Математика: арифметика, рівняння та нерівності
  • Зміст
  • Вступне слово
  • Арифметика
    • Прості та складені числа
    • Ознаки подiльностi натуральних чисел
    • Дроби та дiї над ними
    • Модуль числа
  • Пропорції та відсотки
    • Відсотки
    • Розв’язання задач на спiльну виконану роботу (задачi на продуктивнiсть)
  • Одночлени та многочлени
    • Одночлен
    • Многочлен
    • Дiї над многочленами
    • Формули скороченого множення
    • Розкладання многочлена на множники
    • Бiном Ньютона
  • Корiнь та його властивостi
    • Квадратний корiнь та його основнi властивостi
    • Корінь n-го степеня та його основні властивості
    • Ірраціональні вирази
      • Доповнюючий множник
      • Звiльнення вiд iррацiональностi у знаменнику (чисельнику) iррацiонального дробу
      • Доповнюючi множники для основних типiв iррацiональностей у знаменнику (чисельнику)
    • Додаток
  • Показниковi та логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифм
    • Логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифмування та потенцiювання
  • Системи алгебраїчних рiвнянь
    • Метод підстановки
    • Метод алгебраїчного додавання
    • Метод заміни змінної
  • Лiнiйнi та квадратнi рiвняння
    • Лiнiйнi рiвняння
    • Квадратнi рiвняння
      • Неповні квадратні рівняння
      • Повне квадратне рівняння та дискримiнант
      • Факторизація квадратного рівняння (розкладання на множники)
      • Теорема Вiєта
    • Бiквадратнi рiвняння, та рівняння, що зводяться до квадратних
  • Iншi види цiлих рiвнянь
    • Цiлi рацiональнi рiвняння вищих степенів
      • Метод підбору коренів
      • Метод заміни змінної
    • Рiвняння з модулями
      • Метод інтервалів
    • Рівняння з параметрами
      • Лінійне рiвняння з параметрами
      • Квадратне рівняння з параметрами
  • Цілі нерівності
    • Основні властивості
    • Лiнiйнi нерiвностi
    • Система та сукупність нерівностей
    • Нерiвностi з модулями
  • Метод інтервалів
    • Метод інтервалів
    • Дробово-рацiональнi нерiвності
    • Нерiвностi з параметрами
  • Дробово-раціональні рівняння
    • Дробово-раціональне рівняння
    • Раціональні рівняння з параметрами
  • Ірраціональні рівняння
    • Корабель на горизонтi
    • Iррацiональнi рiвняння з квадратним коренем
    • Корабль поза горизонтом
  • Ірраціональні нерівності
    • Метод відокремлення кореня
    • Методологiя розв’язання в залежностi вiд парності/непарностi степеня кореня
    • Метод iнтервалiв для iррацiональних нерiвностей
    • Нерiвностi з параметрами
  • Показникові рівняння
    • Вік Землі та скам’янілостей
    • Показникові рівняння
    • Показникові нерівності
    • Степенево-показникові рівняння
    • Зведення до однiєї основи
      • Показникові рівняння
    • Винесення множника
    • Рiвняння особливих видiв
    • Використання властивостей функцiй (монотонностi)
    • Показниково - степеневi рiвняння
    • Рiвняння з параметрами
    • Системи рівнянь
  • Показникові нерівності
    • Властивостi показникової функцiї та класифікація типiв задач
    • Методи розв’язання окремих типiв задач
    • Степенево - показниковi нерiвностi
  • Логарифмічні рівняння
    • Логарифмiчнi рiвняння
    • Логарифмування та потенцiювання
    • Використання логарифмiчних тотожностей для розв’язання окремих типiв задач
    • Системи рівнянь
  • Логарифмічні нерівності
    • Використання властивостей логарифмiв для розв’язання рiзних типiв задач
    • Замiна змiнної в логарифмiчних нерiвностях
    • Показниково-логарифмiчнi нерiвностi
    • Нерiвностi з параметрами
Powered by GitBook
On this page

Was this helpful?

  1. Метод інтервалів

Нерiвностi з параметрами

PreviousДробово-рацiональнi нерiвностіNextДробово-раціональні рівняння

Last updated 6 years ago

Was this helpful?

Точно так само, як і для рівнянь з параметрами, основна концепція при розв’язанні нерівностей з параметрами полягає в наступному:

  1. Знайти «контрольнi» значення параметрiв, при яких у нерівності вiдбуваються якiснi змiни, наприклад, зміна знака на протилежний.

  2. Знайти всi вирази для коренiв нерівності при рiзних значеннях параметрiв.

Приклад Розв’язати нерівність $$\dfrac{x^2+3}{3-ax}>1$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Перше «контрольне» значення параметра: $$a=0$$.В такому випадку нерівність перетворюється на раціональну: $$\dfrac{x^2+3}{3}>1$$. Розв’яжемо її:$$ \begin{align} \dfrac{x^2 + 3}{3} & \gt 1 \\ 3 \cdot \dfrac{x^2 + 3}{3} & \gt 3 \cdot 1 \\ x^2 + 3 & \gt 3 \\ x^2 + 3 - 3 & \gt 3 - 3 \\ x^2 & \gt 0 \\ \sqrt{x^2} & \gt \sqrt{0} \\ |x| & \gt 0 \\ x & \in (-\infty;0)\cup(0;+\infty) \end{align}$$Вихідна нерівність Множимо обидві частини на $$3$$ Спрощуємо Віднімаємо $$3$$ від обох частин Спрощуємо Знаходимо квадратні корені обох частин Спрощуємо Записуємо розв'язок у інтервальному виглядіЗображуємо розв’язок на числовій осі:Отже, при $$a=0$$ маємо $$x\in(-\infty;0)\cup(0;\infty)$$.Розглядаємо тепер інші випадки, коли $$a\neq0$$.У загальному випадку застосуємо метод інтервалів.Зводимо нерівність до стандартного вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$ або $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ \begin{align} \dfrac{x^2+3}{3 - ax} & \gt 1 \\ \dfrac{x^2+3}{3-ax} - 1 & \gt 0 \\ \dfrac{x^2+3}{3-ax} - \dfrac{3-ax}{3-ax} & \gt 0 \\ \dfrac{x^2 + ax}{3-ax} & \gt 0 \end{align}$$Шукаємо граничні точки, для цього розкладаємо многочлени з чисельника і знаменника на множники.В знаменнику все просто: $$3-ax = a\left(\dfrac{3}{a}-x\right)$$, в чисельнику: $$x^2+ax=x(x+a)$$.Отже, нерівність можна переписати у вигляді:$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{x(x+a)}{a\left(\dfrac{3}{a}-x\right)}>0$$Граничні точки чисельника: $$x=0,x=-a$$; знаменника: $$x=\dfrac{3}{a}$$Для того, щоб зобразити ці точки на числовій прямій, розглядаємо два випадки:$$a>0$$: тоді має місце співвідношення $$-a$$aШукаємо знак функції на правому інтервалі і потім проставляємо знаки решти інтервалів:$$a>0$$: підставляємо тестове значення з правого інтервалу $$\left(\dfrac{3}{a};\infty \right)$$ - «мільярд»Три множники додатні, один від’ємний – функція на цьому інтервалі має від’ємний знак.Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:$$aмільярд»Два множники додатні, два від’ємні – функція на цьому інтервалі має додатний знак.Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$$$a>0$$: обираємо інтервали $$(-\infty;-a)$$ та $$\left(0;\dfrac{3}{a}\right)$$.$$a Вiдповiдь.Запишемо загальний результат:при $$a=0: x \in (-\infty;0) \cup (0;\infty);$$при $$a>0: x \in (-\infty;-a) \cup \left(0;\dfrac{3}{a}\right)$$;при $$a

Які типи критичних значень параметра зустрінуться під час розв'язання нерівності $$\dfrac{(a-1)x^2-5x+10}{5(a-2)}>0$$? перетворення квадратичного виразу на лінійний рівність дискримінанту нулеві рівність знаменнику нулеві рівність підмодульного виразу нулеві