Показниковi та логарифмiчнi тотожностi

Далі наведено основні показникові тотожності, частину з яких вже було наведено при означенні степеня, решта – при означенні кореня.

В показникових тотожностях основа завжди приймається додатною (це далі не вказується), отже $$a^x>0$$ – завжди більше від нуля.

Основні показникові тотожності:

1. $$a^0=1$$.

2. $$a^1=a$$.

3. $$a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$$.

4. $$a^{x+y}=a^x\cdot a^y$$.

   Наприклад: $$7^{3+x}=7^3\cdot7^x=343\cdot7^x.$$

5. $$a^{x-y}=\dfrac{a^x}{a^y}$$.

   Наприклад: $$7^{x-3}=7^{-3}\cdot7^x=\dfrac{1}{343}\cdot7^x.$$

6. $$a^{xy}=(a^x)^y=(a^y)^x$$.

   Наприклад: $$625^x=(5^4)^x=5^{4x}.$$

7. $$a^{\frac{x}{y}}=\sqrt[y]{a^x}, y\in\mathbb{N}$$.

   Наприклад: $$3^{\frac{x}{2-x}}=\sqrt[2-x]{3^x}.$$

8. $$a^x\cdot b^x=(ab)^x$$.

   Наприклад: $$3^x\cdot4^x=(3\cdot4)^x=12^x.$$

9. $$\dfrac{a^x}{b^x}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^x$$.

   Наприклад: $$\dfrac{5^x}{3^x}=\left(\dfrac{5}{3}\right)^x.$$