> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://math.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://math.ed-era.com/ratsonaln_nervnost/nerivnosti_z_parametrami.md).

# Нерiвностi з параметрами

Точно так само, як і для рівнянь з параметрами, основна концепція при розв’язанні нерівностей з параметрами полягає в наступному:

1. Знайти «контрольнi» значення параметрiв, при яких у нерівності вiдбуваються якiснi змiни, наприклад, зміна знака на протилежний.
2. Знайти всi вирази для коренiв нерівності при рiзних значеннях параметрiв.

 Приклад Розв’язати нерівність $$\dfrac{x^2+3}{3-ax}>1$$.

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Перше «контрольне» значення параметра: $$a=0$$.В такому випадку нерівність перетворюється на раціональну: $$\dfrac{x^2+3}{3}>1$$. Розв’яжемо її:$$ \begin{align} \dfrac{x^2 + 3}{3} & \gt 1 \\\ 3 \cdot \dfrac{x^2 + 3}{3} & \gt 3 \cdot 1 \\\ x^2 + 3 & \gt 3 \\\ x^2 + 3 - 3 & \gt 3 - 3 \\\ x^2 & \gt 0 \\\ \sqrt{x^2} & \gt \sqrt{0} \\\ |x| & \gt 0 \\\ x & \in (-\infty;0)\cup(0;+\infty) \end{align}$$Вихідна нерівність\
\
Множимо обидві частини на $$3$$\
\
Спрощуємо\
Віднімаємо $$3$$ від обох частин\
Спрощуємо\
Знаходимо квадратні корені обох частин\
Спрощуємо\
Записуємо розв'язок у інтервальному виглядіЗображуємо розв’язок на числовій осі:![](/files/-LWNRQ4DX4IcS6_yAtkb)Отже, при $$a=0$$ маємо $$x\in(-\infty;0)\cup(0;\infty)$$.Розглядаємо тепер інші випадки, коли $$a\neq0$$.У загальному випадку застосуємо метод інтервалів.Зводимо нерівність до стандартного вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$ або $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ \begin{align} \dfrac{x^2+3}{3 - ax} & \gt 1 \\\ \dfrac{x^2+3}{3-ax} - 1 & \gt 0 \\\ \dfrac{x^2+3}{3-ax} - \dfrac{3-ax}{3-ax} & \gt 0 \\\ \dfrac{x^2 + ax}{3-ax} & \gt 0 \end{align}$$Шукаємо граничні точки, для цього розкладаємо многочлени з чисельника і знаменника на множники.В знаменнику все просто: $$3-ax = a\left(\dfrac{3}{a}-x\right)$$, в чисельнику: $$x^2+ax=x(x+a)$$.Отже, нерівність можна переписати у вигляді:$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{x(x+a)}{a\left(\dfrac{3}{a}-x\right)}>0$$Граничні точки чисельника: $$x=0,x=-a$$; знаменника: $$x=\dfrac{3}{a}$$Для того, щоб зобразити ці точки на числовій прямій, розглядаємо два випадки:$$a>0$$: тоді має місце співвідношення $$-a$$aШукаємо знак функції на правому інтервалі і потім проставляємо знаки решти інтервалів:$$a>0$$: підставляємо тестове значення з правого інтервалу $$\left(\dfrac{3}{a};\infty \right)$$ - «мільярд»![](/files/-LWNRQ4FqmOTmCALaSWk)Три множники додатні, один від’ємний – функція на цьому інтервалі має від’ємний знак.Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:![](/files/-LWNRQ4HP-Vx6tCuR0f8)$$aмільярд»![](/files/-LWNRQ4JeAvL77JE2Z32)Два множники додатні, два від’ємні – функція на цьому інтервалі має додатний знак.Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:![](/files/-LWNRQ4LQ6CWb6Wbrjvl)Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$$$a>0$$: обираємо інтервали $$(-\infty;-a)$$ та $$\left(0;\dfrac{3}{a}\right)$$.$$a **Вiдповiдь.**Запишемо загальний результат:при $$a=0: x \in (-\infty;0) \cup (0;\infty);$$при $$a>0: x \in (-\infty;-a) \cup \left(0;\dfrac{3}{a}\right)$$;при $$a

Які типи критичних значень параметра зустрінуться під час розв'язання нерівності $$\dfrac{(a-1)x^2-5x+10}{5(a-2)}>0$$? перетворення квадратичного виразу на лінійний рівність дискримінанту нулеві рівність знаменнику нулеві рівність підмодульного виразу нулеві