Дробово-раціональні рівняння
Одне з найшвидших серійних авто у світі – Mercedes-AMG C63 — може з місця прискоритись до $$100$$ км/год за $$4,1$$ с, маючи при цьому максимальну швидкість $$250$$ км/год.
А тепер погляньте на болід Ferrari гоночної серії Формула $$1$$.
Цей красень зривається з місця до $$100$$ км/год за $$1,7$$ с, до $$200$$ км/год за $$3,8$$ с та має максимальну швидкість приблизно $$350$$ км/год! Неймовірно, чи не так?
Уявіть, яку перевагу болід Формули $$1$$ матиме на трасі над суперкаром Mercedes.
Ось це відео – чудова демонстрація цьому.
Додамо трошки математики.
Траса Ґран-Прі Формули $$1$$ «Альберт Парк» у Мельбурні, Австралія, завдовжки $$5303$$ метри. Болід Формули $$1$$ пройшов повне коло на $$47,3$$ с швидше за Mercedes. При цьому середня швидкість Mercedes на одному колі була на $$60$$ км/год меншою. Якщо представити середню швидкість на колі як $$x$$, тоді час проходження одного кола можна описати таким чином:
$$\underbrace{\dfrac{5,303\thinspace км}{x\thinspace -\thinspace 60\thinspace км/год}}_{суперкар\thinspace Mercedes}$$ $$-$$ $$\underbrace{\dfrac{5,303\thinspace км}{x}}_{болід\thinspace F1}$$ $$=$$ $$\underbrace{47,3\thinspace с\thinspace \cdot \dfrac{1\thinspace год}{3600\thinspace с}}_{різниця\thinspace часу}$$
Тепер можна відшукати середню швидкість боліда F$$1$$.
Зведемо всі доданки до спільного знаменника:
$$\dfrac{5,303}{x-60} - \dfrac{5,303}{x} = \dfrac{47,3}{3600}$$ | Вихідне рівняння |
$$\dfrac{5,303}{x-60} - \dfrac{5,303}{x} \color{#1570bd}- \dfrac{\color{#1570bd}4\color{#1570bd}7\color{#1570bd},\color{#1570bd}3}{\color{#1570bd}3\color{#1570bd}6\color{#1570bd}0\color{#1570bd}0} = \dfrac{47,3}{3600} \color{#1570bd}- \dfrac{\color{#1570bd}4\color{#1570bd}7\color{#1570bd},\color{#1570bd}3}{\color{#1570bd}3\color{#1570bd}6\color{#1570bd}0\color{#1570bd}0}$$ | Віднімаємо $$\dfrac{47,3}{3600}$$ від обох частин |
$$\dfrac{5,303}{x-60} - \dfrac{5,303}{x} - \dfrac{47,3}{3600} = 0$$ | Спрощуємо |
$$\dfrac{-47,3x^2 + 2838x + 1145448}{3600x(x - 60)} = 0$$ | Зводимо до спільного знаменника |
Маємо раціональний дріб. Пригадаємо умову рівності дробу нулеві (див. розділ 5 Корінь та його властивості):
$$\begin{cases} M=0\\ N \neq 0 \end{cases} \Longrightarrow \dfrac{M}{N} = 0$$
Почнемо з першої умови і розв’язуємо рівняння з чисельника:
$$\dfrac{5,303}{x-60} - \dfrac{5,303}{x} = \dfrac{47,3}{3600}$$ | Вихідне рівняння |
$$2838^2 - 4\cdot (-47,3)\cdot 1145448 = 224773006$$ | Шукаємо дискримінант |
$$\dfrac{-2838\pm \sqrt{224773005,6}}{2\cdot (-47,3)} = 0$$ | Дискримінант додатний, шукаємо корені |
$$\left[ \begin{array}{} x_1 \approx 188,5 \\ x_2 \approx -128,5 \end{array} \right.$$ | Спрощуємо та обчислюємо значення коренів |
Друга умова: перевіряємо знайдені корені на відповідність ОДЗ – при цих значеннях знаменник не повинен дорівнювати нулеві. Зі знаменника легко побачити, що ОДЗ: $$x\neq0,x\neq60$$. Знайдені корені цю умову задовольняють.
З двох знайдених коренів залишаємо тільки додатне значення швидкості боліда з точки зору здорового глузду.
Таким чином, середня швидкість на колі боліда F$$1$$ склала $$188,5$$ км/год, а суперкара Mercedes AMG C$$65$$ – на $$60$$ км/год менше, тобто $$128,5$$ км/год.
Формула $$1$$ є найбільш інноваційним та технологічно розвиненим видом автоспорту. Середня швидкість в гонці є найбільшою серед всіх гоночних серій. Цього вдається досягти за допомогою використання переднього та заднього антикрил, а також ідеального аеродинамічного профілю, що на високих швидкостях дають притисну силу в $$3000$$ кг для боліда вагою всього-на-всього $$650$$ кг.
Дуже раджу подивитись випуск програми «Інженерні ідеї з Річардом Хамондом» про Формулу $$1$$: