Математика: арифметика, рівняння та нерівності
  • Зміст
  • Вступне слово
  • Арифметика
    • Прості та складені числа
    • Ознаки подiльностi натуральних чисел
    • Дроби та дiї над ними
    • Модуль числа
  • Пропорції та відсотки
    • Відсотки
    • Розв’язання задач на спiльну виконану роботу (задачi на продуктивнiсть)
  • Одночлени та многочлени
    • Одночлен
    • Многочлен
    • Дiї над многочленами
    • Формули скороченого множення
    • Розкладання многочлена на множники
    • Бiном Ньютона
  • Корiнь та його властивостi
    • Квадратний корiнь та його основнi властивостi
    • Корінь n-го степеня та його основні властивості
    • Ірраціональні вирази
      • Доповнюючий множник
      • Звiльнення вiд iррацiональностi у знаменнику (чисельнику) iррацiонального дробу
      • Доповнюючi множники для основних типiв iррацiональностей у знаменнику (чисельнику)
    • Додаток
  • Показниковi та логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифм
    • Логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифмування та потенцiювання
  • Системи алгебраїчних рiвнянь
    • Метод підстановки
    • Метод алгебраїчного додавання
    • Метод заміни змінної
  • Лiнiйнi та квадратнi рiвняння
    • Лiнiйнi рiвняння
    • Квадратнi рiвняння
      • Неповні квадратні рівняння
      • Повне квадратне рівняння та дискримiнант
      • Факторизація квадратного рівняння (розкладання на множники)
      • Теорема Вiєта
    • Бiквадратнi рiвняння, та рівняння, що зводяться до квадратних
  • Iншi види цiлих рiвнянь
    • Цiлi рацiональнi рiвняння вищих степенів
      • Метод підбору коренів
      • Метод заміни змінної
    • Рiвняння з модулями
      • Метод інтервалів
    • Рівняння з параметрами
      • Лінійне рiвняння з параметрами
      • Квадратне рівняння з параметрами
  • Цілі нерівності
    • Основні властивості
    • Лiнiйнi нерiвностi
    • Система та сукупність нерівностей
    • Нерiвностi з модулями
  • Метод інтервалів
    • Метод інтервалів
    • Дробово-рацiональнi нерiвності
    • Нерiвностi з параметрами
  • Дробово-раціональні рівняння
    • Дробово-раціональне рівняння
    • Раціональні рівняння з параметрами
  • Ірраціональні рівняння
    • Корабель на горизонтi
    • Iррацiональнi рiвняння з квадратним коренем
    • Корабль поза горизонтом
  • Ірраціональні нерівності
    • Метод відокремлення кореня
    • Методологiя розв’язання в залежностi вiд парності/непарностi степеня кореня
    • Метод iнтервалiв для iррацiональних нерiвностей
    • Нерiвностi з параметрами
  • Показникові рівняння
    • Вік Землі та скам’янілостей
    • Показникові рівняння
    • Показникові нерівності
    • Степенево-показникові рівняння
    • Зведення до однiєї основи
      • Показникові рівняння
    • Винесення множника
    • Рiвняння особливих видiв
    • Використання властивостей функцiй (монотонностi)
    • Показниково - степеневi рiвняння
    • Рiвняння з параметрами
    • Системи рівнянь
  • Показникові нерівності
    • Властивостi показникової функцiї та класифікація типiв задач
    • Методи розв’язання окремих типiв задач
    • Степенево - показниковi нерiвностi
  • Логарифмічні рівняння
    • Логарифмiчнi рiвняння
    • Логарифмування та потенцiювання
    • Використання логарифмiчних тотожностей для розв’язання окремих типiв задач
    • Системи рівнянь
  • Логарифмічні нерівності
    • Використання властивостей логарифмiв для розв’язання рiзних типiв задач
    • Замiна змiнної в логарифмiчних нерiвностях
    • Показниково-логарифмiчнi нерiвностi
    • Нерiвностi з параметрами
Powered by GitBook
On this page

Was this helpful?

Iншi види цiлих рiвнянь

При розв’язанні цілих рівнянь вищих степенів знадобиться знання теореми Безу та схеми Горнера для ділення многочлена на двочлен.

Теорема Безу Остача від ділення многочлена $$P(x)$$ на двочлен $$x - a$$ рівна $$P(a)$$.

ДоведенняНехай остача від ділення многочлена $$P(x)$$ на двочлен рівна $$r$$, а частка — многочлен $$Q(x)$$. Тоді можна записати:$$P(x) = Q(x)\cdot(x - a) + r.$$Підставивши $$x = a$$ у многочлен $$P$$, маємо:$$P(a) = Q(a)\cdot(a - a) + r = r,$$це доводить теорему.

Алгоритм Схема Горнера

  1. Записати таблицю з двох рядків.

  2. У верхньому записують всі коефіцієнти многочлена $$P(x)$$ (повинен бути записаний у стандартному вигляді).

  3. Старший коефіцієнт дублюється в нижній рядок, а зліва від нього записують $$a$$.

  4. Нижній рядок заповнюють за таким правилом: крайнє справа число множиться на $$a$$ та додається до числа, що стоїть над порожньою клітинкою.

  5. Отриманий результат записують у порожню клітинку.

Продемонструємо процес складання таблиці на попередньому прикладі: знайти остачу від ділення многочлена $$P(x)=x^5 - 3x^3 + x - 7$$ на $$x + 2.$$

Записуємо таблицю з двох рядків. У верхньому записуємо всі коефіцієнти многочлена $$P(x)$$. Старший коефіцієнт дублюється в нижній рядок, а зліва від нього записуємо $$a = -2$$:

Тепер заповнюємо порожні клітинки нижнього рядка:

  • перша: $$(-2)\cdot$$$$1$$ + $$0$$ $$=$$ $$-2$$,

  • друга: $$(-2)\cdot($$$$-2$$$$) + ($$$$-3$$$$) = $$$$1$$,

  • третя: $$(-2)\cdot$$$$1$$ $$+$$ $$0$$ $$=$$ $$-2$$,

  • четверта: $$(-2)\cdot($$$$-2$$$$) + $$$$1$$$$ = $$$$5$$,

  • п’ята: $$(-2)\cdot$$$$5$$$$ + ($$$$-7$$$$) = -17$$.

Як бачимо, можна тоді записати

$$x^5 - 3x^3 + x - 7 = (x + 2)(x^4 - 2x^3 +x^2 - 2x + 5) - 17.$$

Якою буде остача від ділення $$x^4+3x^3-4x^2-10$$ на $$x-2$$? $$-4$$ $$-2$$ $$14$$ $$11$$ Перший член частки $$x^3$$, тоді маємо: $$5x^3-4x^2-10.$$ Другий член частки $$5x^2$$, тоді маємо: $$6x^2-10.$$ Третій член частки $$6x$$, тоді маємо: $$12x-10.$$ Четвертий член частки $$12$$, тоді маємо остачу: $$14.$$

PreviousБiквадратнi рiвняння, та рівняння, що зводяться до квадратнихNextЦiлi рацiональнi рiвняння вищих степенів

Last updated 6 years ago

Was this helpful?