> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://math.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://math.ed-era.com/proports.md).
# Пропорції та відсотки
Визначення **Пропорцiя** — рiвнiсть двох вiдношень вигляду \\(a:b=c:d\\) або \\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\\). Члени \\(a\\) та \\(d\\) називають крайнiми членами пропорцiї, а \\(b\\) та \\(c\\) — середнiми.
Часто пропорцiю записують у виглядi:
$$a \quad — \quad c$$
$$b \quad — \quad d$$
**Основна властивiсть пропорцiї** – добуток крайнiх членiв дорiвнює добутку середнiх членiв:
$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc.$$
Наприклад: $$\dfrac{55}{13} = \dfrac{110}{26} \Rightarrow 55\cdot26 = 13\cdot110 = 1430.$$
**Властивiсть переставляння**. Якщо у пропорцiї помiняти мiсцями крайнi або середнi члени, або i тi i тi, знову вийде пропорцiя. Iншими словами можна переставляти члени пропорцiї «хрест-навхрест»:
$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d} \Rightarrow \dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a} \Rightarrow \dfrac{d}{c}=\dfrac{b}{a}.$$
Як видно зi спiввiдношень вище випливає **властивiсть обернення – можна перевернути обидва дроби пропорцiї i рiвнiсть не порушиться.**
Алгоритм **Знаходження невiдомого члена пропорцiї** Для того щоб знайти невiдомий член пропорцiї необхiдно скористатись основною властивiстю пропорцiї, пiсля чого подiлити обидвi частини на член пропорцiї, що стоїть разом з невiдомим.\
Нехай невiдоме $$c = x:$$
$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{x}{d} \Rightarrow ad = bx \Rightarrow x = \dfrac{ad}{b}.$$\
Нехай невiдоме $$b = x:$$
$$\dfrac{a}{x} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow ad = xc \Rightarrow x = \dfrac{ad}{c}.$$
Таким же чином можна знайти невiдомi $$a$$ чи $$d$$.
**Прямо пропорцiйнi величини.**
Двi величини $$x$$ та $$y$$ прямо пропорцiйнi, якщо збiльшити (зменшити) в певну кiлькiсть разiв першу, при цьому друга збiльшиться (зменшиться) у таку ж кiлькiсть разiв. «Кiлькiсть разiв» називають коефiцiєнтом пропорцiйностi $$k$$, а залежнiсть записують як: $$y = kx$$.
Приклад $$1$$ кг груш коштує $$15$$ грн., $$2$$ кг – вiдповiдно $$30$$ грн., $$3$$ кг – $$45$$ грн. i так далi.\
Тобто вартiсть груш є прямо пропорцiйною до кiлькостi кiлограм: $$y=15\cdot x.$$
**Обернено пропорцiйнi величини.**
Двi величини $$x$$ та $$y$$ обернено пропорцiйнi, якщо збiльшити (зменшити) в певну кiлькiсть разiв першу, при цьому друга зменшиться (збiльшиться) у таку ж кiлькiсть разiв. «Кiлькiсть разiв» називають коефiцiєнтом пропорцiйностi $$k$$, а залежнiсть записують як: $$y=\dfrac{k}{x}.$$
Приклад Aвтiвка, що рухається зi швидкiстю $$50$$ км/год проходить вiдстань у $$25$$ км за $$30$$ хв.\
Якщо вона рухатиметься зi швидкiстю $$75$$ км/год, то їй вистачить $$20$$ хв.\
Тобто час руху є обернено пропорцiйним до швидкостi руху: $$v = \dfrac{25}{t}.$$
Визначення **Масштаб** — це вiдношення вiдстанi у сантиметрах мiж точками на картi до вiдстанi у сантиметрах мiж цими ж точками на мiсцевостi.
Масштаб $$1:1000000$$ значить, що $$1$$ см на картi вiдповiдають $$1000000$$ см = $$10000$$ м = $$10$$ км на мiсцевостi.
Відстань між Києвом та Одесою складає 480 км.\
Яким є масштаб карти, якщо виміряна лінійкою відстань - 96 см? 1:50000 1:100000 1:500000 1:1000000 1:2000000 Для того, щоб знайти необхідний масштаб потрібно скласти пропорцію.
$$96$$ см – $$480$$ км, $$1$$ – $$x$$.\
Переведемо $$480$$ км у см: $$480$$ км $$=480\cdot10^5$$ см.\
Знайдемо $$x$$: $$x=\dfrac{1\cdot480\cdot10^5}{96}=5\cdot10^5=500000$$.\
Отже масштаб складає $$1:500000.$$
Cкільки ця відстань складатиме на карті з масштабом 1:2000000? 12 см 18 см 20 см 24 см 36 см Для того, щоб знайти необхідну відстань потрібно скласти пропорцію.\
$$x$$ см – $$480$$ км, $$1 – 2000000$$.\
Переведемо $$480$$ км у см: $$480$$ км $$=480\cdot10^5$$ см.\
Знайдемо $$x$$: $$x=\dfrac{480\cdot10^5}{2000000}=24$$ см.\
Отже відстань складає $$24$$ см.