Відсотки
Визначення Вiдсоток — це сота доля числа, яка позначається $\%$.
$1 \% = \dfrac{1}{100} \Rightarrow a \% = \dfrac{a}{100}.$ Вiдсотки не є розмiрною величиною.
Десятковий дрiб переводиться у вiдсотки множенням на $100$, знак $\%$ дописується. Вiдсотки переводяться у десятковий дрiб дiленням на $100$, знак $\%$ прибирається.
Збiльшення числа на $p \%$ еквiвалентне множенню числа на $\left(1 +\dfrac{p}{100}\right).$
Зменшення числа на $p \%$ еквiвалентне множенню числа на $\left(1 -\dfrac{p}{100}\right).$
Щоб знайти $p$ вiдсоткiв вiд числа $a$ необхiдно помножити число $a$ на вiдсотки $p$ (у виглядi десяткового дробу).
Наприклад: знайти $55 \%$ вiд $15$: $55 \% = 0,55; \quad 15\cdot0,55 = 8,25.$
Щоб знайти число за даним значенням $b$, що складає $p$ вiдсоткiв необхiдно зробити зворотне: роздiлити даний дрiб числа $b$ на вiдсотки $p$ (у виглядi десяткового дробу).
Наприклад: знайти число, якщо $40 \%$ вiд нього складає $8$: $40 \% = 0,4;\quad \dfrac{8}{0,4}=20.$
Щоб знайти вiдсоткове вiдношення двох чисел $a$ і $b$ необхiдно знайти їхню частку $\dfrac{a}{b}$ у виглядi десяткового дробу, та перевести його у вiдсотки (помножити на $100$ та дописати знак $\%$).
Наприклад: знайти, який вiдсоток складає $15$ вiд $60$: $\dfrac{15}{60}=\dfrac{1}{4}=0,25;\quad 0,25 = 25 \%$.
На початковому етапi знайомства з вiдсотками iнтуїтивно легше користуватись пропорцiєю.
Приклад
Скiльки води потрiбно додати до $10$ г $50 \%$ розчину солi, щоб розчин мiстив $10 \%$ солi?
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Маса солi у $50 \%$ розчинi: $10\cdot50\% = 10\cdot0,5=5$(г). $10 \%$ розчин мiстить $90 \%$ води. Складаємо пропорцiю для нового розчину, $x$ – маса води у новому $10 \%$ розчинi:$\left. \begin{array}{l} 5\quad—\quad10\%\\ x\quad—\quad90\% \end{array}\right\} \Rightarrow x = \dfrac{5\cdot 90\%}{10\%} = 45$ (г).Отже загальна маса води у новому розчині – $45$ г, але оскільки ми вже маємо у $50 \%$ розчині $5$ г води, то нам потрібно додати ще $40$ г.Вiдповiдь. $40$ (г).
Простi та складнi вiдсотки. В задачах про грошовi вкладення або знижки на цiну товару часто зручно користуватись формулами простих та складних вiдсоткiв.
Прості відсотки нараховуються на початкову суму і величина нарахування є постійною сумою та не залежить від часу, що пройшов від моменту вкладу. Якщо банк виплачує клієнтові $p$ відсотків від початкової суми $X_0$ щороку, на рахунку клієнта через $n$ років буде сума:
$X_1=X_0+X_0 \dfrac{p}{100};$
$X_2=X_1+X_0 \dfrac{p}{100}=X_0 \left(1+\dfrac{2p}{100}\right);$
$\vdots$
$X_n=X_0 \left(1+\dfrac{pn}{100}\right).$
Як бачимо, щороку додається одна й та сама кiлькiсть грошей.
Складні відсотки нараховуються на поточну суму на рахунку і сума нарахування зростає з плином часу. Якщо банк виплачує клієнтові $p$ відсотків річних, на рахунку клієнта через $n$ років буде сума:
$X_1=X_0 \left(1+\dfrac{p}{100}\right);$
$X_2=X_1 \left(1+\dfrac{p}{100}\right)=X_0 \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^2;$
$\vdots$
$X_n=X_0 \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n.$
Як бачимо, щороку додається все більша й більша сума (бо відсотки обчислюються з накопиченої суми). Аналогічна ситуація – коли на товар декілька разів нараховується знижка.
Отже, в обох пробірках по $20$ мл води. В першу додали $7$ грамів солі, в третю - $2$ грами. Яким вийшов перший розчин? $20,6\%$ $25,9\%$ $35,0\%$ $44,2\%$ $53,8\%$ Загальна маса першого розчину з сіллю і водою складає $20+7=27$ г. Для того, щоб знайти відсоток солі у розчині необхідно масу солі розділити на масу розчину: $7:27\approx0,259=25,9\%$
Яким вийшов третій розчин? $8,3\%$ $9,1\%$ $10,0\%$ $10,9\%$ $11,1\%$ Загальна маса третього розчину з сіллю і водою складає $20+2=22$ г. Для того, щоб знайти відсоток солі у розчині необхідно масу солі розділити на масу розчину: $2:22\approx0,091=9,1\%$
Last modified 2yr ago
Copy link