Iншi види цiлих рiвнянь
При розв’язанні цілих рівнянь вищих степенів знадобиться знання теореми Безу та схеми Горнера для ділення многочлена на двочлен.
Теорема Безу Остача від ділення многочлена $$P(x)$$ на двочлен $$x - a$$ рівна $$P(a)$$.
ДоведенняНехай остача від ділення многочлена $$P(x)$$ на двочлен рівна $$r$$, а частка — многочлен $$Q(x)$$. Тоді можна записати:$$P(x) = Q(x)\cdot(x - a) + r.$$Підставивши $$x = a$$ у многочлен $$P$$, маємо:$$P(a) = Q(a)\cdot(a - a) + r = r,$$це доводить теорему.
Алгоритм Схема Горнера
Записати таблицю з двох рядків.
У верхньому записують всі коефіцієнти многочлена $$P(x)$$ (повинен бути записаний у стандартному вигляді).
Старший коефіцієнт дублюється в нижній рядок, а зліва від нього записують $$a$$.
Нижній рядок заповнюють за таким правилом: крайнє справа число множиться на $$a$$ та додається до числа, що стоїть над порожньою клітинкою.
Отриманий результат записують у порожню клітинку.
Продемонструємо процес складання таблиці на попередньому прикладі: знайти остачу від ділення многочлена $$P(x)=x^5 - 3x^3 + x - 7$$ на $$x + 2.$$
Записуємо таблицю з двох рядків. У верхньому записуємо всі коефіцієнти многочлена $$P(x)$$. Старший коефіцієнт дублюється в нижній рядок, а зліва від нього записуємо $$a = -2$$:
Тепер заповнюємо порожні клітинки нижнього рядка:
перша: $$(-2)\cdot$$$$1$$ + $$0$$ $$=$$ $$-2$$,
друга: $$(-2)\cdot($$$$-2$$$$) + ($$$$-3$$$$) = $$$$1$$,
третя: $$(-2)\cdot$$$$1$$ $$+$$ $$0$$ $$=$$ $$-2$$,
четверта: $$(-2)\cdot($$$$-2$$$$) + $$$$1$$$$ = $$$$5$$,
п’ята: $$(-2)\cdot$$$$5$$$$ + ($$$$-7$$$$) = -17$$.
Як бачимо, можна тоді записати
$$x^5 - 3x^3 + x - 7 = (x + 2)(x^4 - 2x^3 +x^2 - 2x + 5) - 17.$$
Якою буде остача від ділення $$x^4+3x^3-4x^2-10$$ на $$x-2$$? $$-4$$ $$-2$$ $$14$$ $$11$$ Перший член частки $$x^3$$, тоді маємо: $$5x^3-4x^2-10.$$ Другий член частки $$5x^2$$, тоді маємо: $$6x^2-10.$$ Третій член частки $$6x$$, тоді маємо: $$12x-10.$$ Четвертий член частки $$12$$, тоді маємо остачу: $$14.$$
Last updated