# Дробово-раціональні рівняння

## Дробово-раціональні рівняння

## Загальні відомості

Одне з найшвидших серійних авто у світі – Mercedes-AMG C63 — може з місця прискоритись до $$100$$ км/год за $$4,1$$ с, маючи при цьому максимальну швидкість $$250$$ км/год.

А тепер погляньте на болід Ferrari гоночної серії Формула $$1$$.

Цей красень зривається з місця до $$100$$ км/год за $$1,7$$ с, до $$200$$ км/год за $$3,8$$ с та має максимальну швидкість приблизно $$350$$ км/год! Неймовірно, чи не так?

Уявіть, яку перевагу болід Формули $$1$$ матиме на трасі над суперкаром Mercedes.

Ось це відео – чудова демонстрація цьому.

Додамо трошки математики.

Траса Ґран-Прі Формули $$1$$ «Альберт Парк» у Мельбурні, Австралія, завдовжки $$5303$$ метри. Болід Формули $$1$$ пройшов повне коло на $$47,3$$ с швидше за Mercedes. При цьому середня швидкість Mercedes на одному колі була на $$60$$ км/год меншою. Якщо представити середню швидкість на колі як $$x$$, тоді час проходження одного кола можна описати таким чином:

 $$\underbrace{\dfrac{5,303\thinspace км}{x\thinspace -\thinspace 60\thinspace км/год}}\_{суперкар\thinspace Mercedes}$$ $$-$$ $$\underbrace{\dfrac{5,303\thinspace км}{x}}\_{болід\thinspace F1}$$ $$=$$ $$\underbrace{47,3\thinspace с\thinspace \cdot \dfrac{1\thinspace год}{3600\thinspace с}}\_{різниця\thinspace часу}$$

Тепер можна відшукати середню швидкість боліда F$$1$$.

Зведемо всі доданки до спільного знаменника:

| $$\dfrac{5,303}{x-60} - \dfrac{5,303}{x} = \dfrac{47,3}{3600}$$                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         | Вихідне рівняння                                  |
| --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------- |
| $$\dfrac{5,303}{x-60} - \dfrac{5,303}{x} \color{#1570bd}- \dfrac{\color{#1570bd}4\color{#1570bd}7\color{#1570bd},\color{#1570bd}3}{\color{#1570bd}3\color{#1570bd}6\color{#1570bd}0\color{#1570bd}0} = \dfrac{47,3}{3600} \color{#1570bd}- \dfrac{\color{#1570bd}4\color{#1570bd}7\color{#1570bd},\color{#1570bd}3}{\color{#1570bd}3\color{#1570bd}6\color{#1570bd}0\color{#1570bd}0}$$ | Віднімаємо $$\dfrac{47,3}{3600}$$ від обох частин |
| $$\dfrac{5,303}{x-60} - \dfrac{5,303}{x} - \dfrac{47,3}{3600} = 0$$                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     | Спрощуємо                                         |
| $$\dfrac{-47,3x^2 + 2838x + 1145448}{3600x(x - 60)} = 0$$                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               | Зводимо до спільного знаменника                   |

Маємо раціональний дріб. Пригадаємо умову рівності дробу нулеві (див. розділ 5 [Корінь та його властивості](http://math.ed-era.com/4/drobovo-ratsionalni_virazi.html)):

$$\begin{cases} M=0\\\ N \neq 0 \end{cases} \Longrightarrow \dfrac{M}{N} = 0$$

Почнемо з **першої умови** і розв’язуємо рівняння з чисельника:

| $$\dfrac{5,303}{x-60} - \dfrac{5,303}{x} = \dfrac{47,3}{3600}$$                            | Вихідне рівняння                         |
| ------------------------------------------------------------------------------------------ | ---------------------------------------- |
| $$2838^2 - 4\cdot (-47,3)\cdot 1145448 = 224773006$$                                       | Шукаємо дискримінант                     |
| $$\dfrac{-2838\pm \sqrt{224773005,6}}{2\cdot (-47,3)} = 0$$                                | Дискримінант додатний, шукаємо корені    |
| $$\left\[ \begin{array}{} x\_1 \approx 188,5 \\\ x\_2 \approx -128,5 \end{array} \right.$$ | Спрощуємо та обчислюємо значення коренів |

**Друга умова**: перевіряємо знайдені корені на відповідність ОДЗ – при цих значеннях знаменник не повинен дорівнювати нулеві. Зі знаменника легко побачити, що ОДЗ: $$x\neq0,x\neq60$$. Знайдені корені цю умову задовольняють.

З двох знайдених коренів залишаємо тільки додатне значення швидкості боліда з точки зору здорового глузду.

Таким чином, середня швидкість на колі боліда F$$1$$ склала $$188,5$$ км/год, а суперкара Mercedes AMG C$$65$$ – на $$60$$ км/год менше, тобто $$128,5$$ км/год.

Формула $$1$$ є найбільш інноваційним та технологічно розвиненим видом автоспорту. Середня швидкість в гонці є найбільшою серед всіх гоночних серій. Цього вдається досягти за допомогою використання переднього та заднього антикрил, а також ідеального аеродинамічного профілю, що на високих швидкостях дають притисну силу в $$3000$$ кг для боліда вагою всього-на-всього $$650$$ кг.

Дуже раджу подивитись випуск програми «Інженерні ідеї з Річардом Хамондом» про Формулу $$1$$:


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/zagaln_vdomost-2.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.