# Показникові рівняння

&#x20;Визначення **Показникове рівняння** — це рівняння, що містить змінну в показнику степеня.

Наприклад: \$$2^𝑥 = 4\$$; \$$3^{(𝑥−8)} = 5^𝑥\$$; \$$(2 − 𝑥)^{3𝑥} = 6^𝑥.\$$

Дуже часто використовують **метод зведення до однієї основи**. Розпочнемо з простого рівняння: \$$ 5^{𝑥−1} = 125\$$. Якщо уважно подивитись, то праву частину можна переписати у вигляді \$$ 5^3: 5^{𝑥−1} = 5^3\$$. Тепер, як ми звели всі доданки до однієї основи можна скористатись таким правилом: два степеневих вирази рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхні основи та показники степеня. Основи вже є однаковими, тому можна записати рівність показників степеня: \$$𝑥 − 1 = 3,\$$ звідки знаходимо \$$x = 4.\$$

Поглянемо на інше рівняння: \$$9^{3𝑥−7} =\sqrt{13}.\$$ Це рівняння можна звести до спільної основи \$$3\$$. Рівняння можна переписати як \$$ 3^{2(3𝑥−7)} = 3^{−1}\$$. В результаті все спрощується за таким самим принципом, прирівнюємо показники степеня виразів з однаковими основами: \$$ 2(3𝑥 − 7) = −1 \Longleftrightarrow 3𝑥 − 7 =-\dfrac {1}{2}.\$$ Звідки дістаємо відповідь \$$x = \dfrac{13}{6}\$$. Загальний принцип розв’язання показникових рівнянь полягає в **логарифмуванні** (див. [Лекцію 5](https://study.ed-era.com/courses/EdEra/m102/M102/courseware/39ab5698abc64e859b629b9006c8a7cd/5992a8a56dbc4832a0e8a913fe62158d)) обох частин рівняння. Основу обирають такою, аби позбутися змінної в показнику степеня. Приклад **Розв’язати рівняння \$$2^{4x-3} = 5^x.\$$** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок** Звести до однієї основи тут не вийде, тому застосовуємо логарифмування:\$$2^{4x-3} = 5^x\$$Вихідне рівняння\$$log\_{2}\$$\$$2^{4𝑥−3} =\$$ \$$log\_{2}\$$\$$5^{x}\$$Логарифмуємо обидві частини за основою \$$2\$$\$$(4𝑥−3)\$$\$$log\_{2} 2 =\$$\$$x\$$\$$ log\_{2}5\$$Виписуємо показник підлогарифмічного виразу\$$4𝑥−3 =x log\_{2}5\$$Cпрощуємо\$$4𝑥\$$\$$- xlog\_{2}5 \$$\$$=\$$\$$3\$$Залишаємо всі доданки з \$$x\$$ в лівій частині\$$x\$$\$$(4- log\_{2}5) = 3\$$Виносимо \$$x\$$ за дужки\$$x=\dfrac{3}{4-log\_{2}5}\$$Ділимо обидві частини на \$$4-log^{2}5\$$**Вiдповiдь.** \$$x = \dfrac{3}{4-log\_{2}5}.\$$ Рівносильний перехід В загальному випадку можна записати такий рівносильний перехід:\$$a^{f(x)} = b^{g(x)} \Longleftrightarrow f(x) = g(x)\cdot log\_ab,\$$ при цьому потрібно пам’ятати, що \$$𝑎 > 0, 𝑎\ne 1, 𝑏 > 0, 𝑏 \ne 1\$$, інакше перехід не можна назвати рівносильним і таке рівняння не матиме коренів. Приклад **Розв’язати рівняння \$$ 7^{5𝑥−1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4-x}\$$.** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.** Звести до однієї основи, тому скористаємось рівносильним переходом:\$$ 7^{5𝑥−1} =\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4-x} \Longleftrightarrow 5𝑥 − 1 = (4 − 𝑥)log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}\$$\$$ 5𝑥 − 1 = (4 − 𝑥)log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}\$$Вихідне рівняння\$$5𝑥 − 1 = 4log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}-xlog^{}\_{7}\dfrac{1}{2}\$$Розкриємо дужки в правій частині рівняння\$$5x + xlog^{}\_{7}\dfrac{1}{2}=1+ 4log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}\$$Залишаємо всі доданки з 𝑥 в лівій частині\$$x\left(5 + log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}\right)=1+ 4log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}\$$Виносимо 𝑥 за дужки\$$x=\dfrac{1+ 4log^{}\_{7}\dfrac{1}{2\}}{5 + log^{}\_{7}\dfrac{1}{2\}}\$$Ділимо обидві частини на \$$5+log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}\$$**Вiдповiдь.** \$$x=\dfrac{1+ 4log^{}\_{7}(\dfrac{1}{2})}{5 + log^{}\_{7}(\dfrac{1}{2})}\$$.

Разом зі зведенням до спільної основи дуже часто користуються **методом заміни змінної**. Рівняння зводять до спільної основи, яку замінюють на іншу змінну. Далі рівняння вже не є показниковим і легко розв’язується.

&#x20;Приклад **Розв’язати рівняння \$$5\cdot9^x+3\cdot25^x=\dfrac{8}{15^{-x\}}.\$$**

&#x20;Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**\$$5\cdot9^x+3\cdot25^x=\dfrac{8}{15^{-x\}}\$$Вихідне рівняння\$$5\cdot3^{2x}+3\cdot5^{2x}={8}\cdot{15^{x\}}\$$ \$$5\cdot3^{2x}+3\cdot5^{2x}={8}\cdot3^{x}\cdot5^{x}\$$Перепишемо в іншому вигляді\$$5\cdot\dfrac{3^{2x\}}{5^{2x\}}+3\cdot\dfrac{5^{2x\}}{5^{2x\}}={8}\cdot\dfrac{3^{x}\cdot5^{x\}}{5^{2x\}}\$$Ділимо обидві частини на \$$5^{2x}\$$\$$5\cdot{\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{2x}+3={8}\cdot{\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}\$$Спрощуємо\$$5t^2+3=8t\$$Робимо заміну \$${\left(\dfrac{3}{5}\right)}^x=t\$$\$$5t^2-8t+3=0\$$Перепишем всі доданки з однієї сторони\$$D={(-8)}^2-4\cdot3\cdot5=4\$$\$$x^{}\_{1,2}=\dfrac{8 \pm \sqrt{4\}}{2\cdot5}=\left\[ \begin{gathered} 1, \hfill \\\ \dfrac{3}{5} \hfill \\\ \end{gathered} \right. \$$Розв’язуємо квадратне рівняння\$$\left\[ \begin{gathered} {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=1, \hfill \\\ {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=\dfrac{3}{5} \hfill \\\ \end{gathered} \right. \$$Повертаємось до попередньої змінної \$$\left\[ \begin{gathered} {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^{0}, \hfill \\\ {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^1 \hfill \\\ \end{gathered} \right. \$$Зводимо до спільної основи\$$x=0,\$$\$$x=1\$$Позбуваємось показника степеня**Вiдповiдь.** \$$x = \\{0;1\\}\$$.

&#x20;Приклад **Розв’язати рівняння \$$4^{\frac{x+2}{2x\}}-33\cdot2^{\frac{1}{x\}}+16=0\$$**

&#x20;Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**\$$4^{\frac{x+2}{2x\}}-33\cdot2^{\frac{1}{x\}}+16=0\$$Вихідне рівняння\$$2^{\frac{x+2}{x\}}-33\cdot2^{\frac{1}{x\}}+16=0\$$ \$$2^{\frac{2}{x}+1}-33\cdot2^{\frac{1}{x\}}+16=0\$$ \$$2\cdot2^{\frac{2}{x\}}-33\cdot2^{\frac{1}{x\}}+16=0\$$Перепишемо в іншому вигляді\$$2\cdot t^2-33\cdot t+16=0\$$Робимо заміну \$$2^{\frac{1}{x\}}=t\$$\$$D=(-33)^2-4\cdot2\cdot16=961\$$ \$$x\_{1,2}=\dfrac{33\pm\sqrt{961\}}{2\cdot2}=\dfrac{33\pm31}{4}= \left\[ \begin{gathered} \dfrac{1}{2}, \hfill \\\ 16 \hfill \\\ \end{gathered} \right. \$$Розв’язуємо квадратне рівняння\$$\left\[ \begin{gathered} {2}^{\frac{1}{x\}}=\dfrac{1}{2}, \hfill \\\ {2}^{\frac{1}{x\}}=16 \hfill \\\ \end{gathered} \right.\$$Повертаємось до попередньої змінної\$$\left\[ \begin{gathered} {2}^{\frac{1}{x\}}=2^{-1}, \hfill \\\ {2}^{\frac{1}{x\}}=2^4 \hfill \\\ \end{gathered} \right.\$$Зводимо до спільної основи\$$\left\[ \begin{gathered} \dfrac{1}{x}=-1, \hfill \\\ \dfrac{1}{x}=4 \hfill \\\ \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left\[ \begin{gathered} x=-1, \hfill \\\ x=\dfrac{1}{4} \hfill \\\ \end{gathered} \right.\$$Позбуваємось показника степеня та розв’язуємо дробово-раціональні рівняння**Вiдповiдь.** \$$x=\left\\{ -1; \dfrac{1}{4} \right \\}\$$.
