Метод інтервалів
Бурдж Халіфа – найвища споруда в світі, що розташована в місті Дубай, Об’єднані Арабські Емірати. Вона сягає $828$ метрів і складається зі $162$ поверхів. Вежу можна побачити з відстані $90$ км!
Бейс-джампінг – екстремальний вид спорту. B.A.S.E. – скорочення слів Building, Antenna, Span, Earth – об’єктів, з яких стрибають бейс-джампери. В $2014$ році двоє французьких джамперів Фред Ф’юген та Вінс Реффет встановили новий рекорд Гіннеса - найвищий бейс-стрибок з будівлі – $828$ метрів. Вони стрибнули з самісінької кінцівки шпиля Бурдж-Халіфи.
Пропоную подивитися відеозапис стрибка. Вражає, чи не так?
А тепер спробуємо описати цей стрибок математично. На примітивному рівні, звичайно. Висота Бурдж Халіфи – $828$ метрів. Залежність висоти від часу при вільному падінні описується квадратичною функцією:
$h(t) = h_{0} + v_{0}t - \dfrac{gt^2}{2}$
$g\approx9.8\hspace{0.1cm}\text{м}/\text{c}^2$ – прискорення вільного падіння, $h_{0}$ – початкова висота, $v_{0}$ – початкова швидкість.
У випадку наших джамперів: $h_{0} = 828\text{м}$, $v_{0} = 0\hspace{0.1cm}\text{м}/\text{c}$
У результаті маємо:
$h(t) = 828 - 4,9t^2$
З відео можна помітити, що хлопці розкривають парашути на висоті близько $100$ метрів. За інформацією з інтернет-форумів для джамперів, стало зрозуміло, що ця висота є критичною: якщо розкрити парашут нижче, такий стрибок може стати фатальним.
Час, який є у джамперів для того, щоб розкрити парашут безпечно для життя, можна визначити з нерівності:
$\begin{align} 828 - 4,9t^2 &> 100 \nonumber \\ 828 - 4,9t^2 - 100 &> 100 - 100 \nonumber \\ 728 - 4,9t^2 &> 0 \nonumber \\ \dfrac{728}{-4,9} - \dfrac{4,9}{-4,9}t^2 &
Значення $t=\pm12,19$ перетворюють функцію в лівій частині нерівності на нуль і розбивають числову вісь на три проміжки:
Розглянемо знаки, які прийматимуть множники лівої частини:
$(-\infty;-12,19)$
$(-12,19;12,19)$
$(12,19;\infty)$
$(t - 12,19)$
$-$
$-$
$+$
$(t + 12,19)$
$-$
$+$
$+$
Відповідно вся ліва частина має знаки:
$(-\infty;-12,19)$
$(-12,19;12,19)$
$(12,19;\infty)$
$(t - 12,19)(t + 12,19)$
$+$
$-$
$+$
Бачимо, що при переході крізь точки $-12,19;12,19$ функція змінює свій знак.
Нам потрібен той інтервал, де функція є від’ємною – тобто $t \in (-12,19;12,19)$.
Тепер потрібно включити здоровий глузд і згадати, що час – величина невід’ємна (про квантову фізику та проблему 2038 року поговоримо якось іншим разом), тому треба накласти додаткову умову: $t\geq0$.
В результаті маємо підсумковий розв’язок:
$t \in (0;12,19)$
Отже, ці бентежні хлопці мали трохи більше, ніж $12$ секунд для того, щоб насолодитися вільним падінням безпечно для життя.
На перший погляд, це мало часу, але в нашому світі все відносне. Ось, наприклад, цей хлопчина за той саме час ($12,2$ секунди) зробив $165$ оплесків долонями, а всього за хвилину – $804$! Також погляньте на ось таку підбірку найшвидших збирань кубика Рубика. Вражає, чи не так?
Тепер перейдемо до розгляду раціональних нерівностей.
Визначення Раціональна нерівність — це нерівність вигляду $P(x) > 0$ або $P(x)
Наприклад: $x^2>0;\quad x^2-3>x;\quad(x-2)(x+3)(x-5)^2\leq0;\quad x^4-5x^3+x-7
Якою на вашу думку була швидкість стрибунів на момент відкриття парашуту? $30$ м/с $60$ м/с $90$ м/с $120$ м/с
Last modified 3yr ago
Copy link