Розв’язання задач на спiльну виконану роботу (задачi на продуктивнiсть)
У ЗНО часто зустрiчаються задачi, в яких йде мова про виконання спiльної роботи: копання грядок, виготовлення деталей, заповнення басейну водою з декiлькох труб тощо.
У всiх цих задачах використовуються однi й тi самi три параметри:
  • об’єм роботи:
    S;S;
  • час виконання роботи:
    t;t;
  • продуктивнiсть:
    vv
    (швидкiсть виконання).
Цi параметри пов’язанi спiввiдношенням:
Об’єм роботи = продуктивність $\times$ час $\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol{S=v\cdot t}.$
Якщо об’єм роботи не вказаний – його краще прийняти рівним одиниці для спрощення розрахунків.
Ключовим знанням для розв’язку задач на продуктивність є те, що швидкість спільної роботи рівна сумі індивідуальних швидкостей виконання робіт:
$v_{\Sigma} = v_{1} + v_{2} = \dfrac{S}{t_{1}} + \dfrac{S}{t_{2}}.$
Приклад
Двi труби заповнюють басейн за $12$ хвилин. Перша труба працюючи окремо може заповнити басейн за $20$ хвилин. За скiльки заповнить басейн друга труба?
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Приймаємо об'єм роботи $S=1$ (наповнити повний басейн). Час заповнення басейну першою трубою - $t_1 = 20$ хвилин, отже її продуктивність рівна $v_{1} = \dfrac{S}{t_{1}} = \dfrac{1}{20}$. Нехай друга труба заповнює басейн за $t_2 = x$ хвилин, отже її продуктивність рівна $v_{2} = \dfrac{S}{t_{2}} = \dfrac{1}{x}.$Час спільної роботи дорівнює $t_{\Sigma} = 12$ хвилин, тоді спільна продуктивність рівна $v_{\Sigma} = \dfrac{S}{t_{\Sigma}} = \dfrac{1}{12}$, звідки випливає наступне рівняння:$v_{\Sigma} = v_{1} + v_{2} \Longrightarrow \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{x}.$Звідки $x = 30.$Вiдповiдь. $30$ хвилин.
За який час менша труба самостійно заповний весь резервуар? (відповідь округліть до найближчого цілого числа) 57 c 109 c 237 c 119 c 432 c
Нехай $V$ — об'єм склянки. $t$ — час заповнення великою трубкою, який складає $38,77$ с, $x$ — час заповнення малою трубкою. Тоді $S_B = \dfrac{V}{t}$ — швидкість заповнення великою трубкою, а $S_M = \dfrac{V}{x}$ — швидкість заповнення малою трубкою.
Мала трубка заповнює частину об'єму за час $38,77$ с, іншу частину цього об'єму трубки заповнюють разом за $19,71$ с. З цих даних складаємо рівняння:
$V = 38,77\cdot S_M + 19,71\cdot(S_M+S_B)$.
$V=38,77\cdot\dfrac{V}{x}+19,71\cdot(\dfrac{V}{x}+\dfrac{V}{38,77})$
$1 = 38,77\cdot\dfrac{1}{x}+19,71\cdot(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{38,77})$
$1 - \dfrac{19,71}{38,77}= \dfrac{58,48}{x}$
$\dfrac{19,06}{38,77}= \dfrac{58,48}{x}$
$19,06\cdot x = 58,48\cdot38,77$
$x = \dfrac{58,48\cdot38,77}{19,06}=118,95\approx119$
Last modified 2yr ago
Copy link