Iншi види цiлих рiвнянь
При розв’язанні цілих рівнянь вищих степенів знадобиться знання теореми Безу та схеми Горнера для ділення многочлена на двочлен.
Теорема Безу Остача від ділення многочлена $P(x)$ на двочлен $x - a$ рівна $P(a)$.
ДоведенняНехай остача від ділення многочлена $P(x)$ на двочлен рівна $r$, а частка — многочлен $Q(x)$. Тоді можна записати:$P(x) = Q(x)\cdot(x - a) + r.$Підставивши $x = a$ у многочлен $P$, маємо:$P(a) = Q(a)\cdot(a - a) + r = r,$це доводить теорему.
Алгоритм Схема Горнера
  1. 1.
    Записати таблицю з двох рядків.
  2. 2.
    У верхньому записують всі коефіцієнти многочлена $P(x)$ (повинен бути записаний у стандартному вигляді).
  3. 3.
    Старший коефіцієнт дублюється в нижній рядок, а зліва від нього записують $a$.
  4. 4.
    Нижній рядок заповнюють за таким правилом: крайнє справа число множиться на $a$ та додається до числа, що стоїть над порожньою клітинкою.
  5. 5.
    Отриманий результат записують у порожню клітинку.
Продемонструємо процес складання таблиці на попередньому прикладі: знайти остачу від ділення многочлена $P(x)=x^5 - 3x^3 + x - 7$ на $x + 2.$
Записуємо таблицю з двох рядків. У верхньому записуємо всі коефіцієнти многочлена $P(x)$. Старший коефіцієнт дублюється в нижній рядок, а зліва від нього записуємо $a = -2$:
Тепер заповнюємо порожні клітинки нижнього рядка:
  • перша: $(-2)\cdot$$1$ + $0$ $=$ $-2$,
  • друга: $(-2)\cdot($$-2$$) + ($$-3$$) = $$1$,
  • третя: $(-2)\cdot$$1$ $+$ $0$ $=$ $-2$,
  • четверта: $(-2)\cdot($$-2$$) + $$1$$ = $$5$,
  • п’ята: $(-2)\cdot$$5$$ + ($$-7$$) = -17$.
Як бачимо, можна тоді записати
$x^5 - 3x^3 + x - 7 = (x + 2)(x^4 - 2x^3 +x^2 - 2x + 5) - 17.$
Якою буде остача від ділення $x^4+3x^3-4x^2-10$ на $x-2$? $-4$ $-2$ $14$ $11$ Перший член частки $x^3$, тоді маємо: $5x^3-4x^2-10.$ Другий член частки $5x^2$, тоді маємо: $6x^2-10.$ Третій член частки $6x$, тоді маємо: $12x-10.$ Четвертий член частки $12$, тоді маємо остачу: $14.$
Copy link