Дробово-раціональні рівняння

Дробово-раціональні рівняння

Загальні відомості

Одне з найшвидших серійних авто у світі – Mercedes-AMG C63 — може з місця прискоритись до $100$ км/год за $4,1$ с, маючи при цьому максимальну швидкість $250$ км/год.
А тепер погляньте на болід Ferrari гоночної серії Формула $1$.
Цей красень зривається з місця до $100$ км/год за $1,7$ с, до $200$ км/год за $3,8$ с та має максимальну швидкість приблизно $350$ км/год! Неймовірно, чи не так?
Уявіть, яку перевагу болід Формули $1$ матиме на трасі над суперкаром Mercedes.
Ось це відео – чудова демонстрація цьому.
Додамо трошки математики.
Траса Ґран-Прі Формули $1$ «Альберт Парк» у Мельбурні, Австралія, завдовжки $5303$ метри. Болід Формули $1$ пройшов повне коло на $47,3$ с швидше за Mercedes. При цьому середня швидкість Mercedes на одному колі була на $60$ км/год меншою. Якщо представити середню швидкість на колі як $x$, тоді час проходження одного кола можна описати таким чином:
$\underbrace{\dfrac{5,303\thinspace км}{x\thinspace -\thinspace 60\thinspace км/год}}_{суперкар\thinspace Mercedes}$ $-$ $\underbrace{\dfrac{5,303\thinspace км}{x}}_{болід\thinspace F1}$ $=$ $\underbrace{47,3\thinspace с\thinspace \cdot \dfrac{1\thinspace год}{3600\thinspace с}}_{різниця\thinspace часу}$
Тепер можна відшукати середню швидкість боліда F$1$.
Зведемо всі доданки до спільного знаменника:
$\dfrac{5,303}{x-60} - \dfrac{5,303}{x} = \dfrac{47,3}{3600}$
Вихідне рівняння
$\dfrac{5,303}{x-60} - \dfrac{5,303}{x} \color{#1570bd}- \dfrac{\color{#1570bd}4\color{#1570bd}7\color{#1570bd},\color{#1570bd}3}{\color{#1570bd}3\color{#1570bd}6\color{#1570bd}0\color{#1570bd}0} = \dfrac{47,3}{3600} \color{#1570bd}- \dfrac{\color{#1570bd}4\color{#1570bd}7\color{#1570bd},\color{#1570bd}3}{\color{#1570bd}3\color{#1570bd}6\color{#1570bd}0\color{#1570bd}0}$
Віднімаємо $\dfrac{47,3}{3600}$ від обох частин
$\dfrac{5,303}{x-60} - \dfrac{5,303}{x} - \dfrac{47,3}{3600} = 0$
Спрощуємо
$\dfrac{-47,3x^2 + 2838x + 1145448}{3600x(x - 60)} = 0$
Зводимо до спільного знаменника
Маємо раціональний дріб. Пригадаємо умову рівності дробу нулеві (див. розділ 5 Корінь та його властивості):
$\begin{cases} M=0\\ N \neq 0 \end{cases} \Longrightarrow \dfrac{M}{N} = 0$
Почнемо з першої умови і розв’язуємо рівняння з чисельника:
$\dfrac{5,303}{x-60} - \dfrac{5,303}{x} = \dfrac{47,3}{3600}$
Вихідне рівняння
$2838^2 - 4\cdot (-47,3)\cdot 1145448 = 224773006$
Шукаємо дискримінант
$\dfrac{-2838\pm \sqrt{224773005,6}}{2\cdot (-47,3)} = 0$
Дискримінант додатний, шукаємо корені
$\left[ \begin{array}{} x_1 \approx 188,5 \\ x_2 \approx -128,5 \end{array} \right.$
Спрощуємо та обчислюємо значення коренів
Друга умова: перевіряємо знайдені корені на відповідність ОДЗ – при цих значеннях знаменник не повинен дорівнювати нулеві. Зі знаменника легко побачити, що ОДЗ: $x\neq0,x\neq60$. Знайдені корені цю умову задовольняють.
З двох знайдених коренів залишаємо тільки додатне значення швидкості боліда з точки зору здорового глузду.
Таким чином, середня швидкість на колі боліда F$1$ склала $188,5$ км/год, а суперкара Mercedes AMG C$65$ – на $60$ км/год менше, тобто $128,5$ км/год.
Формула $1$ є найбільш інноваційним та технологічно розвиненим видом автоспорту. Середня швидкість в гонці є найбільшою серед всіх гоночних серій. Цього вдається досягти за допомогою використання переднього та заднього антикрил, а також ідеального аеродинамічного профілю, що на високих швидкостях дають притисну силу в $3000$ кг для боліда вагою всього-на-всього $650$ кг.
Дуже раджу подивитись випуск програми «Інженерні ідеї з Річардом Хамондом» про Формулу $1$:
Last modified 2yr ago