Корiнь та його властивостi
Визначення Дробово-раціональним називають вираз вигляду $\dfrac{M}{N}$, де $M, N$ - многочлени.
Визначення Область допустимих значень (ОДЗ) – множина значень змінних виразу, при яких цей вираз визначений та має сенс. Розглянемо дріб $\dfrac{M}{N}$: многочлен $N$, що стоїть у знаменнику, не може дорівнювати нулеві (бо на нуль ділити не можна). Таким чином ОДЗ такого виразу — будь-які значення змінних, окрім тих, при яких $N \neq 0$.
Приклад
Знайти ОДЗ виразу $\dfrac{\left(x-\dfrac{3}{x}\right)(x+5)(x-8)}{x^2-9}.$
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Продивимось «проблемні» зони цього виразу – знаменники, вони не повинні бути рівними нулеві. Із першого множника чисельника $\left(x-\dfrac{3}{x}\right)$ знаходимо, що $x\neq 0,$ вносимо цей вираз до ОДЗ. Із загального знаменника бачимо, що $x^2-9\neq 0.$ Розкладаємо на множники: $(x-3)(x+3)\neq 0.$ Отже, $x\neq \pm 3,$ вносимо це до ОДЗ. Загалом, маємо ОДЗ: $x\neq 0, \pm 3.$Вiдповiдь. $x\neq 0, \pm 3.$
Поняття ОДЗ будемо використовувати надалі при розгляді ірраціональних виразів, рівнянь та нерівностей.
Дії з дробово-раціональними виразами: * Зведення до спільного знаменника, додавання, віднімання, множення та ділення дробово-раціональних виразів підпорядковуються тим самим правилам, що й звичайні дроби. * Множення/ділення чисельника і знаменника одночасно на одне й те саме число (скорочування спільних множників для чисельника і знаменника). При цьому важливо не забувати про ОДЗ після скорочення (воно лишається навіть у тому разі, коли вираз, який його давав, скоротився). Визначення
Рівність дробу нулеві. Дріб $\dfrac{M}{N}$ дорівнює нулеві за умови, що вираз $M$ у чисельнику рівний нулеві, а вираз $N$ у знаменнику відмінний від нуля:
$\begin{cases} M=0;\\ N\neq0; \end{cases} \Longrightarrow \dfrac{M}{N}=0.$ Приклад
Знайдемо, за яких значень $x$ виконується рівність $\dfrac{(x-3)(x+5)(x-6)}{x^2-9}=0.$
  • Розв’язок
  • Вiдповiдь
  • Приховати
Розв’язок.
З умови рівності дробу нулеві прирівнюємо чисельник нулеві та перевіряємо, щоб знаменник був відмінний від нуля (це і є ОДЗ). ОДЗ: $x^2-9=(x-3)(x+3)\neq 0 \Longrightarrow x \neq \pm 3.$ Чисельник рівний нулеві, якщо хоча б один з множників дорівнює нулю: $(x-3)(x+5)(x-6)=0 \Longleftrightarrow \begin{cases} x-3=0;\\ x+5=0;\\ x-6=0; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=3;\\ x=-5;\\ x=6. \end{cases} $ Перевіряємо, чи задовольняють знайдені значення ОДЗ. В результаті даний в умові дробово-раціональний вираз рівний нулеві лише при $\begin{cases} x=-5;\\ x=6. \end{cases}$
Вiдповiдь. $\begin{cases} x=-5;\\ x=6. \end{cases}$
Знайдіть ОДЗ виразу: $\dfrac{(x+\dfrac{2}{x-2})(x-4)}{x^2-4}$ $x \neq -2$ $x \neq 2$ $x \neq \pm 2$ $x \neq 4$ $x \neq \pm 4$ Із першого множника чисельника $\dfrac{2}{x-2}$ знаходимо, що $x\neq2$. Із загального знаменника бачимо, що $x^2-4\neq0$. Розкладаємо на множники: $(x+2)(x-2)\neq0$. Отже, $x\neq\pm2$.
При якому значенні $x$ справджується рівність: $\dfrac{(x+3)(x-5)}{x^2-25}$ $x=-3$ $x=-3,5$ $x=5$ $x=\pm5$ $x=\pm3$ Знайдемо ОДЗ: $x\neq\pm5$. Рівність дробу нулю справджується при $x=-3; 5$. Отже, єдиною відповіддю є $x=-3$.
Last modified 2yr ago
Copy link