Математика: арифметика, рівняння та нерівності
  • Зміст
  • Вступне слово
  • Арифметика
    • Прості та складені числа
    • Ознаки подiльностi натуральних чисел
    • Дроби та дiї над ними
    • Модуль числа
  • Пропорції та відсотки
    • Відсотки
    • Розв’язання задач на спiльну виконану роботу (задачi на продуктивнiсть)
  • Одночлени та многочлени
    • Одночлен
    • Многочлен
    • Дiї над многочленами
    • Формули скороченого множення
    • Розкладання многочлена на множники
    • Бiном Ньютона
  • Корiнь та його властивостi
    • Квадратний корiнь та його основнi властивостi
    • Корінь n-го степеня та його основні властивості
    • Ірраціональні вирази
      • Доповнюючий множник
      • Звiльнення вiд iррацiональностi у знаменнику (чисельнику) iррацiонального дробу
      • Доповнюючi множники для основних типiв iррацiональностей у знаменнику (чисельнику)
    • Додаток
  • Показниковi та логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифм
    • Логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифмування та потенцiювання
  • Системи алгебраїчних рiвнянь
    • Метод підстановки
    • Метод алгебраїчного додавання
    • Метод заміни змінної
  • Лiнiйнi та квадратнi рiвняння
    • Лiнiйнi рiвняння
    • Квадратнi рiвняння
      • Неповні квадратні рівняння
      • Повне квадратне рівняння та дискримiнант
      • Факторизація квадратного рівняння (розкладання на множники)
      • Теорема Вiєта
    • Бiквадратнi рiвняння, та рівняння, що зводяться до квадратних
  • Iншi види цiлих рiвнянь
    • Цiлi рацiональнi рiвняння вищих степенів
      • Метод підбору коренів
      • Метод заміни змінної
    • Рiвняння з модулями
      • Метод інтервалів
    • Рівняння з параметрами
      • Лінійне рiвняння з параметрами
      • Квадратне рівняння з параметрами
  • Цілі нерівності
    • Основні властивості
    • Лiнiйнi нерiвностi
    • Система та сукупність нерівностей
    • Нерiвностi з модулями
  • Метод інтервалів
    • Метод інтервалів
    • Дробово-рацiональнi нерiвності
    • Нерiвностi з параметрами
  • Дробово-раціональні рівняння
    • Дробово-раціональне рівняння
    • Раціональні рівняння з параметрами
  • Ірраціональні рівняння
    • Корабель на горизонтi
    • Iррацiональнi рiвняння з квадратним коренем
    • Корабль поза горизонтом
  • Ірраціональні нерівності
    • Метод відокремлення кореня
    • Методологiя розв’язання в залежностi вiд парності/непарностi степеня кореня
    • Метод iнтервалiв для iррацiональних нерiвностей
    • Нерiвностi з параметрами
  • Показникові рівняння
    • Вік Землі та скам’янілостей
    • Показникові рівняння
    • Показникові нерівності
    • Степенево-показникові рівняння
    • Зведення до однiєї основи
      • Показникові рівняння
    • Винесення множника
    • Рiвняння особливих видiв
    • Використання властивостей функцiй (монотонностi)
    • Показниково - степеневi рiвняння
    • Рiвняння з параметрами
    • Системи рівнянь
  • Показникові нерівності
    • Властивостi показникової функцiї та класифікація типiв задач
    • Методи розв’язання окремих типiв задач
    • Степенево - показниковi нерiвностi
  • Логарифмічні рівняння
    • Логарифмiчнi рiвняння
    • Логарифмування та потенцiювання
    • Використання логарифмiчних тотожностей для розв’язання окремих типiв задач
    • Системи рівнянь
  • Логарифмічні нерівності
    • Використання властивостей логарифмiв для розв’язання рiзних типiв задач
    • Замiна змiнної в логарифмiчних нерiвностях
    • Показниково-логарифмiчнi нерiвностi
    • Нерiвностi з параметрами
Powered by GitBook
On this page

Was this helpful?

  1. Пропорції та відсотки

Розв’язання задач на спiльну виконану роботу (задачi на продуктивнiсть)

PreviousВідсоткиNextОдночлени та многочлени

Last updated 6 years ago

Was this helpful?

У ЗНО часто зустрiчаються задачi, в яких йде мова про виконання спiльної роботи: копання грядок, виготовлення деталей, заповнення басейну водою з декiлькох труб тощо.

У всiх цих задачах використовуються однi й тi самi три параметри:

  • об’єм роботи: S;S;S;

  • час виконання роботи: t;t;t;

  • продуктивнiсть: vvv (швидкiсть виконання).

Цi параметри пов’язанi спiввiдношенням:

Об’єм роботи = продуктивність $$\times$$ час $$\Longleftrightarrow$$ $$\boldsymbol{S=v\cdot t}.$$

Якщо об’єм роботи не вказаний – його краще прийняти рівним одиниці для спрощення розрахунків.

Ключовим знанням для розв’язку задач на продуктивність є те, що швидкість спільної роботи рівна сумі індивідуальних швидкостей виконання робіт:

$$v_{\Sigma} = v_{1} + v_{2} = \dfrac{S}{t_{1}} + \dfrac{S}{t_{2}}.$$

Приклад

Двi труби заповнюють басейн за $$12$$ хвилин. Перша труба працюючи окремо може заповнити басейн за $$20$$ хвилин. За скiльки заповнить басейн друга труба?

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Приймаємо об'єм роботи $$S=1$$ (наповнити повний басейн). Час заповнення басейну першою трубою - $$t_1 = 20$$ хвилин, отже її продуктивність рівна $$v_{1} = \dfrac{S}{t_{1}} = \dfrac{1}{20}$$. Нехай друга труба заповнює басейн за $$t_2 = x$$ хвилин, отже її продуктивність рівна $$v_{2} = \dfrac{S}{t_{2}} = \dfrac{1}{x}.$$Час спільної роботи дорівнює $$t_{\Sigma} = 12$$ хвилин, тоді спільна продуктивність рівна $$v_{\Sigma} = \dfrac{S}{t_{\Sigma}} = \dfrac{1}{12}$$, звідки випливає наступне рівняння:$$v_{\Sigma} = v_{1} + v_{2} \Longrightarrow \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{x}.$$Звідки $$x = 30.$$Вiдповiдь. $$30$$ хвилин.

За який час менша труба самостійно заповний весь резервуар? (відповідь округліть до найближчого цілого числа) 57 c 109 c 237 c 119 c 432 c

Нехай $$V$$ — об'єм склянки. $$t$$ — час заповнення великою трубкою, який складає $$38,77$$ с, $$x$$ — час заповнення малою трубкою. Тоді $$S_B = \dfrac{V}{t}$$ — швидкість заповнення великою трубкою, а $$S_M = \dfrac{V}{x}$$ — швидкість заповнення малою трубкою.

Мала трубка заповнює частину об'єму за час $$38,77$$ с, іншу частину цього об'єму трубки заповнюють разом за $$19,71$$ с. З цих даних складаємо рівняння:

$$V = 38,77\cdot S_M + 19,71\cdot(S_M+S_B)$$.

$$V=38,77\cdot\dfrac{V}{x}+19,71\cdot(\dfrac{V}{x}+\dfrac{V}{38,77})$$

$$1 = 38,77\cdot\dfrac{1}{x}+19,71\cdot(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{38,77})$$

$$1 - \dfrac{19,71}{38,77}= \dfrac{58,48}{x}$$

$$\dfrac{19,06}{38,77}= \dfrac{58,48}{x}$$

$$19,06\cdot x = 58,48\cdot38,77$$

$$x = \dfrac{58,48\cdot38,77}{19,06}=118,95\approx119$$