Розв’язання задач на спiльну виконану роботу (задачi на продуктивнiсть)

У ЗНО часто зустрiчаються задачi, в яких йде мова про виконання спiльної роботи: копання грядок, виготовлення деталей, заповнення басейну водою з декiлькох труб тощо.

У всiх цих задачах використовуються однi й тi самi три параметри:

• об’єм роботи: $S;$​

• час виконання роботи: $t;$​

• продуктивнiсть: $v$ (швидкiсть виконання).

Цi параметри пов’язанi спiввiдношенням:

Об’єм роботи = продуктивність $$\times$$ час $$\Longleftrightarrow$$ $$\boldsymbol{S=v\cdot t}.$$

Якщо об’єм роботи не вказаний – його краще прийняти рівним одиниці для спрощення розрахунків.

Ключовим знанням для розв’язку задач на продуктивність є те, що швидкість спільної роботи рівна сумі індивідуальних швидкостей виконання робіт:

$$v_{\Sigma} = v_{1} + v_{2} = \dfrac{S}{t_{1}} + \dfrac{S}{t_{2}}.$$

Приклад

Двi труби заповнюють басейн за $$12$$ хвилин. Перша труба працюючи окремо може заповнити басейн за $$20$$ хвилин. За скiльки заповнить басейн друга труба?

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Приймаємо об'єм роботи $$S=1$$ (наповнити повний басейн). Час заповнення басейну першою трубою - $$t_1 = 20$$ хвилин, отже її продуктивність рівна $$v_{1} = \dfrac{S}{t_{1}} = \dfrac{1}{20}$$. Нехай друга труба заповнює басейн за $$t_2 = x$$ хвилин, отже її продуктивність рівна $$v_{2} = \dfrac{S}{t_{2}} = \dfrac{1}{x}.$$Час спільної роботи дорівнює $$t_{\Sigma} = 12$$ хвилин, тоді спільна продуктивність рівна $$v_{\Sigma} = \dfrac{S}{t_{\Sigma}} = \dfrac{1}{12}$$, звідки випливає наступне рівняння:$$v_{\Sigma} = v_{1} + v_{2} \Longrightarrow \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{x}.$$Звідки $$x = 30.$$Вiдповiдь. $$30$$ хвилин.

За який час менша труба самостійно заповний весь резервуар? (відповідь округліть до найближчого цілого числа) 57 c 109 c 237 c 119 c 432 c

Нехай $$V$$ — об'єм склянки. $$t$$ — час заповнення великою трубкою, який складає $$38,77$$ с, $$x$$ — час заповнення малою трубкою. Тоді $$S_B = \dfrac{V}{t}$$ — швидкість заповнення великою трубкою, а $$S_M = \dfrac{V}{x}$$ — швидкість заповнення малою трубкою.

Мала трубка заповнює частину об'єму за час $$38,77$$ с, іншу частину цього об'єму трубки заповнюють разом за $$19,71$$ с. З цих даних складаємо рівняння:

$$V = 38,77\cdot S_M + 19,71\cdot(S_M+S_B)$$.

$$V=38,77\cdot\dfrac{V}{x}+19,71\cdot(\dfrac{V}{x}+\dfrac{V}{38,77})$$

$$1 = 38,77\cdot\dfrac{1}{x}+19,71\cdot(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{38,77})$$

$$1 - \dfrac{19,71}{38,77}= \dfrac{58,48}{x}$$

$$\dfrac{19,06}{38,77}= \dfrac{58,48}{x}$$

$$19,06\cdot x = 58,48\cdot38,77$$

$$x = \dfrac{58,48\cdot38,77}{19,06}=118,95\approx119$$