Показникові нерівності

Визначення
Показникова нерівність – це нерівність, що містить змінну в показнику степеня.

Наприклад: ; .

Під час розв’язання показникових нерівностей користуються тими самими ж методами, що і для рівнянь. Але є одна відмінність. В момент позбавлення від показника степеня знак нерівності буде залежати від основи степеня, за яким відбувається логарифмування:
  • якщо , знак нерівності залишається таким самим
  • якщо , знак нерівності змінюється на протилежний.
  • Приклад
    Розв’язати рівняння .

    Розв’язок

    Розділимо обидві частини на та отримаємо . Зводимо до спільної основи: . Через те, що основа , отримуємо нерівність з протилежним знаком . Звідки маємо розв’язок:

    /*Картинка з інтервалами*/

    Вiдповiдь.

    Приклад

    Розв’язати рівняння .

    Розв’язок

    Розв’язуємо методом логарифмування:
    Вихідна нерівність
    Логарифмуємо за основою 5 обидві частини, тому знак нерівності лишається таким самим
    Виписуємо показники степенів перед логарифми
    Cпрощуємо та збираємо всі доданки в лівій частині нерівності
    Зводимо всі доданки до спільного знаменника

    Отримали дробово-раціональну нерівність (див. Лекцію 10) – розв’язуємо її методом інтервалів.

    Ми вже маємо нерівність у загальному вигляді .

    Шукаємо граничні точки, розв’язавши рівняння та . Зі знаменника дістаємо граничну точку . Розв’язуємо квадратне рівняння:

    Зобразимо ці точки на числовій прямій.

    /*Картинка з інтервалами*/

    Шукаємо знак функції на правому інтервалі. Підставимо тестове значення :


    Всі три множники додатні – функція на цьому інтервалі має додатний знак. Тепер проставляємо знаки на решті інтервалів справа наліво, чергуючи знаки:

    /*Картинка з інтервалами*/

    За умовою , тому обираємо інтервали, де функція додатна. Такими є інтервали та

    Вiдповiдь.