# Iррацiональнi рiвняння з квадратним коренем Визначення **Ірраціональне рівняння** — це рівняння, що містить змінну під знаком кореня, або в дробовому степені. Наприклад: $$\sqrt{x}+1=2$$; $$\sqrt{x+1}-\sqrt\[3]{x}=x^2$$; $$x^{\frac{2}{3}}=x+1.$$ Розпочнемо з найпростіших рівнянь, що містять змінну під знаком квадратного кореня, і такий доданок лише один.\ Наприклад: $$\sqrt{x+2}+1=5$$. Основний принцип розв'язання такого рівняння базується на властивості квадратного кореня: $$(\sqrt{a})^2=a.$$ Для того, щоб скористатися цією властивістю потрібно **залишити доданок з коренем в одній частині рівняння, а решту доданків зібрати в іншій**. Тому такий метод отримав назву метод відкоремлення кореня. | $$\sqrt{x+2} + 1 = 5$$ | Вихідне рівняння | | ------------------------------------------------------------------------------------------ | -------------------------------- | | $$\sqrt{x+2} + 1 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}1 = 5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}1$$ | Віднімаємо $$1$$ від обох частин | | $$\sqrt{x+2} = 4$$ | Спрощуємо | Тепер час скористатися вищезгаданою властивістю. | $$\color{#1570bd}(\sqrt{x+2}\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2 = \color{#1570bd}(4\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2$$ | Підносимо обидві частини до квадрату | | -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------ | | $$x+2 = 16$$ | Спрощуємо | Вуаля. Страшний корінь раптом зник, і ми маємо звичайне рівняння. | $$x+2 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 = 16 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2$$ | Віднімаємо $$2$$ від обох частин | | -------------------------------------------------------------------------------- | -------------------------------- | | $$x = 14$$ | Спрощуємо | Алгоритм 1. Залишити доданок з коренем в одній частині рівняння, а решту доданків зібрати в іншій. 2. Піднести до квадрату обидві частини рівняння та спростити. 3. Розв’язати отримане рівняння. Якщо дане рівняння містить доданки з коренем – повторити кроки 1-2. 4. Перевірити отримані розв’язки підстановкою у вихідне рівняння. Приклад Розв’язати рівняння $$2\sqrt{2x+1}-5x+2=x$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Залишаємо доданок з коренем на самоті в лівій частині рівняння:$$2\sqrt{2x+1} - 5x + 2 = x$$Вихідне рівняння$$2\sqrt{2x+1} - 5x + 2 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}5\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 = x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}5\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2$$Додаємо $$5x-2$$ до обох частин$$2\sqrt{2x+1} = 6x - 2$$Спрощуємо$$\dfrac{2}{\color{#1570bd}2}\sqrt{2x+1} = \dfrac{6x - 2}{\color{#1570bd}2}$$Ділимо обидві частини на $$2$$$$\sqrt{2x+1} = 3x - 1$$СпрощуємоПідносимо обидві частини рівняння до квадрату:$$\color{#1570bd}(\sqrt{2x+1}\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2 = \color{#1570bd}(3x-1\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2$$Підносимо обидві частини до квадрату$$2x + 1 = 9x^2 - 6x + 1$$Спрощуємо$$2x + 1 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}1 = 9x^2 - 6x + 1 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}1$$Віднімаємо $$2x-1$$ від обох частин$$0 = 9x^2 - 8x$$СпрощуємоРозв’язуємо отримане рівняння:$$9x^2 - 8x = 0$$Вихідне рівняння$$\color{#1570bd}x\color{#1570bd}(9x-8\color{#1570bd}) = 0$$Виносимо спільний множник $$x$$ за дужки$$\left\[ \begin{array}{} x = 0,\\\ 9x-8 = 0 \end{array} \right.$$Переписуємо рівняння у вигляді сукупності двох простіших рівнянь$$\left\[ \begin{array}{} x = 0,\\\ x = \dfrac{8}{9} \end{array} \right.$$Отримуємо розв'язокПеревіряємо отримані розв’язки:$$2\sqrt{2x+1} - 5x + 2 \ = \ x$$Вихідне рівняння$$2\sqrt{2 \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}0 + 1} - 5 \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}0 + 2 \ = \ ?\color{#1570bd}0$$Підставляємо $$0$$ замість $$x$$$$2\sqrt{1} + 2 \ = \ ?\color{#1570bd}0$$Спрощуємо$$4 \ = \ 0$$Невірно$$2\sqrt{2x+1} - 5x + 2 = \ x$$Вихідне рівняння$$2\sqrt{2 \color{#1570bd}\cdot \dfrac{\color{#1570bd}8}{\color{#1570bd}9} + 1} - 5 \cdot \dfrac{8}{9} + 2 = \ ? \dfrac{\color{#1570bd}8}{\color{#1570bd}9}$$Підставляємо $$\dfrac{8}{9}$$ замість $$x$$$$2\sqrt{\dfrac{25}{9}} - \dfrac{22}{9} = \ ?\dfrac{8}{9}$$Спрощуємо$$2\sqrt{\dfrac{25}{9}} = \ ? \dfrac{30}{9}$$$$\sqrt{\dfrac{25}{9}} = \ ?\dfrac{15}{9}$$$$\dfrac{5}{3} = \ ?\dfrac{15}{9}$$Вірно**Відповідь:** $$x=\dfrac{8}{9}$$. Побічні корені За визначенням значення квадратного кореня є завжди додатним. Ця властивість дозволяє швидко оцінити рівняння на наявність коренів. Якщо, раптово, зустрінеться рівняння вигляду $$\sqrt{20-3x}=-20$$ то одразу, не розв'язуючи його можна сказати, що таке рівняння коренів не має. Значення доданку з квадратним коренем не може бути від’ємним $$\sqrt{20-3x} \geq0$$, і тому $$x\in\emptyset$$. Але якщо ми піднесемо обидві частини рівняння до квадрату (слідуючи алгоритму розв’язання): $$20-3x=400$$ таке рівняння, на відміну від попереднього, вже має корінь і його значення: $$x=-\dfrac{380}{3}$$. Такий корінь називають **побічним**. Він з’явився після піднесення обох частин рівняння до квадрату. Це пов’язано з тим, що рівняння $$20-3x=400$$ можна отримати піднесенням до квадрату як рівняння $$\sqrt{20-3x}=-20$$, так і рівняння $$\sqrt{20-3x}=20$$. Аналогічно, в попередньому прикладі $$x=0$$ був побічним коренем рівняння. Він не пройшов перевірку підстановкою у вихідне рівняння, і був відсіяний. Тому, будьте уважними під час перевірки знайдених коренів. --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://math.ed-era.com/irratsonaln_rvnyannya/irratsionalni_rivnyannya_z_kvadratnim_korenem.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.