# Відсотки

 Визначення **Вiдсоток** — це сота доля числа, яка позначається $$\\%$$.

$$1 \\% = \dfrac{1}{100} \Rightarrow a \\% = \dfrac{a}{100}.$$ Вiдсотки не є розмiрною величиною.

Десятковий дрiб переводиться у вiдсотки множенням на $$100$$, знак $$\\%$$ дописується. Вiдсотки переводяться у десятковий дрiб дiленням на $$100$$, знак $$\\%$$ прибирається.

**Збiльшення числа** на $$p \\%$$ еквiвалентне множенню числа на $$\left(1 +\dfrac{p}{100}\right).$$

**Зменшення числа** на $$p \\%$$ еквiвалентне множенню числа на $$\left(1 -\dfrac{p}{100}\right).$$

**Щоб знайти** $$p$$ **вiдсоткiв вiд числа** $$a$$ необхiдно помножити число $$a$$ на вiдсотки $$p$$ (у виглядi десяткового дробу).

Наприклад: знайти $$55 \\%$$ вiд $$15$$: $$55 \\% = 0,55; \quad 15\cdot0,55 = 8,25.$$

Щоб **знайти число за даним значенням** $$b$$, **що складає** $$p$$ **вiдсоткiв** необхiдно зробити зворотне: роздiлити даний дрiб числа $$b$$ на вiдсотки $$p$$ (у виглядi десяткового дробу).

Наприклад: знайти число, якщо $$40 \\%$$ вiд нього складає $$8$$: $$40 \\% = 0,4;\quad \dfrac{8}{0,4}=20.$$

Щоб **знайти вiдсоткове вiдношення двох чисел** $$a$$ і $$b$$ необхiдно знайти їхню частку $$\dfrac{a}{b}$$ у виглядi десяткового дробу, та перевести його у вiдсотки (помножити на $$100$$ та дописати знак $$\\%$$).

Наприклад: знайти, який вiдсоток складає $$15$$ вiд $$60$$: $$\dfrac{15}{60}=\dfrac{1}{4}=0,25;\quad 0,25 = 25 \\%$$.

На початковому етапi знайомства з вiдсотками iнтуїтивно легше **користуватись пропорцiєю**.

 Приклад

Скiльки води потрiбно додати до $$10$$ г $$50 \\%$$ розчину солi, щоб розчин мiстив $$10 \\%$$ солi?

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Маса солi у $$50 \\%$$ розчинi: $$10\cdot50\\% = 10\cdot0,5=5$$(г). $$10 \\%$$ розчин мiстить $$90 \\%$$ води. Складаємо пропорцiю для нового розчину, $$x$$ – маса води у новому $$10 \\%$$ розчинi:$$\left. \begin{array}{l} 5\quad—\quad10\\%\\\ x\quad—\quad90\\% \end{array}\right\\} \Rightarrow x = \dfrac{5\cdot 90\\%}{10\\%} = 45$$ (г).Отже загальна маса води у новому розчині – $$45$$ г, але оскільки ми вже маємо у $$50 \\%$$ розчині $$5$$ г води, то нам потрібно додати ще $$40$$ г.**Вiдповiдь.** $$40$$ (г).

**Простi та складнi вiдсотки**. В задачах про грошовi вкладення або знижки на цiну товару часто зручно користуватись формулами простих та складних вiдсоткiв.

**Прості відсотки** нараховуються на початкову суму і величина нарахування є постійною сумою та не залежить від часу, що пройшов від моменту вкладу. Якщо банк виплачує клієнтові $$p$$ відсотків від початкової суми $$X\_0$$ щороку, на рахунку клієнта через $$n$$ років буде сума:

$$X\_1=X\_0+X\_0 \dfrac{p}{100};$$

$$X\_2=X\_1+X\_0 \dfrac{p}{100}=X\_0 \left(1+\dfrac{2p}{100}\right);$$

$$\vdots$$

$$X\_n=X\_0 \left(1+\dfrac{pn}{100}\right).$$

Як бачимо, щороку додається одна й та сама кiлькiсть грошей.

**Складні відсотки** нараховуються на поточну суму на рахунку і сума нарахування зростає з плином часу. Якщо банк виплачує клієнтові $$p$$ відсотків річних, на рахунку клієнта через $$n$$ років буде сума:

$$X\_1=X\_0 \left(1+\dfrac{p}{100}\right);$$

$$X\_2=X\_1 \left(1+\dfrac{p}{100}\right)=X\_0 \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^2;$$

$$\vdots$$

$$X\_n=X\_0 \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n.$$

Як бачимо, щороку додається все більша й більша сума (бо відсотки обчислюються з накопиченої суми). Аналогічна ситуація – коли на товар декілька разів нараховується знижка.

Отже, в обох пробірках по $$20$$ мл води. В першу додали $$7$$ грамів солі, в третю - $$2$$ грами.\
Яким вийшов перший розчин? $$20,6\\%$$ $$25,9\\%$$ $$35,0\\%$$ $$44,2\\%$$ $$53,8\\%$$ Загальна маса першого розчину з сіллю і водою складає $$20+7=27$$ г. Для того, щоб знайти відсоток солі у розчині необхідно масу солі розділити на масу розчину: $$7:27\approx0,259=25,9\\%$$

Яким вийшов третій розчин? $$8,3\\%$$ $$9,1\\%$$ $$10,0\\%$$ $$10,9\\%$$ $$11,1\\%$$ Загальна маса третього розчину з сіллю і водою складає $$20+2=22$$ г. Для того, щоб знайти відсоток солі у розчині необхідно масу солі розділити на масу розчину: $$2:22\approx0,091=9,1\\%$$