# Розв’язання задач на спiльну виконану роботу (задачi на продуктивнiсть)

У ЗНО часто зустрiчаються задачi, в яких йде мова про виконання спiльної роботи: копання грядок, виготовлення деталей, заповнення басейну водою з декiлькох труб тощо.

У всiх цих задачах використовуються однi й тi самi три параметри:

* об’єм роботи: $$S;$$
* час виконання роботи: $$t;$$
* продуктивнiсть: $$v$$ (швидкiсть виконання).

Цi параметри пов’язанi спiввiдношенням:

**Об’єм роботи** = **продуктивність $$\times$$ час $$\Longleftrightarrow$$ $$\boldsymbol{S=v\cdot t}.$$**

Якщо об’єм роботи не вказаний – його краще прийняти рівним одиниці для спрощення розрахунків.

Ключовим знанням для розв’язку задач на продуктивність є те, що **швидкість спільної роботи рівна сумі індивідуальних швидкостей виконання робіт:**

$$v\_{\Sigma} = v\_{1} + v\_{2} = \dfrac{S}{t\_{1}} + \dfrac{S}{t\_{2}}.$$

 Приклад

Двi труби заповнюють басейн за $$12$$ хвилин. Перша труба працюючи окремо може заповнити басейн за $$20$$ хвилин. За скiльки заповнить басейн друга труба?

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Приймаємо об'єм роботи $$S=1$$ (наповнити повний басейн). Час заповнення басейну першою трубою - $$t\_1 = 20$$ хвилин, отже її продуктивність рівна $$v\_{1} = \dfrac{S}{t\_{1}} = \dfrac{1}{20}$$. Нехай друга труба заповнює басейн за $$t\_2 = x$$ хвилин, отже її продуктивність рівна $$v\_{2} = \dfrac{S}{t\_{2}} = \dfrac{1}{x}.$$Час спільної роботи дорівнює $$t\_{\Sigma} = 12$$ хвилин, тоді спільна продуктивність рівна $$v\_{\Sigma} = \dfrac{S}{t\_{\Sigma}} = \dfrac{1}{12}$$, звідки випливає наступне рівняння:$$v\_{\Sigma} = v\_{1} + v\_{2} \Longrightarrow \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{x}.$$Звідки $$x = 30.$$**Вiдповiдь.** $$30$$ хвилин.

За який час менша труба самостійно заповний весь резервуар? (відповідь округліть до найближчого цілого числа) 57 c 109 c 237 c 119 c 432 c

Нехай $$V$$ — об'єм склянки. $$t$$ — час заповнення великою трубкою, який складає $$38,77$$ с, $$x$$ — час заповнення малою трубкою. Тоді $$S\_B = \dfrac{V}{t}$$ — швидкість заповнення великою трубкою, а $$S\_M = \dfrac{V}{x}$$ — швидкість заповнення малою трубкою.

Мала трубка заповнює частину об'єму за час $$38,77$$ с, іншу частину цього об'єму трубки заповнюють разом за $$19,71$$ с.\
З цих даних складаємо рівняння:

$$V = 38,77\cdot S\_M + 19,71\cdot(S\_M+S\_B)$$.

$$V=38,77\cdot\dfrac{V}{x}+19,71\cdot(\dfrac{V}{x}+\dfrac{V}{38,77})$$

$$1 = 38,77\cdot\dfrac{1}{x}+19,71\cdot(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{38,77})$$

$$1 - \dfrac{19,71}{38,77}= \dfrac{58,48}{x}$$

$$\dfrac{19,06}{38,77}= \dfrac{58,48}{x}$$

$$19,06\cdot x = 58,48\cdot38,77$$

$$x = \dfrac{58,48\cdot38,77}{19,06}=118,95\approx119$$