Математика: арифметика, рівняння та нерівності
  • Зміст
  • Вступне слово
  • Арифметика
    • Прості та складені числа
    • Ознаки подiльностi натуральних чисел
    • Дроби та дiї над ними
    • Модуль числа
  • Пропорції та відсотки
    • Відсотки
    • Розв’язання задач на спiльну виконану роботу (задачi на продуктивнiсть)
  • Одночлени та многочлени
    • Одночлен
    • Многочлен
    • Дiї над многочленами
    • Формули скороченого множення
    • Розкладання многочлена на множники
    • Бiном Ньютона
  • Корiнь та його властивостi
    • Квадратний корiнь та його основнi властивостi
    • Корінь n-го степеня та його основні властивості
    • Ірраціональні вирази
      • Доповнюючий множник
      • Звiльнення вiд iррацiональностi у знаменнику (чисельнику) iррацiонального дробу
      • Доповнюючi множники для основних типiв iррацiональностей у знаменнику (чисельнику)
    • Додаток
  • Показниковi та логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифм
    • Логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифмування та потенцiювання
  • Системи алгебраїчних рiвнянь
    • Метод підстановки
    • Метод алгебраїчного додавання
    • Метод заміни змінної
  • Лiнiйнi та квадратнi рiвняння
    • Лiнiйнi рiвняння
    • Квадратнi рiвняння
      • Неповні квадратні рівняння
      • Повне квадратне рівняння та дискримiнант
      • Факторизація квадратного рівняння (розкладання на множники)
      • Теорема Вiєта
    • Бiквадратнi рiвняння, та рівняння, що зводяться до квадратних
  • Iншi види цiлих рiвнянь
    • Цiлi рацiональнi рiвняння вищих степенів
      • Метод підбору коренів
      • Метод заміни змінної
    • Рiвняння з модулями
      • Метод інтервалів
    • Рівняння з параметрами
      • Лінійне рiвняння з параметрами
      • Квадратне рівняння з параметрами
  • Цілі нерівності
    • Основні властивості
    • Лiнiйнi нерiвностi
    • Система та сукупність нерівностей
    • Нерiвностi з модулями
  • Метод інтервалів
    • Метод інтервалів
    • Дробово-рацiональнi нерiвності
    • Нерiвностi з параметрами
  • Дробово-раціональні рівняння
    • Дробово-раціональне рівняння
    • Раціональні рівняння з параметрами
  • Ірраціональні рівняння
    • Корабель на горизонтi
    • Iррацiональнi рiвняння з квадратним коренем
    • Корабль поза горизонтом
  • Ірраціональні нерівності
    • Метод відокремлення кореня
    • Методологiя розв’язання в залежностi вiд парності/непарностi степеня кореня
    • Метод iнтервалiв для iррацiональних нерiвностей
    • Нерiвностi з параметрами
  • Показникові рівняння
    • Вік Землі та скам’янілостей
    • Показникові рівняння
    • Показникові нерівності
    • Степенево-показникові рівняння
    • Зведення до однiєї основи
      • Показникові рівняння
    • Винесення множника
    • Рiвняння особливих видiв
    • Використання властивостей функцiй (монотонностi)
    • Показниково - степеневi рiвняння
    • Рiвняння з параметрами
    • Системи рівнянь
  • Показникові нерівності
    • Властивостi показникової функцiї та класифікація типiв задач
    • Методи розв’язання окремих типiв задач
    • Степенево - показниковi нерiвностi
  • Логарифмічні рівняння
    • Логарифмiчнi рiвняння
    • Логарифмування та потенцiювання
    • Використання логарифмiчних тотожностей для розв’язання окремих типiв задач
    • Системи рівнянь
  • Логарифмічні нерівності
    • Використання властивостей логарифмiв для розв’язання рiзних типiв задач
    • Замiна змiнної в логарифмiчних нерiвностях
    • Показниково-логарифмiчнi нерiвностi
    • Нерiвностi з параметрами
Powered by GitBook
On this page

Was this helpful?

Метод інтервалів

Бурдж Халіфа – найвища споруда в світі, що розташована в місті Дубай, Об’єднані Арабські Емірати. Вона сягає $$828$$ метрів і складається зі $$162$$ поверхів. Вежу можна побачити з відстані $$90$$ км!

Бейс-джампінг – екстремальний вид спорту. B.A.S.E. – скорочення слів Building, Antenna, Span, Earth – об’єктів, з яких стрибають бейс-джампери. В $$2014$$ році двоє французьких джамперів Фред Ф’юген та Вінс Реффет встановили новий рекорд Гіннеса - найвищий бейс-стрибок з будівлі – $$828$$ метрів. Вони стрибнули з самісінької кінцівки шпиля Бурдж-Халіфи.

Пропоную подивитися відеозапис стрибка. Вражає, чи не так?

А тепер спробуємо описати цей стрибок математично. На примітивному рівні, звичайно. Висота Бурдж Халіфи – $$828$$ метрів. Залежність висоти від часу при вільному падінні описується квадратичною функцією:

$$h(t) = h_{0} + v_{0}t - \dfrac{gt^2}{2}$$

$$g\approx9.8\hspace{0.1cm}\text{м}/\text{c}^2$$ – прискорення вільного падіння, $$h_{0}$$ – початкова висота, $$v_{0}$$ – початкова швидкість.

У випадку наших джамперів: $$h_{0} = 828\text{м}$$, $$v_{0} = 0\hspace{0.1cm}\text{м}/\text{c}$$

У результаті маємо:

$$h(t) = 828 - 4,9t^2$$

З відео можна помітити, що хлопці розкривають парашути на висоті близько $$100$$ метрів. За інформацією з інтернет-форумів для джамперів, стало зрозуміло, що ця висота є критичною: якщо розкрити парашут нижче, такий стрибок може стати фатальним.

Час, який є у джамперів для того, щоб розкрити парашут безпечно для життя, можна визначити з нерівності:

$$\begin{align} 828 - 4,9t^2 &> 100 \nonumber \\ 828 - 4,9t^2 - 100 &> 100 - 100 \nonumber \\ 728 - 4,9t^2 &> 0 \nonumber \\ \dfrac{728}{-4,9} - \dfrac{4,9}{-4,9}t^2 &

Значення $$t=\pm12,19$$ перетворюють функцію в лівій частині нерівності на нуль і розбивають числову вісь на три проміжки:

Розглянемо знаки, які прийматимуть множники лівої частини:

$$(-\infty;-12,19)$$

$$(-12,19;12,19)$$

$$(12,19;\infty)$$

$$(t - 12,19)$$

$$-$$

$$-$$

$$+$$

$$(t + 12,19)$$

$$-$$

$$+$$

$$+$$

Відповідно вся ліва частина має знаки:

$$(-\infty;-12,19)$$

$$(-12,19;12,19)$$

$$(12,19;\infty)$$

$$(t - 12,19)(t + 12,19)$$

$$+$$

$$-$$

$$+$$

Бачимо, що при переході крізь точки $$-12,19;12,19$$ функція змінює свій знак.

Нам потрібен той інтервал, де функція є від’ємною – тобто $$t \in (-12,19;12,19)$$.

В результаті маємо підсумковий розв’язок:

$$t \in (0;12,19)$$

Отже, ці бентежні хлопці мали трохи більше, ніж $$12$$ секунд для того, щоб насолодитися вільним падінням безпечно для життя.

Тепер перейдемо до розгляду раціональних нерівностей.

Визначення Раціональна нерівність — це нерівність вигляду $$P(x) > 0$$ або $$P(x)

Наприклад: $$x^2>0;\quad x^2-3>x;\quad(x-2)(x+3)(x-5)^2\leq0;\quad x^4-5x^3+x-7

Якою на вашу думку була швидкість стрибунів на момент відкриття парашуту? $$30$$ м/с $$60$$ м/с $$90$$ м/с $$120$$ м/с

PreviousНерiвностi з модулямиNextМетод інтервалів

Last updated 6 years ago

Was this helpful?

Тепер потрібно включити здоровий глузд і згадати, що час – величина невід’ємна (про квантову фізику та поговоримо якось іншим разом), тому треба накласти додаткову умову: $$t\geq0$$.

На перший погляд, це мало часу, але в нашому світі все відносне. Ось, наприклад, за той саме час ($$12,2$$ секунди) зробив $$165$$ оплесків долонями, а всього за хвилину – $$804$$! Також погляньте на найшвидших збирань кубика Рубика. Вражає, чи не так?

проблему 2038 року
цей хлопчина
ось таку підбірку