Корiнь та його властивостi

Визначення Дробово-раціональним називають вираз вигляду $$\dfrac{M}{N}$$, де $$M, N$$ - многочлени.

Визначення Область допустимих значень (ОДЗ) – множина значень змінних виразу, при яких цей вираз визначений та має сенс. Розглянемо дріб $$\dfrac{M}{N}$$: многочлен $$N$$, що стоїть у знаменнику, не може дорівнювати нулеві (бо на нуль ділити не можна). Таким чином ОДЗ такого виразу — будь-які значення змінних, окрім тих, при яких $$N \neq 0$$.

Приклад

Знайти ОДЗ виразу $$\dfrac{\left(x-\dfrac{3}{x}\right)(x+5)(x-8)}{x^2-9}.$$

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Продивимось «проблемні» зони цього виразу – знаменники, вони не повинні бути рівними нулеві. Із першого множника чисельника $$\left(x-\dfrac{3}{x}\right)$$ знаходимо, що $$x\neq 0,$$ вносимо цей вираз до ОДЗ. Із загального знаменника бачимо, що $$x^2-9\neq 0.$$ Розкладаємо на множники: $$(x-3)(x+3)\neq 0.$$ Отже, $$x\neq \pm 3,$$ вносимо це до ОДЗ. Загалом, маємо ОДЗ: $$x\neq 0, \pm 3.$$Вiдповiдь. $$x\neq 0, \pm 3.$$

Поняття ОДЗ будемо використовувати надалі при розгляді ірраціональних виразів, рівнянь та нерівностей.

Дії з дробово-раціональними виразами: * Зведення до спільного знаменника, додавання, віднімання, множення та ділення дробово-раціональних виразів підпорядковуються тим самим правилам, що й звичайні дроби. * Множення/ділення чисельника і знаменника одночасно на одне й те саме число (скорочування спільних множників для чисельника і знаменника). При цьому важливо не забувати про ОДЗ після скорочення (воно лишається навіть у тому разі, коли вираз, який його давав, скоротився). Визначення

Рівність дробу нулеві. Дріб $$\dfrac{M}{N}$$ дорівнює нулеві за умови, що вираз $$M$$ у чисельнику рівний нулеві, а вираз $$N$$ у знаменнику відмінний від нуля:

$$\begin{cases} M=0;\\ N\neq0; \end{cases} \Longrightarrow \dfrac{M}{N}=0.$$ Приклад

Знайдемо, за яких значень $$x$$ виконується рівність $$\dfrac{(x-3)(x+5)(x-6)}{x^2-9}=0.$$

• Розв’язок

• Вiдповiдь

• Приховати

Розв’язок.

З умови рівності дробу нулеві прирівнюємо чисельник нулеві та перевіряємо, щоб знаменник був відмінний від нуля (це і є ОДЗ). ОДЗ: $$x^2-9=(x-3)(x+3)\neq 0 \Longrightarrow x \neq \pm 3.$$ Чисельник рівний нулеві, якщо хоча б один з множників дорівнює нулю: $$(x-3)(x+5)(x-6)=0 \Longleftrightarrow \begin{cases} x-3=0;\\ x+5=0;\\ x-6=0; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=3;\\ x=-5;\\ x=6. \end{cases} $$ Перевіряємо, чи задовольняють знайдені значення ОДЗ. В результаті даний в умові дробово-раціональний вираз рівний нулеві лише при $$\begin{cases} x=-5;\\ x=6. \end{cases}$$

Вiдповiдь. $$\begin{cases} x=-5;\\ x=6. \end{cases}$$

Знайдіть ОДЗ виразу: $$\dfrac{(x+\dfrac{2}{x-2})(x-4)}{x^2-4}$$ $$x \neq -2$$ $$x \neq 2$$ $$x \neq \pm 2$$ $$x \neq 4$$ $$x \neq \pm 4$$ Із першого множника чисельника $$\dfrac{2}{x-2}$$ знаходимо, що $$x\neq2$$. Із загального знаменника бачимо, що $$x^2-4\neq0$$. Розкладаємо на множники: $$(x+2)(x-2)\neq0$$. Отже, $$x\neq\pm2$$.

При якому значенні $$x$$ справджується рівність: $$\dfrac{(x+3)(x-5)}{x^2-25}$$ $$x=-3$$ $$x=-3,5$$ $$x=5$$ $$x=\pm5$$ $$x=\pm3$$ Знайдемо ОДЗ: $$x\neq\pm5$$. Рівність дробу нулю справджується при $$x=-3; 5$$. Отже, єдиною відповіддю є $$x=-3$$.