Пропорції та відсотки

Визначення Пропорцiя — рiвнiсть двох вiдношень вигляду \(a:b=c:d\) або \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\). Члени \(a\) та \(d\) називають крайнiми членами пропорцiї, а \(b\) та \(c\) — середнiми.

Часто пропорцiю записують у виглядi:

$$a \quad — \quad c$$

$$b \quad — \quad d$$

Основна властивiсть пропорцiї – добуток крайнiх членiв дорiвнює добутку середнiх членiв:

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc.$$

Наприклад: $$\dfrac{55}{13} = \dfrac{110}{26} \Rightarrow 55\cdot26 = 13\cdot110 = 1430.$$

Властивiсть переставляння. Якщо у пропорцiї помiняти мiсцями крайнi або середнi члени, або i тi i тi, знову вийде пропорцiя. Iншими словами можна переставляти члени пропорцiї «хрест-навхрест»:

$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d} \Rightarrow \dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a} \Rightarrow \dfrac{d}{c}=\dfrac{b}{a}.$$

Як видно зi спiввiдношень вище випливає властивiсть обернення – можна перевернути обидва дроби пропорцiї i рiвнiсть не порушиться.

Алгоритм Знаходження невiдомого члена пропорцiї Для того щоб знайти невiдомий член пропорцiї необхiдно скористатись основною властивiстю пропорцiї, пiсля чого подiлити обидвi частини на член пропорцiї, що стоїть разом з невiдомим. Нехай невiдоме $$c = x:$$

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{x}{d} \Rightarrow ad = bx \Rightarrow x = \dfrac{ad}{b}.$$ Нехай невiдоме $$b = x:$$

$$\dfrac{a}{x} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow ad = xc \Rightarrow x = \dfrac{ad}{c}.$$

Таким же чином можна знайти невiдомi $$a$$ чи $$d$$.

Прямо пропорцiйнi величини.

Двi величини $$x$$ та $$y$$ прямо пропорцiйнi, якщо збiльшити (зменшити) в певну кiлькiсть разiв першу, при цьому друга збiльшиться (зменшиться) у таку ж кiлькiсть разiв. «Кiлькiсть разiв» називають коефiцiєнтом пропорцiйностi $$k$$, а залежнiсть записують як: $$y = kx$$.

Приклад $$1$$ кг груш коштує $$15$$ грн., $$2$$ кг – вiдповiдно $$30$$ грн., $$3$$ кг – $$45$$ грн. i так далi. Тобто вартiсть груш є прямо пропорцiйною до кiлькостi кiлограм: $$y=15\cdot x.$$

Обернено пропорцiйнi величини.

Двi величини $$x$$ та $$y$$ обернено пропорцiйнi, якщо збiльшити (зменшити) в певну кiлькiсть разiв першу, при цьому друга зменшиться (збiльшиться) у таку ж кiлькiсть разiв. «Кiлькiсть разiв» називають коефiцiєнтом пропорцiйностi $$k$$, а залежнiсть записують як: $$y=\dfrac{k}{x}.$$

Приклад Aвтiвка, що рухається зi швидкiстю $$50$$ км/год проходить вiдстань у $$25$$ км за $$30$$ хв. Якщо вона рухатиметься зi швидкiстю $$75$$ км/год, то їй вистачить $$20$$ хв. Тобто час руху є обернено пропорцiйним до швидкостi руху: $$v = \dfrac{25}{t}.$$

Визначення Масштаб — це вiдношення вiдстанi у сантиметрах мiж точками на картi до вiдстанi у сантиметрах мiж цими ж точками на мiсцевостi.

Масштаб $1:1000000$ значить, що $1$ см на картi вiдповiдають $1000000$ см = $10000$ м = $10$ км на мiсцевостi.

Відстань між Києвом та Одесою складає 480 км. Яким є масштаб карти, якщо виміряна лінійкою відстань - 96 см? 1:50000 1:100000 1:500000 1:1000000 1:2000000 Для того, щоб знайти необхідний масштаб потрібно скласти пропорцію.

$$96$$ см – $$480$$ км, $$1$$ – $$x$$. Переведемо $$480$$ км у см: $$480$$ км $$=480\cdot10^5$$ см. Знайдемо $$x$$: $$x=\dfrac{1\cdot480\cdot10^5}{96}=5\cdot10^5=500000$$. Отже масштаб складає $$1:500000.$$

Cкільки ця відстань складатиме на карті з масштабом 1:2000000? 12 см 18 см 20 см 24 см 36 см Для того, щоб знайти необхідну відстань потрібно скласти пропорцію. $$x$$ см – $$480$$ км, $$1 – 2000000$$. Переведемо $$480$$ км у см: $$480$$ км $$=480\cdot10^5$$ см. Знайдемо $$x$$: $$x=\dfrac{480\cdot10^5}{2000000}=24$$ см. Отже відстань складає $$24$$ см.