# Лiнiйнi та квадратнi рiвняння

## Рівняння та його корені

## Загальні відомості

 Визначення **Алгебраїчне рівняння** — це рівність вигляду $$P(x\_1, x\_2,\dots,x\_n) = 0$$, де $$P$$ — многочлен від змінних $$x\_1, x\_2,\dots,x\_n$$, які ще називають невідомими.

**Степенем рівняння** називають степінь многочлена $$P$$.

Наприклад: $$x^5+yx^4+\sqrt{3x} = 0$$ — алгебраїчне рівняння п’ятого степеня від двох змінних.

Надалі будемо розглядати рівняння від однієї змінної. Як правило, ця змінна позначається $$x$$.

 Визначення **Корінь рівняння** — це значення змінної $$x = a$$, при якому рівняння перетворюється на правильну рівність: $$P(a) = 0$$. Таких значень може бути декілька.

Розв’язати рівняння означає знайти множину всіх його розв’язків (коренів) або ж довести, що коренів немає. Множина коренів може мати один, два, три і т.д. елементів, може бути порожньою множиною ($$x \in \emptyset$$), або ж нескінченою множиною ($$x \in \mathbb{R}$$).

Рівняння не може мати більше коренів, ніж степінь цього рівняння.

 Приклад

1\. Рівняння $$x + 5 = 1$$ має один корінь: $$x = -4$$.

2\. Рівняння $$(x - 4)(x - 3)(x + 3) = 0$$ має три корені: $$-3, 3$$ та $$4$$. Кожне з цих значень перетворює добуток $$(x - 4)(x - 3)(x + 3)$$ на нуль, а при будь-яких інших значеннях — ні.

3\. Рівняння $$3x = 3x - 1$$ не має коренів, бо права частина при будь-яких значеннях $$x$$ буде меншою за ліву.

4\. Рівняння $$2x + 6 = 2(x + 3)$$ має нескінченну кількість коренів, бо після розкриття дужок ліва частина рівняння дорівнюватиме правій при будь-яких значеннях $$x$$.

 Визначення **Область визначення рівняння** — це ОДЗ змінної рівняння, тобто множина значень змінної, при яких обидві частини рівняння є змістовними.

Рівносильними називають рівняння, множини розв’язків яких збігаються. Між рівносильними рівняннями ставлять значок $$\Longleftrightarrow$$.

Наприклад: рівняння $$(x - 5)(x + 5) = 0$$ та $$x^2 = 25$$ мають одні й ті самі корені: $$-5$$ та $$5$$. Тому можна записати $$(x - 5)(x + 5) = 0 \Longleftrightarrow x^2 = 25$$.

Скільки коренів має рівняння $$x+3=0$$? $$1$$ $$2$$ $$3$$ $$4$$

Скільки коренів має рівняння $$(x+3)(x+3)(x-2)(x+5)=0$$? $$1$$ $$2$$ $$3$$ $$4$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/zagaln_vdomost-1.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.