Корабль поза горизонтом

Повернемося до корабля на горизонті, що віддаляється. Як тільки він відпливе від вас на $$5$$ км – він візуально торкнеться лінії горизонту. При подальшому віддаленні, корабль почне поступово ховатися за лінією горизонту, і, згодом, зникне повністю.

$$\quad$$$$\quad$$$$\quad$$$$\quad$$

Відстань, на якій корабль повністю сховається називають дальністю видимості, і залежить вона, від вашої висоти та від висоти корабля. Якщо до Михайла на Землі домалювати Марічку на кораблі, то все стане зрозуміло:

Дальність видимості — це сума відстані до горизонту Михайла та відстані до горизонту Марічки:

$$D\approx3,85(\sqrt{h}+\sqrt{H}),$$

де $$h$$ - висота спостерігача у метрах, $$H$$ – висота об’єкту, що спостерігається, а $$D$$ – дальність видимості у кілометрах.

Приклад

Михайло стоїть на узбережжі Чорного моря та спостерігає у підзорну трубу за Марічкою, що знаходиться на палубі корабля. Коли корабль відплив на відстань $$38,5$$ км від берега – Марічка зникла за лінією горизонту. На якій висоті спостерігав Михайло, якщо Марічка стояла на $$5$$ метрів вище?

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Скористаємося рівнянням для визначення дальності спостереження $$D\approx3,85(\sqrt{h}+\sqrt{H})$$. Тоді за висоту Михайла приймемо $$h=x$$ метрів, висоту Марічки $$H=(x+5)$$ метрів та дальність спостереження $$D=38,5$$ км. Отримане рівняння$$3,85(\sqrt{x}+\sqrt{x+5})=38,5$$розв’язуємо за допомогою стандартного алгоритму:Залишаємо доданок з коренем на самоті в лівій частині рівняння:$$3,85(\sqrt{x} + \sqrt{x+5}) = 38,5$$Вихідне рівняння$$\dfrac{3,85}{\color{#1570bd}3\color{#1570bd},\color{#1570bd}8\color{#1570bd}5}(\sqrt{x} + \sqrt{x+5}) = \dfrac{38,5}{\color{#1570bd}3\color{#1570bd},\color{#1570bd}8\color{#1570bd}5}$$Ділимо обидві частини на $$3,85$$$$\sqrt{x} + \sqrt{x+5} = 10$$Спрощуємо$$\sqrt{x} + \sqrt{x+5} \color{#1570bd}- \sqrt{\color{#1570bd}x} = 10 \color{#1570bd}- \sqrt{\color{#1570bd}x}$$Віднімаємо $$\sqrt{x}$$ від обох частин$$\sqrt{x+5} = 10 - \sqrt{x}$$СпрощуємоПідносимо обидві частини рівняння до квадрату:$$\color{#1570bd}(\sqrt{x+5}\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2 = \color{#1570bd}(\sqrt{10-x}\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2$$Підносимо обидві частини до квадрату$$x + 5 = 100 - 20\sqrt{x} + x$$Спрощуємо$$x + 5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}5 = 100 - 20\sqrt{x} + x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}5$$Віднімаємо $$x+5$$ від обох частин$$0 = 95 - 20\sqrt{x}$$СпрощуємоОтримане рівняння знову містить значок кореня. Повторюємо кроки 1 та 2. Залишаємо доданок з коренем на самоті в лівій частині рівняння. Потім підносимо обидві частини рівняння до квадрату і спрощуємо:$$0 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}2\color{#1570bd}0\sqrt{\color{#1570bd}x} = 95 - 20\sqrt{x} \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}2\color{#1570bd}0\sqrt{\color{#1570bd}x}$$Додаємо $$20\sqrt{x}$$ до обох частин$$20\sqrt{x} = 95$$Спрощуємо$$\dfrac{20}{\color{#1570bd}2\color{#1570bd}0}\sqrt{x} = \dfrac{95}{\color{#1570bd}2\color{#1570bd}0}$$Ділимо обидві частини на $$20$$$$\sqrt{x} = \dfrac{19}{4}$$Спрощуємо$$\color{#1570bd}(\sqrt{x}\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2 = \color{#1570bd}(\dfrac{19}{4}\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2$$Підносимо обидві частини до квадрату$$x = \dfrac{361}{16}$$СпрощуємоПеревіримо отриманий розв’язок підстановкою у вихідне рівняння$$3,85(\sqrt{x} + \sqrt{x+5}) \ = \ 38,5$$Вихідне рівняння$$3,85 \left(\sqrt{\dfrac{\color{#1570bd}3\color{#1570bd}6\color{#1570bd}1}{\color{#1570bd}1\color{#1570bd}6}} + \sqrt{\dfrac{\color{#1570bd}3\color{#1570bd}6\color{#1570bd}1}{\color{#1570bd}1\color{#1570bd}6} + 5}\right) = \ ? 38,5$$Підставляємо $$\dfrac{361}{16}$$ замість $$x$$$$\sqrt{\dfrac{\color{#1570bd}3\color{#1570bd}6\color{#1570bd}1}{\color{#1570bd}1\color{#1570bd}6}} + \sqrt{\dfrac{\color{#1570bd}3\color{#1570bd}6\color{#1570bd}1}{\color{#1570bd}1\color{#1570bd}6} + 5} \ = \ ? 10$$$$\dfrac{19}{4} + \sqrt{\dfrac{441}{16}} \ = \ ?10$$$$\dfrac{19}{4} + \dfrac{21}{4} \ = \ ?10$$$$10 \ = \ 10$$ВірноОтже Михайло знаходився на висоті, трошки більшій, ніж $$22,5$$ метри.Відповідь: $$22.5$$ метри

Перевірка коренів та ОДЗ

В попередніх прикладах ми завжди робили перевірку знайдених коренів підстановкою. Це пов’язано з тим, що піднесення рівняння до парного степеня спричиняє появу побічних коренів, які, звичайно, треба відсіяти. При піднесенні рівняння до непарного степеня таку підстановку можна не робити.

Але інколи рівняння є громіздкими і від перевірки підстановкою стає «дуже болісно». В цих випадках стає в нагоді знаходження ОДЗ рівняння окремо, а потім перевірка знайдених коренів на відповідність допустимим значенням.

В квадратних рівняннях може виникнути два типи обмеження ОДЗ, які виникають безпосередньо з визначення арифметичного кореня:

• підкореневий вираз не може бути від’ємним

• значення кореня не може бути від’ємним

З цих двох умов можна скласти систему нерівностей для змінної рівняння, і, розв’язавши її, отримати ОДЗ.

Після цього залишається лише перевірити знайдені корені рівняння на відповідність ОДЗ, і підставляти в рівняння вже нічого не треба.

Ще раз наголошую, що це стосується лише коренів парного степеня. Для коренів непарного степеня нічого подібного робити не потрібно – просто розв’язати рівняння і все.

Приклад

Розв’язати рівняння $$\sqrt{10-7x}+\sqrt{3x+5}=5$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Знайдемо область допустимих значень рівняння. Пам’ятаємо, що підкореневі вирази завжди невід’ємні для кореня парного степеня, тому складаємо систему нерівностей:$$\begin{cases} 10-7x\geq0,\\ 3x+5\geq0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x\leq\dfrac{10}{7},\\ x\geq-\dfrac{5}{3} \end{cases} \Longleftrightarrow -\dfrac{5}{3}\leq x\leq\dfrac{10}{7}$$ОДЗ готове.Отже, зі знайдених далі розв’язків ми залишимо лише ті, що потрапляють у інтервал $$\left[-\dfrac{5}{3};\dfrac{10}{7}\right]$$.Тепер розв’язуємо саме рівняння за стандартним алгоритмом:Залишаємо доданок з коренем на самоті в лівій частині рівняння:$$\sqrt{10-7x} + \sqrt{3x+5} = 5$$Вихідне рівняння$$\sqrt{10-7x} + \sqrt{3x+5} \color{#1570bd}- \sqrt{\color{#1570bd}3\color{#1570bd}x\color{#1570bd}+\color{#1570bd}5} = 5 \color{#1570bd}- \sqrt{\color{#1570bd}3\color{#1570bd}x\color{#1570bd}+\color{#1570bd}5}$$Віднімаємо $$\sqrt{3x+5}$$ від обох частин$$\sqrt{10-7x} = 5 - \sqrt{3x+5}$$СпрощуємоПідносимо обидві частини рівняння до квадрату:$$\color{#1570bd}(\sqrt{10-7x}\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2 = \color{#1570bd}(5 - \sqrt{3x+5}\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2$$Підносимо обидві частини до квадрату$$10 - 7x = 25 - 10\sqrt{3x + 5} + 3x + 5$$Спрощуємо$$10 - 7x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}(\color{#1570bd}3\color{#1570bd}x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}3\color{#1570bd}0\color{#1570bd}) = 25 - 10\sqrt{3x + 5} + 3x + 5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}(\color{#1570bd}3\color{#1570bd}x\color{#1570bd}+\color{#1570bd}3\color{#1570bd}0\color{#1570bd})$$Віднімаємо $$(3x+30)$$від обох частин$$-20 - 10x = -10\sqrt{3x+5}$$СпрощуємоОтримане рівняння знову містить значок кореня. Повторюємо кроки 1 та 2. Залишаємо доданок з коренем на самоті в правій частині рівняння. Потім підносимо обидві частини рівняння до квадрату і спрощуємо:$$\dfrac{-20 - 10x}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}0} = \dfrac{-10\sqrt{3x+5}}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}0}$$Ділимо обидві частини на $$-10$$$$2+x = \sqrt{3x+5}$$Спрощуємо$$\color{#1570bd}(2+x\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2 = \color{#1570bd}(\sqrt{3x+5}\color{#1570bd})^\color{#1570bd}2$$Підносимо обидві частини до квадрату$$x^2 + 4x + 4 = 3x+5$$Спрощуємо$$x^2 + 4x + 4 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}3\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}5 = 3x+5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}3\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}5$$Віднімаємо $$(3x+5)$$ від обох частин$$x^2 + x - 1 = 0$$Спрощуємо$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5, \\ x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$Шукаємо дискримінант та корені рівнянняТепер перевіряємо корені на відповідність ОДЗ замість підстановки. Для цього потрібно прикинути значення коренів. Квадратний корінь з $$5$$ – ірраціональне число. Ми точно знаємо, що воно лежить між $$2$$ і $$3$$, бо $$2^2=4$$, а $$3^2=9$$, при чому набагато ближче до $$2$$. Візьмемо приблизно $$2,2$$:$$x_1 \approx \dfrac{-1-2,2}{2}=-1,6,$$$$x_2 \approx \dfrac{-1+2,2}{2}=0,6.$$За ОДЗ корені мусять лежати приблизно в межах від $$-1,66$$ до $$1,4$$. Наші обидва знайдені значення потрапляють у дозволений інтервал, тому є коренями вихідного рівняння.Відповідь: $$x_{1,2} = \dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$$.