Лiнiйнi та квадратнi рiвняння

Рівняння та його корені

Загальні відомості

Визначення Алгебраїчне рівняння — це рівність вигляду $P(x_1, x_2,\dots,x_n) = 0$, де $P$ — многочлен від змінних $x_1, x_2,\dots,x_n$, які ще називають невідомими.
Степенем рівняння називають степінь многочлена $P$.
Наприклад: $x^5+yx^4+\sqrt{3x} = 0$ — алгебраїчне рівняння п’ятого степеня від двох змінних.
Надалі будемо розглядати рівняння від однієї змінної. Як правило, ця змінна позначається $x$.
Визначення Корінь рівняння — це значення змінної $x = a$, при якому рівняння перетворюється на правильну рівність: $P(a) = 0$. Таких значень може бути декілька.
Розв’язати рівняння означає знайти множину всіх його розв’язків (коренів) або ж довести, що коренів немає. Множина коренів може мати один, два, три і т.д. елементів, може бути порожньою множиною ($x \in \emptyset$), або ж нескінченою множиною ($x \in \mathbb{R}$).
Рівняння не може мати більше коренів, ніж степінь цього рівняння.
Приклад
1. Рівняння $x + 5 = 1$ має один корінь: $x = -4$.
2. Рівняння $(x - 4)(x - 3)(x + 3) = 0$ має три корені: $-3, 3$ та $4$. Кожне з цих значень перетворює добуток $(x - 4)(x - 3)(x + 3)$ на нуль, а при будь-яких інших значеннях — ні.
3. Рівняння $3x = 3x - 1$ не має коренів, бо права частина при будь-яких значеннях $x$ буде меншою за ліву.
4. Рівняння $2x + 6 = 2(x + 3)$ має нескінченну кількість коренів, бо після розкриття дужок ліва частина рівняння дорівнюватиме правій при будь-яких значеннях $x$.
Визначення Область визначення рівняння — це ОДЗ змінної рівняння, тобто множина значень змінної, при яких обидві частини рівняння є змістовними.
Рівносильними називають рівняння, множини розв’язків яких збігаються. Між рівносильними рівняннями ставлять значок $\Longleftrightarrow$.
Наприклад: рівняння $(x - 5)(x + 5) = 0$ та $x^2 = 25$ мають одні й ті самі корені: $-5$ та $5$. Тому можна записати $(x - 5)(x + 5) = 0 \Longleftrightarrow x^2 = 25$.
Скільки коренів має рівняння $x+3=0$? $1$ $2$ $3$ $4$
Скільки коренів має рівняння $(x+3)(x+3)(x-2)(x+5)=0$? $1$ $2$ $3$ $4$
Last modified 2yr ago