# Корiнь та його властивостi

 Визначення **Дробово-раціональним** називають вираз вигляду $$\dfrac{M}{N}$$, де $$M, N$$ - многочлени.

 Визначення **Область допустимих значень (ОДЗ)** – множина значень змінних виразу, при яких цей вираз визначений та має сенс. Розглянемо дріб $$\dfrac{M}{N}$$: многочлен $$N$$, що стоїть у знаменнику, не може дорівнювати нулеві (бо на нуль ділити не можна). Таким чином ОДЗ такого виразу — будь-які значення змінних, окрім тих, при яких $$N \neq 0$$.

 Приклад

Знайти ОДЗ виразу $$\dfrac{\left(x-\dfrac{3}{x}\right)(x+5)(x-8)}{x^2-9}.$$

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Продивимось «проблемні» зони цього виразу – знаменники, вони не повинні бути рівними нулеві. Із першого множника чисельника $$\left(x-\dfrac{3}{x}\right)$$ знаходимо, що $$x\neq 0,$$ вносимо цей вираз до ОДЗ. Із загального знаменника бачимо, що $$x^2-9\neq 0.$$ Розкладаємо на множники: $$(x-3)(x+3)\neq 0.$$ Отже, $$x\neq \pm 3,$$ вносимо це до ОДЗ. Загалом, маємо ОДЗ: $$x\neq 0, \pm 3.$$**Вiдповiдь.** $$x\neq 0, \pm 3.$$

Поняття ОДЗ будемо використовувати надалі при розгляді ірраціональних виразів, рівнянь та нерівностей.

**Дії з дробово-раціональними виразами:** \* Зведення до спільного знаменника, додавання, віднімання, множення та ділення дробово-раціональних виразів підпорядковуються тим самим правилам, що й звичайні дроби. \* Множення/ділення чисельника і знаменника одночасно на одне й те саме число (скорочування спільних множників для чисельника і знаменника). При цьому важливо не забувати про ОДЗ після скорочення (воно лишається навіть у тому разі, коли вираз, який його давав, скоротився). Визначення

**Рівність дробу нулеві.** Дріб $$\dfrac{M}{N}$$ дорівнює нулеві за умови, що вираз $$M$$ у чисельнику рівний нулеві, а вираз $$N$$ у знаменнику відмінний від нуля:

$$\begin{cases} M=0;\\\ N\neq0; \end{cases} \Longrightarrow \dfrac{M}{N}=0.$$ Приклад

Знайдемо, за яких значень $$x$$ виконується рівність $$\dfrac{(x-3)(x+5)(x-6)}{x^2-9}=0.$$

*  
* Розв’язок
*  
* Вiдповiдь
*  
* Приховати

**Розв’язок.**

З умови рівності дробу нулеві прирівнюємо чисельник нулеві та перевіряємо, щоб знаменник був відмінний від нуля (це і є ОДЗ).\
 ОДЗ: $$x^2-9=(x-3)(x+3)\neq 0 \Longrightarrow x \neq \pm 3.$$\
Чисельник рівний нулеві, якщо хоча б один з множників дорівнює нулю:\
 $$(x-3)(x+5)(x-6)=0 \Longleftrightarrow \begin{cases} x-3=0;\\\ x+5=0;\\\ x-6=0; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=3;\\\ x=-5;\\\ x=6. \end{cases} $$\
 Перевіряємо, чи задовольняють знайдені значення ОДЗ. В результаті даний в умові дробово-раціональний вираз рівний нулеві лише при $$\begin{cases} x=-5;\\\ x=6. \end{cases}$$

 **Вiдповiдь.** $$\begin{cases} x=-5;\\\ x=6. \end{cases}$$

Знайдіть ОДЗ виразу: $$\dfrac{(x+\dfrac{2}{x-2})(x-4)}{x^2-4}$$ $$x \neq -2$$ $$x \neq 2$$ $$x \neq \pm 2$$ $$x \neq 4$$ $$x \neq \pm 4$$ Із першого множника чисельника $$\dfrac{2}{x-2}$$ знаходимо, що $$x\neq2$$.\
Із загального знаменника бачимо, що $$x^2-4\neq0$$.\
Розкладаємо на множники: $$(x+2)(x-2)\neq0$$.\
Отже, $$x\neq\pm2$$.

При якому значенні $$x$$ справджується рівність: $$\dfrac{(x+3)(x-5)}{x^2-25}$$ $$x=-3$$ $$x=-3,5$$ $$x=5$$ $$x=\pm5$$ $$x=\pm3$$ Знайдемо ОДЗ: $$x\neq\pm5$$.\
Рівність дробу нулю справджується при $$x=-3; 5$$.\
Отже, єдиною відповіддю є $$x=-3$$.


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/drobovo-ratsionalni_virazi.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.