $$x\_2$$:$$x\_2 (-2)=\dfrac{3}{-2-1}=-1\neq1$$ – дозволене значення.При $$a=4$$:$$x\_2 (4)=1$$ – заборонене значення, шукаємо $$x\_1$$:$$x\_1 (4)=\dfrac{-1}{4+1}=-\dfrac{1}{5}\neq1$$ – дозволене значення.При $$a=\dfrac{2}{5}$$:$$x\_2 \left(\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{3}{\dfrac{2}{5}-1}=-5$$ – заборонене значення, шукаємо $$x\_1$$:$$x\_1 \left(\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{-1}{\dfrac{2}{5}+1}=-\dfrac{5}{7}\neq-5$$ – дозволене значення.Тепер головне не заплутатись і перерахувати всі розглянуті випадки: **Вiдповiдь.**При $$a = -2: \quad x = -1;$$при $$a = -1: \quad x = -\dfrac{3}{2};$$при $$a = -\dfrac{1}{2}: \quad x = -2;$$при $$a = \dfrac{2}{5}: \quad x = -\dfrac{5}{7};$$при $$a = 1: \quad x = -\dfrac{9}{2};$$при $$a = 4: \quad x = -\dfrac{1}{5};$$при $$a \notin \left\\{-2;-1;-\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{4};1;4 \right\\}: \quad x\_1 = \dfrac{-1}{a+1}, x\_2 = \dfrac{3}{a-1}.$$ За яких значень параметра $$a$$ рівняння $$\dfrac{a-x}{x^2+x-72}=0$$ не матиме коренів? $$-9$$ $$-5$$ $$0$$ $$8$$ $$10$$ $$14$$ # Ірраціональні рівняння ![](/files/-LWNRPeV-JcNWBdUD19W)Дуже давно, у другому сторіччі до нашої ери, в Олександрії жив давньогрецький вчений на ім’я Ератосфен. Колеги звали його Beta (друга літера грецького алфавіту), бо, як вони казали: «Ератосфен був другим найкращим у світі у всьому, за що він брався». Астроном, історик, географ, філософ, поет, театральний критик і математик, він також був головою Великої Олександрійської бібліотеки. Він помітив цікавий факт: у єгипетському місті Сієни (зараз – Асуан) один раз на рік, 19 червня опівдень, всі предмети перестають відкидати тінь, а відбиток сонця можна побачити на дні колодязів. Мало хто звертав увагу на такі дрібниці, але не Ератосфен. Рік потому, знаходячись у той самий день у Олександрії, яка знаходиться на узбережжі Середземного моря (північніше Сієни), Ератосфен побачив, що тут, на відміну від Сієни, предмети відкидають тінь. ![](/files/-LWNRPeXihHDcWRD-qEG)Він задався питанням: як так може бути, щоб в один і той самий момент колона у Олександрії відкидає тінь, а у Сієнах – ні? Тоді Ератосфен надійшов висновку, що Земля має форму кулі, і навіть зміг досить точно обчислити довжину екватора. Він виміряв довжину тіні, і, знаючи висоту колони, визначив, що кут між сонячними променями та колоною складає 7,2° (в той час, як в Сієнах цей кут є нульовим). Ератосфен також найняв спеціалістів-землемірів, які кроками встановили відстань між двома містами – вона склала близько 800 км. Якщо подивитись на Землю у перерізі, то сектор у 7,2° - це 1/50 повного кола. Тому, для визначення довжини екватору, Ератосфен помножив відстань між містами на 50 і отримав 40 000 км, що лише на 120 км (0,3%!) відрізняється від справжнього значення. І це, маючи лише примітивні вимірювальні прилади! # Корабель на горизонтi Чи помічали ви колись, стоячі на березі, як кораблі, що відпливають далеко, досягають лінії горизонту, а потім зникають за нею? Наступного разу пропоную виконати такий експеримент: як тільки корабль сховається за горизонт, підніміться на якийсь невеличкий пагорб, чи останній поверх будинку – і ви знову побачите той самий корабль. ![](/files/-LWNRQDItVPnWq4eKy79)$$\quad$$$$\quad$$$$\quad$$$$\quad$$ ![](/files/-LWNRQDKpjQsEtqDf__p) Чому так стається? Причина така сама, як у Сієнської «аномалії» Ератосфена – наша планета Земля є круглою. Якщо зобразити Михайла, що стоїть на поверхні Землі, максимальна відстань, на яку він бачитиме (тобто відстань до горизонту) буде окреслювати коло навколо нього. Розмір цього кола безпосередньо залежить від висоти спостерігання – чим вище знаходиться спостерігач, тим далі він бачить: $$d\approx3,85\sqrt{h},$$ де h - висота спостерігача у метрах, а d відстань до горизонту у кілометрах. Цю формулу можна отримати, застосувавши теорему Піфагора. Детальніше, [тут](http://planetcalc.ru/1198/). Для звичайної людини зростом 175 см лінія горизонту лежить на відстані 5 км. Щоби відповісти на питання «А на яку відстань треба піднятись, аби побачити на 20 км?» потрібно розв’язати рівняння: $$20 = 3,85\sqrt{h}.$$ Давайте піднесемо обидві частини рівняння до квадрату аби позбавитися значка кореня: | $$20 = 3,85\sqrt{h}$$ | Вихідне рівняння | | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | -------------------------------------- | | $$\dfrac{20}{\color{#1570bd}3\color{#1570bd},\color{#1570bd}8\color{#1570bd}5} = \dfrac{3,85}{\color{#1570bd}3\color{#1570bd},\color{#1570bd}8\color{#1570bd}5}\sqrt{h}$$ | Ділимо обидві частини рівняння на 3,85 | | $$5,2 = \sqrt{h}$$ | Спрощуємо | | $$\color{#1570bd}(5,2\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2 = \color{#1570bd}(\sqrt{h}\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2$$ | Підносимо обидві частини до квадрату | | $$27= h$$ | Спрощуємо | Отже ми отримали висоту 27 м – це висота дев’ятиповерхового будинку. Піднявшись на висоту в шістнадцять разів більшу можна побачити лише в чотири рази далі. Під час розв’язання цієї задачі ми вперше зустрілись з ірраціональним рівнянням. # Iррацiональнi рiвняння з квадратним коренем Визначення **Ірраціональне рівняння** — це рівняння, що містить змінну під знаком кореня, або в дробовому степені. Наприклад: $$\sqrt{x}+1=2$$; $$\sqrt{x+1}-\sqrt\[3]{x}=x^2$$; $$x^{\frac{2}{3}}=x+1.$$ Розпочнемо з найпростіших рівнянь, що містять змінну під знаком квадратного кореня, і такий доданок лише один.\ Наприклад: $$\sqrt{x+2}+1=5$$. Основний принцип розв'язання такого рівняння базується на властивості квадратного кореня: $$(\sqrt{a})^2=a.$$ Для того, щоб скористатися цією властивістю потрібно **залишити доданок з коренем в одній частині рівняння, а решту доданків зібрати в іншій**. Тому такий метод отримав назву метод відкоремлення кореня. | $$\sqrt{x+2} + 1 = 5$$ | Вихідне рівняння | | ------------------------------------------------------------------------------------------ | -------------------------------- | | $$\sqrt{x+2} + 1 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}1 = 5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}1$$ | Віднімаємо $$1$$ від обох частин | | $$\sqrt{x+2} = 4$$ | Спрощуємо | Тепер час скористатися вищезгаданою властивістю. | $$\color{#1570bd}(\sqrt{x+2}\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2 = \color{#1570bd}(4\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2$$ | Підносимо обидві частини до квадрату | | -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------ | | $$x+2 = 16$$ | Спрощуємо | Вуаля. Страшний корінь раптом зник, і ми маємо звичайне рівняння. | $$x+2 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 = 16 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2$$ | Віднімаємо $$2$$ від обох частин | | -------------------------------------------------------------------------------- | -------------------------------- | | $$x = 14$$ | Спрощуємо | Алгоритм 1. Залишити доданок з коренем в одній частині рівняння, а решту доданків зібрати в іншій. 2. Піднести до квадрату обидві частини рівняння та спростити. 3. Розв’язати отримане рівняння. Якщо дане рівняння містить доданки з коренем – повторити кроки 1-2. 4. Перевірити отримані розв’язки підстановкою у вихідне рівняння. Приклад Розв’язати рівняння $$2\sqrt{2x+1}-5x+2=x$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Залишаємо доданок з коренем на самоті в лівій частині рівняння:$$2\sqrt{2x+1} - 5x + 2 = x$$Вихідне рівняння$$2\sqrt{2x+1} - 5x + 2 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}5\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 = x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}5\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2$$Додаємо $$5x-2$$ до обох частин$$2\sqrt{2x+1} = 6x - 2$$Спрощуємо$$\dfrac{2}{\color{#1570bd}2}\sqrt{2x+1} = \dfrac{6x - 2}{\color{#1570bd}2}$$Ділимо обидві частини на $$2$$$$\sqrt{2x+1} = 3x - 1$$СпрощуємоПідносимо обидві частини рівняння до квадрату:$$\color{#1570bd}(\sqrt{2x+1}\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2 = \color{#1570bd}(3x-1\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2$$Підносимо обидві частини до квадрату$$2x + 1 = 9x^2 - 6x + 1$$Спрощуємо$$2x + 1 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}1 = 9x^2 - 6x + 1 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}1$$Віднімаємо $$2x-1$$ від обох частин$$0 = 9x^2 - 8x$$СпрощуємоРозв’язуємо отримане рівняння:$$9x^2 - 8x = 0$$Вихідне рівняння$$\color{#1570bd}x\color{#1570bd}(9x-8\color{#1570bd}) = 0$$Виносимо спільний множник $$x$$ за дужки$$\left\[ \begin{array}{} x = 0,\\\ 9x-8 = 0 \end{array} \right.$$Переписуємо рівняння у вигляді сукупності двох простіших рівнянь$$\left\[ \begin{array}{} x = 0,\\\ x = \dfrac{8}{9} \end{array} \right.$$Отримуємо розв'язокПеревіряємо отримані розв’язки:$$2\sqrt{2x+1} - 5x + 2 \ = \ x$$Вихідне рівняння$$2\sqrt{2 \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}0 + 1} - 5 \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}0 + 2 \ = \ ?\color{#1570bd}0$$Підставляємо $$0$$ замість $$x$$$$2\sqrt{1} + 2 \ = \ ?\color{#1570bd}0$$Спрощуємо$$4 \ = \ 0$$Невірно$$2\sqrt{2x+1} - 5x + 2 = \ x$$Вихідне рівняння$$2\sqrt{2 \color{#1570bd}\cdot \dfrac{\color{#1570bd}8}{\color{#1570bd}9} + 1} - 5 \cdot \dfrac{8}{9} + 2 = \ ? \dfrac{\color{#1570bd}8}{\color{#1570bd}9}$$Підставляємо $$\dfrac{8}{9}$$ замість $$x$$$$2\sqrt{\dfrac{25}{9}} - \dfrac{22}{9} = \ ?\dfrac{8}{9}$$Спрощуємо$$2\sqrt{\dfrac{25}{9}} = \ ? \dfrac{30}{9}$$$$\sqrt{\dfrac{25}{9}} = \ ?\dfrac{15}{9}$$$$\dfrac{5}{3} = \ ?\dfrac{15}{9}$$Вірно**Відповідь:** $$x=\dfrac{8}{9}$$. Побічні корені За визначенням значення квадратного кореня є завжди додатним. Ця властивість дозволяє швидко оцінити рівняння на наявність коренів. Якщо, раптово, зустрінеться рівняння вигляду $$\sqrt{20-3x}=-20$$ то одразу, не розв'язуючи його можна сказати, що таке рівняння коренів не має. Значення доданку з квадратним коренем не може бути від’ємним $$\sqrt{20-3x} \geq0$$, і тому $$x\in\emptyset$$. Але якщо ми піднесемо обидві частини рівняння до квадрату (слідуючи алгоритму розв’язання): $$20-3x=400$$ таке рівняння, на відміну від попереднього, вже має корінь і його значення: $$x=-\dfrac{380}{3}$$. Такий корінь називають **побічним**. Він з’явився після піднесення обох частин рівняння до квадрату. Це пов’язано з тим, що рівняння $$20-3x=400$$ можна отримати піднесенням до квадрату як рівняння $$\sqrt{20-3x}=-20$$, так і рівняння $$\sqrt{20-3x}=20$$. Аналогічно, в попередньому прикладі $$x=0$$ був побічним коренем рівняння. Він не пройшов перевірку підстановкою у вихідне рівняння, і був відсіяний. Тому, будьте уважними під час перевірки знайдених коренів. # Корабль поза горизонтом Повернемося до корабля на горизонті, що віддаляється. Як тільки він відпливе від вас на $$5$$ км – він візуально торкнеться лінії горизонту. При подальшому віддаленні, корабль почне поступово ховатися за лінією горизонту, і, згодом, зникне повністю. ![](/files/-LWNRQDItVPnWq4eKy79)$$\quad$$$$\quad$$$$\quad$$$$\quad$$ ![](/files/-LWNRS6ihreCi53uIp-N) Відстань, на якій корабль повністю сховається називають дальністю видимості, і залежить вона, від вашої висоти та від висоти корабля. Якщо до Михайла на Землі домалювати Марічку на кораблі, то все стане зрозуміло: Дальність видимості — це сума відстані до горизонту Михайла та відстані до горизонту Марічки: $$D\approx3,85(\sqrt{h}+\sqrt{H}),$$ де $$h$$ - висота спостерігача у метрах, $$H$$ – висота об’єкту, що спостерігається, а $$D$$ – дальність видимості у кілометрах. Приклад Михайло стоїть на узбережжі Чорного моря та спостерігає у підзорну трубу за Марічкою, що знаходиться на палубі корабля. Коли корабль відплив на відстань $$38,5$$ км від берега – Марічка зникла за лінією горизонту. На якій висоті спостерігав Михайло, якщо Марічка стояла на $$5$$ метрів вище? Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Скористаємося рівнянням для визначення дальності спостереження $$D\approx3,85(\sqrt{h}+\sqrt{H})$$. Тоді за висоту Михайла приймемо $$h=x$$ метрів, висоту Марічки $$H=(x+5)$$ метрів та дальність спостереження $$D=38,5$$ км. Отримане рівняння$$3,85(\sqrt{x}+\sqrt{x+5})=38,5$$розв’язуємо за допомогою стандартного алгоритму:Залишаємо доданок з коренем на самоті в лівій частині рівняння:$$3,85(\sqrt{x} + \sqrt{x+5}) = 38,5$$Вихідне рівняння$$\dfrac{3,85}{\color{#1570bd}3\color{#1570bd},\color{#1570bd}8\color{#1570bd}5}(\sqrt{x} + \sqrt{x+5}) = \dfrac{38,5}{\color{#1570bd}3\color{#1570bd},\color{#1570bd}8\color{#1570bd}5}$$Ділимо обидві частини на $$3,85$$$$\sqrt{x} + \sqrt{x+5} = 10$$Спрощуємо$$\sqrt{x} + \sqrt{x+5} \color{#1570bd}- \sqrt{\color{#1570bd}x} = 10 \color{#1570bd}- \sqrt{\color{#1570bd}x}$$Віднімаємо $$\sqrt{x}$$ від обох частин$$\sqrt{x+5} = 10 - \sqrt{x}$$СпрощуємоПідносимо обидві частини рівняння до квадрату:$$\color{#1570bd}(\sqrt{x+5}\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2 = \color{#1570bd}(\sqrt{10-x}\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2$$Підносимо обидві частини до квадрату$$x + 5 = 100 - 20\sqrt{x} + x$$Спрощуємо$$x + 5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}5 = 100 - 20\sqrt{x} + x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}5$$Віднімаємо $$x+5$$ від обох частин$$0 = 95 - 20\sqrt{x}$$СпрощуємоОтримане рівняння знову містить значок кореня. Повторюємо кроки 1 та 2. Залишаємо доданок з коренем на самоті в лівій частині рівняння. Потім підносимо обидві частини рівняння до квадрату і спрощуємо:$$0 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}2\color{#1570bd}0\sqrt{\color{#1570bd}x} = 95 - 20\sqrt{x} \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}2\color{#1570bd}0\sqrt{\color{#1570bd}x}$$Додаємо $$20\sqrt{x}$$ до обох частин$$20\sqrt{x} = 95$$Спрощуємо$$\dfrac{20}{\color{#1570bd}2\color{#1570bd}0}\sqrt{x} = \dfrac{95}{\color{#1570bd}2\color{#1570bd}0}$$Ділимо обидві частини на $$20$$$$\sqrt{x} = \dfrac{19}{4}$$Спрощуємо$$\color{#1570bd}(\sqrt{x}\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2 = \color{#1570bd}(\dfrac{19}{4}\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2$$Підносимо обидві частини до квадрату$$x = \dfrac{361}{16}$$СпрощуємоПеревіримо отриманий розв’язок підстановкою у вихідне рівняння$$3,85(\sqrt{x} + \sqrt{x+5}) \ = \ 38,5$$Вихідне рівняння$$3,85 \left(\sqrt{\dfrac{\color{#1570bd}3\color{#1570bd}6\color{#1570bd}1}{\color{#1570bd}1\color{#1570bd}6}} + \sqrt{\dfrac{\color{#1570bd}3\color{#1570bd}6\color{#1570bd}1}{\color{#1570bd}1\color{#1570bd}6} + 5}\right) = \ ? 38,5$$Підставляємо $$\dfrac{361}{16}$$ замість $$x$$$$\sqrt{\dfrac{\color{#1570bd}3\color{#1570bd}6\color{#1570bd}1}{\color{#1570bd}1\color{#1570bd}6}} + \sqrt{\dfrac{\color{#1570bd}3\color{#1570bd}6\color{#1570bd}1}{\color{#1570bd}1\color{#1570bd}6} + 5} \ = \ ? 10$$$$\dfrac{19}{4} + \sqrt{\dfrac{441}{16}} \ = \ ?10$$$$\dfrac{19}{4} + \dfrac{21}{4} \ = \ ?10$$$$10 \ = \ 10$$ВірноОтже Михайло знаходився на висоті, трошки більшій, ніж $$22,5$$ метри.**Відповідь**: $$22.5$$ метри Перевірка коренів та ОДЗ В попередніх прикладах ми завжди робили перевірку знайдених коренів підстановкою. Це пов’язано з тим, що піднесення рівняння до **парного степеня** спричиняє появу побічних коренів, які, звичайно, треба відсіяти. При піднесенні рівняння до непарного степеня таку підстановку можна не робити. Але інколи рівняння є громіздкими і від перевірки підстановкою стає «дуже болісно». В цих випадках стає в нагоді знаходження ОДЗ рівняння окремо, а потім перевірка знайдених коренів на відповідність допустимим значенням. В квадратних рівняннях може виникнути два типи обмеження ОДЗ, які виникають безпосередньо з визначення арифметичного кореня: * підкореневий вираз не може бути від’ємним * значення кореня не може бути від’ємним З цих двох умов можна скласти систему нерівностей для змінної рівняння, і, розв’язавши її, отримати ОДЗ. Після цього залишається лише перевірити знайдені корені рівняння на відповідність ОДЗ, і підставляти в рівняння вже нічого не треба. Ще раз наголошую, що це стосується лише коренів парного степеня. Для коренів непарного степеня нічого подібного робити не потрібно – просто розв’язати рівняння і все. Приклад Розв’язати рівняння $$\sqrt{10-7x}+\sqrt{3x+5}=5$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Знайдемо область допустимих значень рівняння. Пам’ятаємо, що підкореневі вирази завжди невід’ємні для кореня парного степеня, тому складаємо систему нерівностей:$$\begin{cases} 10-7x\geq0,\\\ 3x+5\geq0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x\leq\dfrac{10}{7},\\\ x\geq-\dfrac{5}{3} \end{cases} \Longleftrightarrow -\dfrac{5}{3}\leq x\leq\dfrac{10}{7}$$ОДЗ готове.Отже, зі знайдених далі розв’язків ми залишимо лише ті, що потрапляють у інтервал $$\left\[-\dfrac{5}{3};\dfrac{10}{7}\right]$$.Тепер розв’язуємо саме рівняння за стандартним алгоритмом:Залишаємо доданок з коренем на самоті в лівій частині рівняння:$$\sqrt{10-7x} + \sqrt{3x+5} = 5$$Вихідне рівняння$$\sqrt{10-7x} + \sqrt{3x+5} \color{#1570bd}- \sqrt{\color{#1570bd}3\color{#1570bd}x\color{#1570bd}+\color{#1570bd}5} = 5 \color{#1570bd}- \sqrt{\color{#1570bd}3\color{#1570bd}x\color{#1570bd}+\color{#1570bd}5}$$Віднімаємо $$\sqrt{3x+5}$$ від обох частин$$\sqrt{10-7x} = 5 - \sqrt{3x+5}$$СпрощуємоПідносимо обидві частини рівняння до квадрату:$$\color{#1570bd}(\sqrt{10-7x}\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2 = \color{#1570bd}(5 - \sqrt{3x+5}\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2$$Підносимо обидві частини до квадрату$$10 - 7x = 25 - 10\sqrt{3x + 5} + 3x + 5$$Спрощуємо$$10 - 7x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}(\color{#1570bd}3\color{#1570bd}x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}3\color{#1570bd}0\color{#1570bd}) = 25 - 10\sqrt{3x + 5} + 3x + 5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}(\color{#1570bd}3\color{#1570bd}x\color{#1570bd}+\color{#1570bd}3\color{#1570bd}0\color{#1570bd})$$Віднімаємо $$(3x+30)$$від обох частин$$-20 - 10x = -10\sqrt{3x+5}$$СпрощуємоОтримане рівняння знову містить значок кореня. Повторюємо кроки 1 та 2. Залишаємо доданок з коренем на самоті в правій частині рівняння. Потім підносимо обидві частини рівняння до квадрату і спрощуємо:$$\dfrac{-20 - 10x}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}0} = \dfrac{-10\sqrt{3x+5}}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}0}$$Ділимо обидві частини на $$-10$$$$2+x = \sqrt{3x+5}$$Спрощуємо$$\color{#1570bd}(2+x\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2 = \color{#1570bd}(\sqrt{3x+5}\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2$$Підносимо обидві частини до квадрату$$x^2 + 4x + 4 = 3x+5$$Спрощуємо$$x^2 + 4x + 4 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}3\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}5 = 3x+5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}3\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}5$$Віднімаємо $$(3x+5)$$ від обох частин$$x^2 + x - 1 = 0$$Спрощуємо$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5, \\\ x\_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$Шукаємо дискримінант\ та корені рівнянняТепер перевіряємо корені на відповідність ОДЗ замість підстановки. Для цього потрібно прикинути значення коренів. Квадратний корінь з $$5$$ – ірраціональне число. Ми точно знаємо, що воно лежить між $$2$$ і $$3$$, бо $$2^2=4$$, а $$3^2=9$$, при чому набагато ближче до $$2$$. Візьмемо приблизно $$2,2$$:$$x\_1 \approx \dfrac{-1-2,2}{2}=-1,6,$$$$x\_2 \approx \dfrac{-1+2,2}{2}=0,6.$$За ОДЗ корені мусять лежати приблизно в межах від $$-1,66$$ до $$1,4$$. Наші обидва знайдені значення потрапляють у дозволений інтервал, тому є коренями вихідного рівняння.**Відповідь:** $$x\_{1,2} = \dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$$. # Ірраціональні нерівності Раніше, коли ми розглядали ірраціональні рівняння, ми користувались основним методом – методом відокремлення кореня. При цьому ми підносили рівняння до певного степеня, завдяки чому ірраціональність зникала з однієї сторони рівності. З нерівностями все дуже схоже, тільки трошки більше нюансів. Розпочнемо, звичайно, з простого випадку – квадратних коренів. Визначення **Ірраціональна нерівність** — це нерівність, що містить змінну під знаком кореня або в дробовому степені. Наприклад: $$\sqrt{2x}-4>x+5$$, $$2-\sqrt{x+1}\leq x$$, $$x^{\frac{3}{4}}+x^{\frac{1}{2}} # Метод відокремлення кореня Спробуємо застосувати **метод відокремлення кореня** для нерівності $$2x+\sqrt{4x^2-1}>3.$$ Спочатку залишаємо доданок з коренем на самоті в лівій частині рівняння: | $$2x+\sqrt{4x^2-1}>3$$ | Вихідна нерівність | | ---------------------------------------------- | --------------------------------- | | $$2x+\sqrt{4x^2-1}$$ $$-2x$$ $$\gt 3$$ $$-2x$$ | Віднімаємо $$2x$$ від обох частин | | $$\sqrt{4x^2-1}>3-2x$$ | Спрощуємо | Поглянемо на отриману нерівність $$\sqrt{4x^2-1}>3-2x$$. За визначенням арифметичного кореня підкореневий вираз та значення кореня є завжди невід’ємними. Тоді область допустимих значень буде визначатись ось такою системою: $$\begin{cases} 4x^2-1\geq0,\\\ 3-2x\geq0. \end{cases}$$ Точно так само, як і в рівняннях, ми тепер можемо підносити обидві частини до квадрата, і в результаті отримаємо систему з трьох нерівностей: $$\begin{cases} 4x^2-1\geq0,\\\ 3-2x\geq0,\\\ (\sqrt{4x^2-1})^2>(3-2x)^2. \end{cases}$$ Остання нерівність спрощується до $$4x^2-1>(3-2x)^2$$. З властивостей парного степеня (див. [Лекцію 3](https://study.ed-era.com/courses/EdEra/m102/M102/courseware/a1d5d759fc724c8fbc07068c8ba57912/9194da7f20984aeb9b55d6f314afa615/)) ми знаємо, що число у парному степені завжди невід’ємне.\ Тому $$4x^2-1>(3-2x)^2\geq0$$. Умова з першої нерівності системи автоматично міститься у третій, тому її можна забрати: $$\begin{cases} 3-2x\geq0,\\\ 4x^2-1>(3-2x)^2. \end{cases}$$ Далі ця система рівнянь розв’язується легко і швидко (див. [Лекцію 9](https://study.ed-era.com/courses/EdEra/m102/M102/courseware/54554820f4534ac6a104d66974169b0a/f822671bcc834b78a597f9fd0112c324/)).\ Розв’язуємо кожну з нерівностей окремо: | $$\begin{eqnarray} 3-2x &\geq& 0 \nonumber\\\ -2x &\geq& -3 \nonumber\\\ x &\leq& \dfrac{3}{2} \nonumber \end{eqnarray}$$ | $$\begin{eqnarray} 4x^2-1 &>& (3-2x)^2 \nonumber\\\ 4x^2-1 &>& 9-12x+4x^2\nonumber\\\ 12x &>& 10 \nonumber\\\ x &>& \dfrac{5}{6} \end{eqnarray}$$ | | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | Зобразимо ці розв’язки на числовій прямій: /*Картинка з інтервалами*/ В результаті перетину двох множин розв’язків отримаємо $$x \in \left(\dfrac{5}{6};\dfrac{3}{2}\right].$$ Але існує ще **один випадок (!)** який ми не розглянули, де можуть міститися розв’язки системи. Ми виходили з припущення про те, що значення кореня є невід’ємним, так з’явилась нерівність $$3-2x\geq0$$. А що ж буде з нерівністю, якщо вираз $$3-2x$$ буде від’ємним? З’ясуймо це. Значення кореня $$\sqrt{4x^2-1}$$ за визначенням є завжди невід’ємним. Тому якщо праворуч стоїть від’ємний вираз, нерівність все одно справдиться, бо значення кореня завжди більше від будь-якого від’ємного числа: $$\sqrt{4x^2-1}\geq0>3-2x.$$ Якщо ж поглянути на нерівність $$\sqrt{4x^2-1}\geq0,$$ то вона справджується за будь-яких значень, коли підкореневий вираз задовольняє ОДЗ: $$4x^2-1\geq0.$$ В результаті маємо систему нерівностей: $$\begin{cases} 3-2x Розв’язуємо кожну з нерівностей окремо: | $$\begin{eqnarray} 3-2x && \dfrac{3}{2} \nonumber \end{eqnarray}$$ | $$\begin{eqnarray} 4x^2-1 &\geq& 0 \nonumber\\\ 4x^2-1 &\geq& 0 \nonumber\\\ (x-\dfrac{1}{2})(x+\dfrac{1}{2}) &\geq& 0 \nonumber\\\ x \geq \dfrac{1}{2} \cup x &\leq& -\dfrac{1}{2} \end{eqnarray}$$ | | ------------------------------------------------------------------ | ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | Зобразимо ці розв’язки на числовій прямій: /*Картинка з інтервалами*/ В результаті перетину двох множин розв'язків маємо $$x \in \left(\dfrac{3}{2};\infty\right).$$ Розглянувши два випадки, ми отримали дві множини розв’язків: $$x \in \left(\dfrac{5}{6};\dfrac{3}{2}\right]$$ та $$x \in \left(\dfrac{3}{2};\infty\right).$$ Після об’єднання отримуємо відповідь. /*Картинка з інтервалами*/ **Вiдповiдь.** $$x \in \left(\dfrac{5}{6};\infty\right).$$ Тепер давайте розглянемо нерівність: $$\sqrt{5-4x+x^2}< x+8.$$ Застосуємо метод відокремлення кореня. За визначенням арифметичного кореня підкореневий вираз та значення кореня є завжди невід’ємними. Через останню умову вираз в правій частині повинен бути додатним (нулем він бути не може, бо нерівність є строгою). Тоді область допустимих значень буде визначатись ось такою системою: $$\begin{cases} 5-4x+x^2\geq0,\\\ x+8>0. \end{cases}$$ Точно так само, як і в рівняннях ми тепер можемо підносити обидві частини до квадрата, і в результаті отримаємо систему з трьох нерівностей: $$\begin{cases} 5-4x+x^2\geq0,\\\ x+8>0,\\\ 5-4x+x^2 Розв’яжемо кожну з нерівностей окремо. Спочатку першу: $$5-4x+x^2\geq0.$$ Знайдемо дискримінант квадратного рівняння: $$D=(-4)^2-4⋅5⋅1=16-20=-4Дискримінант від’ємний – рівняння не має коренів. З урахуванням того, що коефіцієнт при $$x^2$$ додатний, ця нерівність справджуватиметься завжди. Продовжуємо розв’язувати другу та третю нерівності: $$\begin{eqnarray} x+8 &>& 0 \nonumber\\\ x &>& -8 \nonumber \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} 5-4x+x^2 && -\dfrac{59}{20} \end{eqnarray}$$ Зобразимо ці розв’язки на числовій прямій: /\*Картинка з інтервалами\*/Знаходимо перетин множин розв’язків та отримуємо відповідь. **Вiдповiдь.** $$x \in \left(-\dfrac{59}{20};\infty\right).$$ Наостанку, спробуємо розв’язати нерівність з кубічним коренем: $$x+\sqrt\[3]{3x^2-3x-7}>1.$$ Починаємо відокремлювати корінь: | $$x+\sqrt\[3]{3x^2-3x-7}>1$$ | Вихідна нерівність | | ------------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------------------------------------- | | $$x+\sqrt\[3]{3x^2-3x-7}\color{#0F5180}{-x}>1\color{#0F5180}{-x}$$ | Віднімаємо $$x$$ від обох частин | | $$\sqrt\[3]{3x^2-3x-7}>1-x$$ | Спрощуємо | | $$(\sqrt\[3]{3x^2-3x-7})^3>(1-x)^3$$ | Підносимо до куба обидві частини. Ніяких обмежень ОДЗ немає, бо це корінь непарного степеня | | $$3x^2-3x-7>1-3x+3x^2-x^3$$ | Спрощуємо | | $$x^3-8>0$$ | Збираємо всі доданки в лівій частині нерівності та спрощуємо | Розв’яжемо отриману нерівність методом інтервалів. Шукаємо нулі функції $$P(x)=x^3-8,$$ для цього розв'яжемо кубічне рівняння $$x^3-8=0$$\ (див. [Лекцію 7](https://study.ed-era.com/courses/EdEra/m102/M102/courseware/fd401ba328cc459681b42723a51edd78/ca62c80e92cf4c329e3fe0d34a5ddb29/)). Можливими коренями можуть бути дільники вільного доданка $$-8:$$ $$±1,±2,±4,±8.$$ Згадаємо теорему Безу, та по черзі підставимо можливі значення кореня в рівняння. Таким коренем буде $$x=2.$$ Тепер за схемою Горнера розділимо $$x^3-8$$ на $$x+2.$$ Для цього запишемо табличку з коефіцієнтами. Перший коефіцієнт копіюємо: | | $$1$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$-8$$ | $$-2$$ | $$1$$ | | | | | - | ----- | ----- | ----- | ------ | ------ | ----- | - | - | - | І починаємо заповнювати табличку за правилом: крайнє справа число множиться на $$-2$$ та додається до числа, що стоїть над порожньою клітинкою: | | $$1$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$-8$$ | $$2$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$4$$ | $$0$$ | | - | ----- | ----- | ----- | ------ | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | В результаті ми отримали розклад на множники багаточлена $$x^3-8=(x-2)(x^2-2x+4).$$ Спробуємо тепер знайти розв’язки рівняння $$x^2-2x+4=0.$$ Шукаємо дискримінант $$D=(-2)^2-4⋅1⋅4=4-16=-12<0$$ – отже, рівняння коренів не має. Отже, функція $$x^3-8$$ має єдиний нуль у точці $$x=2.$$ Відкладемо це значення на числовій осі та шукаємо знак функції на правому інтервалі $$(2;∞).$$ /*Картинка з інтервалами*/ Беремо наше тестове значення $$\color{#0F5181}{\textit{мільярд}}$$. $$P(\color{#0F5181}{\textit{мільярд}}) = (\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}}-2}\_{>\thinspace\mbox{0}}) \\, (\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}^2}-2⋅\color{#0F5181}{\textit{мільярд}}+4}\_{>\thinspace\mbox{0}}) \\, >0$$ /*Картинка з інтервалами*/ Обидва множники додатні, функція на цьому інтервалі має додатний знак. На іншому інтервалі буде, відповідно, протилежний знак. Отже, відповіддю буде інтервал $$x \in \left(2;\infty\right).$$ /*Картинка з інтервалами*/ **Вiдповiдь.** $$x \in \left(2;\infty\right).$$ Рівносильні переходи Тепер трошки поговоримо про рівносильні переходи – те, що ми використуємо під час розв’язку будь-яких нерівностей. Узагальнимо наш метод розв’язку з попереднього прикладу. Для ірраціональних нерівностей парного степеня вигляду$$\sqrt\[2k]{f(x)}>g(x)$$ справедливий рівносильний перехід:$$\sqrt\[2k]{f(x)}>g(x)\Longleftrightarrow\quad \left\[\begin{gathered} \quad \begin{cases} g (x)\geq0,\\\ f (x)>g^{2k}(x), \end{cases}\\\ \quad \begin{cases} g (x)$$\sqrt\[2k]{f(x)}$$\sqrt\[2k]{f(x)}0,\\\ f(x)$$\sqrt\[2k]{f(x)}>\sqrt\[2k]{g(x)}$$ справедливий рівносильний перехід:$$\sqrt\[2k]{f(x)}>\sqrt\[2k]{g(x)}\Longleftrightarrow\quad \quad \begin{cases} g (x)>0,\\\ f(x)>g(x). \end{cases}\\\ $$ Для ірраціональних нерівностей непарного степеня ніяких обмежень ОДЗ наявність ірраціональності не додає, тому можна користуватись рівносильними переходами: $$\sqrt\[2k+1]{f(x)}≶g(x)\Longleftrightarrow\quad f(x)≶g^{2k+1}(x).$$ Ці види рівносильних переходів краще не запам’ятовувати за формою, а зрозуміти як вони з’явились – і тоді їх можна буде вивести самостійно – як ми це зробили у трьох прикладах вище. Закріпимо описану концепцію в пам’яті декількома прикладами. Приклад **Розв’язати нерівність $$\sqrt{16-x^2}\geq4-x.$$** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.** Скористаємось рівносильним переходом:$$\sqrt\[2k]{f(x)}\geq g(x)\Longleftrightarrow\quad \left\[\begin{gathered} \quad \begin{cases} g (x)\geq0,\\\ f (x)\geq g^{2k}(x), \end{cases}\\\ \quad \begin{cases} g (x) Тоді нерівність перетвориться на таку систему нерівностей:$$\sqrt{16-x^2}\geq 4-x\Longleftrightarrow\quad \left\[\begin{gathered} \quad \begin{cases} 4-x\geq0,\\\ 16-x^2\geq (4-x)^2, \end{cases}\\\ \quad \begin{cases} 4-x Розглянемо кожну з двох систем нерівностей окремо, а потім об’єднаємо їхні розв’язки.Почнемо з першої системи $$\quad \begin{cases} 4-x\geq0,\\\ 16-x^2\geq (4-x)^2, \end{cases}$$ де є дві нерівності, що розв’язуються таким чином: $$\begin{eqnarray} 4-x &\geq& 0 \nonumber\\\ 4 &\geq& x \nonumber \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} 16-x^2 &\geq& (4-x)^2 \nonumber\\\ 16-x^2-(4-x)^2 &\geq& 0 \nonumber\\\ 16-x^2-(16-8x+x^2) &\geq& 0 \nonumber\\\ 16-x^2-16+8x-x^2 &\geq& 0 \nonumber\\\ -2x^2+8x &\geq& 0 \nonumber\\\ x^2-4x &\leq& 0 \nonumber\\\ x(x-4) &\leq& 0 \nonumber\\\ 0 &\leq& x \leq 4\nonumber \end{eqnarray}$$Тепер зобразимо ці два розв’язки на числовій прямій та шукаємо їхній перетин: /\*Картинка з інтервалами\*/Отримали розв’язок $$x \in \left\[0;4\right].$$ Тепер розв’язуємо другу систему $$\quad \begin{cases} 4-x $$\begin{eqnarray} 4-x & $$\begin{eqnarray} 16-x^2 &\geq& 0 \nonumber\\\ x^2-16 &\leq& 0 \nonumber\\\ (x-4)(x+4) &\leq& 0 \nonumber\\\ -4 &\leq& x \leq 4\nonumber \end{eqnarray}$$Тепер зобразимо ці два розв’язки на числовій прямій та шукаємо їхній перетин: /\*Картинка з інтервалами\*/Ці інтервали не перетинаються, ми отримали порожню множину $$x \in ∅$$.Об’єднавши розв’язки двох систем, отримаємо відповідь: /\*Картинка з інтервалами\*/**Вiдповiдь.** $$x \in \left\[0;4\right].$$ Приклад **Розв’язати нерівність $$\sqrt{3x-2}\leq3(2x-1).$$** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.** Скористаємось рівносильним переходом$$\sqrt\[2k]{f(x)} 0,\\\ f (x) Тоді нерівність перетвориться на таку систему нерівностей:$$\sqrt{3x-2}\leq3(2x-1)\Longleftrightarrow\ \quad \begin{cases} 3x-2\geq0,\\\ 3(2x-1)\geq0,\\\ 3x-2\leq9(2x-1)^2. \end{cases}$$ Розглянемо кожну з нерівностей окремо, а потім знайдемо перетин їхніх розв’язків. Перша нерівність системи перетворюється на $$x\geq\dfrac{2}{3}$$. Розглянемо окремо другу і третю нерівності: $$\begin{eqnarray} 3(2x-1) &\geq& 0 \nonumber\\\ 2x-1 &\geq& 0 \nonumber\\\ x &\geq& \dfrac{1}{2} \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} 3x-2 &\leq& 9(2x-1)^2 \nonumber\\\ 3x-2 &\leq& 9(4x^2-4x+1) \nonumber\\\ 3x-2-36x^2+36x-9 &\leq& 0 \nonumber\\\ 36x^2-39x+11 &\geq& 0 \nonumber\\\ 12x^2-13x+1 &\geq& 0 \nonumber\\\ D=(-39)^2-4⋅36⋅11=-63\nonumber\\\ x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$$Тепер зобразимо всі розв’язки на числовій прямій та шукаємо їхній перетин: /\*Картинка з інтервалами\*/Отримали розв’язок $$x \in \left\[\dfrac{2}{3};\infty\right).$$**Вiдповiдь.** $$x \in \left\[\dfrac{2}{3};\infty\right).$$ # Методологiя розв’язання в залежностi вiд парності/непарностi степеня кореня # Метод iнтервалiв для iррацiональних нерiвностей Для розв’язку багатьох видів нерівностей зручніше за все користуватись методом інтервалів. Ірраціональні нерівності не виняток. Звичайно, для кожного виду нерівностей цей метод дещо видозмінюється, але основна концепція залишається такою ж самою. Алгоритм **Метод інтервалів** * Виразити нерівність у вигляді $$f(x)>0$$ або $$f(x) Знайти ОДЗ функції $$f(x)$$ та зобразити її на числовій прямій. Розв’язати рівняння $$f(x)=0$$, знайшовши **граничні точки**. Зобразити граничні точки на числовій прямій, розбивши її на інтервали (в рамках ОДЗ). Знайти знаки функції $$f(x)$$на кожному інтервалі. Обрати ті інтервали, на яких знаки $$f(x)$$ задовольняють вихідну нерівність. Приклад **Розв’язати нерівність $$\sqrt{x-1}>\sqrt{x-2}+\sqrt{3-x}.$$** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.** Дотримуємось алгоритму, описаного вище.Зводимо нерівність до стандартного вигляду $$f(x)>0$$:$$\sqrt{x-1}>\sqrt{x-2}+\sqrt{3-x}\Longleftrightarrow\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2}-\sqrt{3-x}>0.$$Шукаємо ОДЗ функції в лівій частині нерівності. Пам’ятаємо, що для квадратного кореня підкореневий вираз завжди невід’ємний:$$\begin{cases} x-1\geq0,\\\ x-2\geq0,\\\ 3-x\geq0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x\geq1,\\\ x\geq2,\\\ x\leq3 \end{cases}$$ Зобразимо тепер чотири інтервали на числовій прямій, знайдемо їхній перетин і отримаємо ОДЗ:/\*Картинка з інтервалами\*/ Таким чином ОДЗ: $$x \in \left\[2;3\right].$$Розв’яжемо рівняння $$f(x)=0$$:$$\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2}-\sqrt{3-x}=0.$$ Це – ірраціональне рівняння, тому скористаємось методом відокремлення квадратного кореня:$$\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2}-\sqrt{3-x}=0$$Вихідне рівняння$$\sqrt{x-1}=\sqrt{x-2}+\sqrt{3-x}=0$$В лівій частині залишаємо тільки доданок $$\sqrt{x-1}$$$$($$$$\sqrt{x-1}$$$$)^2$$=$$($$$$\sqrt{x-2}$$$$)^2$$$$+$$$$2\cdot($$$$\sqrt{x-2}$$$$)($$$$\sqrt{3-x}$$$$)$$$$+$$$$($$$$\sqrt{3-x}$$$$)^2$$Підносимо до квадрата обидві частини$$x-1=x-2+2\sqrt{(x-2)(3-x)}+3-x$$Спрощуємо$$x-1=2\sqrt(x-2)(3-x)+1$$Спрощуємо Знову отримали ірраціональне рівняння, застосовуємо метод відокремлення квадратного кореня:$$2\sqrt{(x-2)(3-x)}=x-2$$В лівій частині залишаємо тільки доданок $$2\sqrt{(x-2)(3-x)}$$$$($$$$2\sqrt{(x-2)(3-x)}$$$$)^2$$$$=$$$$($$$$x-2$$$$)^2$$Підносимо до квадрата обидві частини$$4(x-2)(3-x)=x^2-4x+4$$Спрощуємо$$-4x^2+20x-24=x^2-4x+4$$Спрощуємо$$-5x^2+24x-28=0$$Збираємо всі доданки в лівій частині$$D=24^2-4\cdot(-5)\cdot(-28)=16$$Шукаємо дискримінант$$x\_{1,2}=\dfrac{-24±\sqrt{16}}{2\cdot(-5)}\Longleftrightarrow\quad \left\[ \begin{array}{} x\_1 = 2, \\\ x\_2 = \dfrac{14}{5} \end{array} \right.$$Знаходимо корені рівняння Отже граничні точки: $$2$$; $$\dfrac{14}{5}.$$ Зобразимо їх на числовій прямій./\*Картинка з інтервалами\*/ Шукаємо знак функції на правому інтервалі $$\left(\dfrac{14}{5};3\right].$$ Нашим улюбленим «мільярдом» вже користуватись не можна (не входить в ОДЗ), візьмемо якусь точку з інтервалу,\ наприклад $$\dfrac{29}{10}.$$$$f(\dfrac{29}{10})=\sqrt{\dfrac{29}{10}-1}-\sqrt{\dfrac{29}{10}-2}-\sqrt{3-\dfrac{29}{10}}=\sqrt{1.9}-\sqrt{0.9}-\sqrt{0.1}>0$$ Функція на цьому інтервалі має додатний знак:/\*Картинка з інтервалами\*/ Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалах справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:/\*Картинка з інтервалами\*/ Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $$f(x)>0.$$\ Таким є інтервал $$\left(\dfrac{14}{5};3\right].$$ Отже, $$x \in \left(\dfrac{14}{5};3\right].$$**Вiдповiдь.** $$x \in \left(\dfrac{14}{5};3\right].$$ # Нерiвностi з параметрами # Показникові рівняння * \[Вік Землі та скам’янілостей]\(vk\_zeml\_ta\_skamyanlostei.md) * \[Показникові рівняння]\(pokaznikovi\_rvnyannya.md) * \[Показникові нерівності]\(pokaznikovi\_nervnosti.md) * \[Степенево-показникові рівняння]\(stepenevo-pokaznikovi\_rvnyannya.md) # Вік Землі та скам’янілостей Зараз майже кожен школяр знає, що приблизний вік Землі складає близько 4,5 мільярдів років. Але це не завжди було так. Так само, як колись думали, що Земля є плоскою, існували різні гіпотези стосовно віку Землі. Михайло Ломоносов казав, що Землі близько 75000 років, Лорд Кельвін припускав, що Земля набагато старша – від 20 до 400 мільйонів років. І чим далі розвивалася наука, тим сміливішими були ці припущення.\ Врешті-решт на початку 20 сторіччя Ернест Резерфорд разом зі своїм учнем Фредериком Содді відкрили закон радіоактивного розпаду, що дозволив досить точно визначити вік Землі і різноманітних скам’янілостей та копалин. ![](https://github.com/edera/ederabookmath/tree/0feebf02ff3805aba85a5b70e74bfe17c5d38cf9/Ernest_Rutherford_LOC.jpg) Резерфорд помітив, що ядра радіоактивних елементів розпадаються зі сталою швидкістю – так він сформулював концепцію напіврозпаду. Зараз ця концепція лежить в основі радіоізотопного датування – набору методів, якими користуються для визначення віку копалин біологічного походження або навіть віку Землі. Поясню детальніше, як це працює на прикладі методу радіовуглецевого аналізу. Основою всіх біологічних організмів є вуглець. Він існує у вигляді трьох ізотопів: двох стабільних $$^{12}C$$ та $$^{13}C$$, а також радіоактивного $$^{14}C$$. Через те, що в живих організмах постійно йде обмін речовин (наприклад фотосинтез для рослин або поїдання тваринами рослин), співвідношення кількості ізотопів в атмосфері і всередині живих організмів однакове. Як тільки організм гине, обмін вуглецем припиняється, стабільні ізотопи вуглецю залишаються в організмі, а радіоактивний $$^{14}C$$ – розпадається. Знаючи вихідне співвідношення ізотопів вуглецю в організмі та їх поточне співвідношення – можна визначити, скільки пройшло часу з моменту загибелі організму.\ Період напіврозпаду вуглецю $$^{14}C$$ складає 5730 років. Це означає, що якщо ми маємо 1 кг вуглецю $$^{14}C$$, то за 5730 років від нього залишиться лише півкілограма. Ще за 5730 років – чвертькіло, і так далі. /\*Картинка\*/ Звідси можна записати таку залежність: $$N=N\_0\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{5730}},$$ де $$N$$ – поточна кількість вуглецю, $$N\_0$$ – вихідна кількість вуглецю, $$t$$ – кількість років, що пройшла. ![](https://github.com/edera/ederabookmath/tree/0feebf02ff3805aba85a5b70e74bfe17c5d38cf9/91.jpg) В загальному випадку закон напіврозпаду можна записати у такому вигляді: $$N=N\_0\cdot2^{-\dfrac{t}{T\_{0.5}}}$$, де $$T\_{0,5}$$ – період напіврозпаду.\ Інший запис цього закону через експоненту: $$N=N\_0\cdot e^{(-λt)}$$. Тут 𝜆 – швидкість розпаду речовини.\ Саме тому в Ґордона Фрімена на костюмі намальована грецька літера лямбда: англійською напіврозпад перекладається як “half-life”. /\*Картинка\*/ Розгляньмо такий приклад: до лабораторії потрапив зразок античної рослини, вік якої потрібно визначити. Після декількох дослідів з’ясувалося, що в матеріалі рослини, на один атом вуглецю, $$^{14}{C}$$ припадає $$1.18\cdot10^{16}$$атомів $$^{12}C$$, тоді як співвідношення між цими ізотопами в атмосфері складає $$1: 1.35\cdot10^{12}$$. Для того, щоб дізнатись вік вуглецю потрібно знайти, у скільки разів змінилася кількість радіоактивного ізотопу вуглецю, та розв’язати рівняння напіврозпаду: $$N=N\_0\cdot2^{-\dfrac{t}{5730}}$$. З умови знаходимо відношення кількостей вуглецю: $$\dfrac{N}{N^{}\_{0}}= \dfrac{1.35\cdot10^{12}}{1.18 \cdot10^{16}}=1.144\cdot10^{-4}.$$ Тоді рівняння набуде вигляду: $$1.144\cdot10^{-4}=2^\dfrac{-t}{5730}.$$\ Тепер прологарифмуймо за основою 2 обидві частини рівняння: $$log^{}*{2} (1.144\cdot10^{−4}) = log^{}*{2}2^\dfrac{-t}{5730}.$$\ За властивістю логарифму виписуємо показник степеня підлогарифмічного виразу перед логарифмом та позбуваємося від логарифма числа за його ж основою: $$log^{}*{2}2^{-\dfrac{t}{5730}} = \left(-\dfrac{t}{5730}\right)\cdot log^{}*{2}2=-\dfrac{t}{5730}\cdot1.$$ Тепер маємо звичайне лінійне рівняння: $$log^{}\_{2}1.144\cdot10^{-4}=-\dfrac{t}{5730}.$$ Звідки $$t \approx 75000$$. Отже, знайденій рослині приблизно 75000 років. Поки ми з вами шукали вік скам’янілої рослини, ми розв’язали найпростіше показникове рівняння. # Показникові рівняння Визначення **Показникове рівняння** — це рівняння, що містить змінну в показнику степеня. Наприклад: $$2^𝑥 = 4$$; $$3^{(𝑥−8)} = 5^𝑥$$; $$(2 − 𝑥)^{3𝑥} = 6^𝑥.$$ Дуже часто використовують **метод зведення до однієї основи**. Розпочнемо з простого рівняння: $$ 5^{𝑥−1} = 125$$. Якщо уважно подивитись, то праву частину можна переписати у вигляді $$ 5^3: 5^{𝑥−1} = 5^3$$. Тепер, як ми звели всі доданки до однієї основи можна скористатись таким правилом: два степеневих вирази рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхні основи та показники степеня. Основи вже є однаковими, тому можна записати рівність показників степеня: $$𝑥 − 1 = 3,$$ звідки знаходимо $$x = 4.$$ Поглянемо на інше рівняння: $$9^{3𝑥−7} =\sqrt{13}.$$ Це рівняння можна звести до спільної основи $$3$$. Рівняння можна переписати як $$ 3^{2(3𝑥−7)} = 3^{−1}$$. В результаті все спрощується за таким самим принципом, прирівнюємо показники степеня виразів з однаковими основами: $$ 2(3𝑥 − 7) = −1 \Longleftrightarrow 3𝑥 − 7 =-\dfrac {1}{2}.$$ Звідки дістаємо відповідь $$x = \dfrac{13}{6}$$. Загальний принцип розв’язання показникових рівнянь полягає в **логарифмуванні** (див. [Лекцію 5](https://study.ed-era.com/courses/EdEra/m102/M102/courseware/39ab5698abc64e859b629b9006c8a7cd/5992a8a56dbc4832a0e8a913fe62158d)) обох частин рівняння. Основу обирають такою, аби позбутися змінної в показнику степеня. Приклад **Розв’язати рівняння $$2^{4x-3} = 5^x.$$** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок** Звести до однієї основи тут не вийде, тому застосовуємо логарифмування:$$2^{4x-3} = 5^x$$Вихідне рівняння$$log\_{2}$$$$2^{4𝑥−3} =$$ $$log\_{2}$$$$5^{x}$$Логарифмуємо обидві частини за основою $$2$$$$(4𝑥−3)$$$$log\_{2} 2 =$$$$x$$$$ log\_{2}5$$Виписуємо показник підлогарифмічного виразу$$4𝑥−3 =x log\_{2}5$$Cпрощуємо$$4𝑥$$$$- xlog\_{2}5 $$$$=$$$$3$$Залишаємо всі доданки з $$x$$ в лівій частині$$x$$$$(4- log\_{2}5) = 3$$Виносимо $$x$$ за дужки$$x=\dfrac{3}{4-log\_{2}5}$$Ділимо обидві частини на $$4-log^{2}5$$**Вiдповiдь.** $$x = \dfrac{3}{4-log\_{2}5}.$$ Рівносильний перехід В загальному випадку можна записати такий рівносильний перехід:$$a^{f(x)} = b^{g(x)} \Longleftrightarrow f(x) = g(x)\cdot log\_ab,$$ при цьому потрібно пам’ятати, що $$𝑎 > 0, 𝑎\ne 1, 𝑏 > 0, 𝑏 \ne 1$$, інакше перехід не можна назвати рівносильним і таке рівняння не матиме коренів. Приклад **Розв’язати рівняння $$ 7^{5𝑥−1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4-x}$$.** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.** Звести до однієї основи, тому скористаємось рівносильним переходом:$$ 7^{5𝑥−1} =\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4-x} \Longleftrightarrow 5𝑥 − 1 = (4 − 𝑥)log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}$$$$ 5𝑥 − 1 = (4 − 𝑥)log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}$$Вихідне рівняння$$5𝑥 − 1 = 4log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}-xlog^{}\_{7}\dfrac{1}{2}$$Розкриємо дужки в правій частині рівняння$$5x + xlog^{}\_{7}\dfrac{1}{2}=1+ 4log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}$$Залишаємо всі доданки з 𝑥 в лівій частині$$x\left(5 + log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}\right)=1+ 4log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}$$Виносимо 𝑥 за дужки$$x=\dfrac{1+ 4log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}}{5 + log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}}$$Ділимо обидві частини на $$5+log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}$$**Вiдповiдь.** $$x=\dfrac{1+ 4log^{}\_{7}(\dfrac{1}{2})}{5 + log^{}\_{7}(\dfrac{1}{2})}$$. Разом зі зведенням до спільної основи дуже часто користуються **методом заміни змінної**. Рівняння зводять до спільної основи, яку замінюють на іншу змінну. Далі рівняння вже не є показниковим і легко розв’язується. Приклад **Розв’язати рівняння $$5\cdot9^x+3\cdot25^x=\dfrac{8}{15^{-x}}.$$** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**$$5\cdot9^x+3\cdot25^x=\dfrac{8}{15^{-x}}$$Вихідне рівняння$$5\cdot3^{2x}+3\cdot5^{2x}={8}\cdot{15^{x}}$$ $$5\cdot3^{2x}+3\cdot5^{2x}={8}\cdot3^{x}\cdot5^{x}$$Перепишемо в іншому вигляді$$5\cdot\dfrac{3^{2x}}{5^{2x}}+3\cdot\dfrac{5^{2x}}{5^{2x}}={8}\cdot\dfrac{3^{x}\cdot5^{x}}{5^{2x}}$$Ділимо обидві частини на $$5^{2x}$$$$5\cdot{\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{2x}+3={8}\cdot{\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}$$Спрощуємо$$5t^2+3=8t$$Робимо заміну $${\left(\dfrac{3}{5}\right)}^x=t$$$$5t^2-8t+3=0$$Перепишем всі доданки з однієї сторони$$D={(-8)}^2-4\cdot3\cdot5=4$$$$x^{}\_{1,2}=\dfrac{8 \pm \sqrt{4}}{2\cdot5}=\left\[ \begin{gathered} 1, \hfill \\\ \dfrac{3}{5} \hfill \\\ \end{gathered} \right. $$Розв’язуємо квадратне рівняння$$\left\[ \begin{gathered} {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=1, \hfill \\\ {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=\dfrac{3}{5} \hfill \\\ \end{gathered} \right. $$Повертаємось до попередньої змінної $$\left\[ \begin{gathered} {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^{0}, \hfill \\\ {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^1 \hfill \\\ \end{gathered} \right. $$Зводимо до спільної основи$$x=0,$$$$x=1$$Позбуваємось показника степеня**Вiдповiдь.** $$x = \\{0;1\\}$$. Приклад **Розв’язати рівняння $$4^{\frac{x+2}{2x}}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$$** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**$$4^{\frac{x+2}{2x}}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$$Вихідне рівняння$$2^{\frac{x+2}{x}}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$$ $$2^{\frac{2}{x}+1}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$$ $$2\cdot2^{\frac{2}{x}}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$$Перепишемо в іншому вигляді$$2\cdot t^2-33\cdot t+16=0$$Робимо заміну $$2^{\frac{1}{x}}=t$$$$D=(-33)^2-4\cdot2\cdot16=961$$ $$x\_{1,2}=\dfrac{33\pm\sqrt{961}}{2\cdot2}=\dfrac{33\pm31}{4}= \left\[ \begin{gathered} \dfrac{1}{2}, \hfill \\\ 16 \hfill \\\ \end{gathered} \right. $$Розв’язуємо квадратне рівняння$$\left\[ \begin{gathered} {2}^{\frac{1}{x}}=\dfrac{1}{2}, \hfill \\\ {2}^{\frac{1}{x}}=16 \hfill \\\ \end{gathered} \right.$$Повертаємось до попередньої змінної$$\left\[ \begin{gathered} {2}^{\frac{1}{x}}=2^{-1}, \hfill \\\ {2}^{\frac{1}{x}}=2^4 \hfill \\\ \end{gathered} \right.$$Зводимо до спільної основи$$\left\[ \begin{gathered} \dfrac{1}{x}=-1, \hfill \\\ \dfrac{1}{x}=4 \hfill \\\ \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left\[ \begin{gathered} x=-1, \hfill \\\ x=\dfrac{1}{4} \hfill \\\ \end{gathered} \right.$$Позбуваємось показника степеня та розв’язуємо дробово-раціональні рівняння**Вiдповiдь.** $$x=\left\\{ -1; \dfrac{1}{4} \right \\}$$. # Показникові нерівності Визначення **Показникова нерівність** – це нерівність, що містить змінну в показнику степеня. Наприклад: $$5^{𝑥−1} 3^𝑥 −5^x$$. Під час розв’язання показникових нерівностей користуються тими самими ж методами, що і для рівнянь. Але є одна відмінність. В момент позбавлення від показника степеня знак нерівності буде залежати від основи степеня, за яким відбувається логарифмування: якщо $$a>1$$, знак нерівності залишається таким самим якщо $$0 Приклад **Розв’язати рівняння $$4^{2-x}>7^{2-x}$$.** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**Розділимо обидві частини на $$7^{2-x}$$ та отримаємо $$\left(\dfrac{4}{7}\right)^{2-x}>1$$. Зводимо до спільної основи: $$\left(\dfrac{4}{7}\right)^{2-x}>\left(\dfrac{4}{7}\right)^{0}$$. Через те, що основа $$\dfrac{4}{7}2.$$ /\*Картинка з інтервалами\*/**Вiдповiдь.** $$x > 2.$$ Приклад **Розв’язати рівняння $$5^{6x-1}>2^{\frac{1}{x}}$$.** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок** Розв’язуємо методом логарифмування:$$5^{6x-1}>2^{\frac{1}{x}}$$Вихідна нерівність$$log^{}\_{5}5^{6x-1}>log^{}\_{5}2^{\frac{1}{x}}$$Логарифмуємо за основою 5 обидві частини, $$5>1,$$ тому знак нерівності лишається таким самим$${(6x-1)}log^{}\_{5}5>\dfrac{1}{x}\cdot log^{}\_{5}2$$Виписуємо показники степенів перед логарифми$$6x-1-\dfrac{1}{x}\cdot log^{}\_{5}2>0$$Cпрощуємо та збираємо всі доданки в лівій частині нерівності$$\dfrac{6x^2-x-log^{}\_{5}2}{x}>0$$Зводимо всі доданки до спільного знаменникаОтримали дробово-раціональну нерівність (див. [Лекцію 10](https://study.ed-era.com/courses/EdEra/m102/M102/courseware/54554820f4534ac6a104d66974169b0a/e23c92f0df4b4bd89fd77aad302463ed/)) – розв’язуємо її методом інтервалів.Ми вже маємо нерівність у загальному вигляді $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$.Шукаємо граничні точки, розв’язавши рівняння $$P(x)=0$$ та $$Q(x)=0$$. Зі знаменника дістаємо граничну точку $$x=0$$. Розв’язуємо квадратне рівняння:$$6x^2-x-log^{}\_{5}2=0$$$$D=(-1)^2-4\cdot6\cdot log^{}\_{5}2=1+24\cdot log^{}\_{5}2$$$$x^{}\_{1,2}=\dfrac{1 \pm \sqrt{1+24\cdot log^{}\_{5}2}}{12}.$$Зобразимо ці точки на числовій прямій. /\*Картинка з інтервалами\*/Шукаємо знак функції на правому інтервалі. Підставимо тестове значення $$\color{#0F5181}{\textit{мільярд}}$$:$$\dfrac{P(\color{#0F5181}{\textit{мільярд}})}{Q(\color{#0F5181}{\textit{мільярд}})} = 6\left(\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}}-\dfrac{1-\sqrt{1+24\cdot log^{}\_{5}2}}{12})}\_{>\thinspace\mbox{0}}\right) \\,\cdot $$\ $$ \cdot \left(\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}}-\dfrac{1+\sqrt{1+24\cdot log^{}\_{5}2}}{12})}\_{>\thinspace\mbox{0}}\right) \\, \underbrace{\dfrac{1}{\color{#0F5181}{\textit{мільярд}}}}\_{>\thinspace\mbox{0}} \\, >0$$Всі три множники додатні – функція на цьому інтервалі має додатний знак. Тепер проставляємо знаки на решті інтервалів справа наліво, чергуючи знаки: /\*Картинка з інтервалами\*/За умовою $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$, тому обираємо інтервали, де функція додатна. Такими є інтервали $$\left(\dfrac{1-\sqrt{1+24\cdot log^{}\_{5}2}}{12};0\right)$$ та $$\left(\dfrac{1+\sqrt{1+24\cdot log^{}\_{5}2}}{12};\infty\right).$$**Вiдповiдь.** $$x \in \left(\dfrac{1-\sqrt{1+24\cdot log^{}\_{5}2}}{12};0\right) \cup \left(\dfrac{1+\sqrt{1+24\cdot log^{}\_{5}2}}{12};\infty\right).$$ # Степенево-показникові рівняння Існує ще один вид рівнянь, про які варто поговорити в цій лекції – це степенево-показникові рівняння: вони містять змінну як в основі, так і в показнику степеня. Наприклад: $$x^{2x}=3$$. В загальному вигляді такі рівняння можна записати як $$(f(x))^{g(x)}=(f(x))^n$$ Розв’язок таких рівнянь розбивають на чотири випадки, які розглядаємо окремо: $$g(x)=n$$ при $$f(x)\ne \\{−1;0;1\\};$$ $$f(x)=-1;$$ $$f(x)=0;$$ $$f(x)=1.$$ Після цього потрібно перевірити отримані корені. Приклад **Розв’язати рівняння $$(x^2+4x+4)^{2-3x}=1$$.** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**Зведемо рівняння до загального вигляду: $$(x^2+4x+4)^{2-3x}=(x^2+4x+4)^{0}$$Розглянемо перший випадок:$$(x^2+4x+4)^{2-3x}=(x^2+4x+4)^{0}\Longleftrightarrow 2−3𝑥=0$$ при $$x^2+4x+4\ne\\{−1;0;1\\}$$$$x=\dfrac{2}{3}.$$Перевіримо, щоби при цьому значенні $$x$$ виконувалась умова $$x^2+4x+4\ne\\{−1;0;1\\}$$:$$\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+4\left(\dfrac{2}{3}\right)+4=\dfrac{4}{9}+\dfrac{24}{9}+\dfrac{36}{9}=\dfrac{64}{9}\ne\\{−1;0;1\\}.$$Розв’яжемо рівняння $$x^2+4x+4=-1$$:$$x^2+4x+4=-1\Longleftrightarrow x^2+4x+5=0$$$$D=4^2-4\cdot1\cdot5=-4Дискримінант від’ємний – рівняння не має коренів.Розв’яжемо рівняння $$x^2+4x+4=0$$:$$x^2+4x+4\Longleftrightarrow(x+2)^2=0$$$$x=-2$$ Проте цей корінь ми відкидаємо, $$0^6=0\ne1$$.Розв’яжемо рівняння $$x^2+4x+4=1$$:$$x^2+4x+4=1\Longleftrightarrow x^2+4x+3=0$$$$D=4^2-4\cdot1\cdot3=4>0$$$$x^{}\_{1,2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{4}}{2\cdot1}\Longleftrightarrow$$$$\left\[ \begin{gathered} x=-1, \hfill \\\ x=-3 \hfill \\\ \end{gathered} \right. $$ Перевіряємо: $$1^{2-2(-1)}=1^4=1;1^{2-2(-3)}=1^8=1$$.В результаті ми отримали три корені: $$x \in \left\\{-3;-1;\dfrac{2}{3}\right \\}.$$**Вiдповiдь.** $$x \in \left\\{-3;-1;\dfrac{2}{3}\right \\}.$$ # Зведення до однiєї основи # Показникові рівняння # Винесення множника # Рiвняння особливих видiв # Використання властивостей функцiй (монотонностi) # Показниково - степеневi рiвняння # Рiвняння з параметрами # Системи рівнянь # Показникові нерівності # Властивостi показникової функцiї та класифікація типiв задач # Методи розв’язання окремих типiв задач # Степенево - показниковi нерiвностi # Логарифмічні рівняння # Логарифмiчнi рiвняння # Логарифмування та потенцiювання # Використання логарифмiчних тотожностей для розв’язання окремих типiв задач # Системи рівнянь # Логарифмічні нерівності # Використання властивостей логарифмiв для розв’язання рiзних типiв задач # Замiна змiнної в логарифмiчних нерiвностях # Показниково-логарифмiчнi нерiвностi # Нерiвностi з параметрами