Нерiвностi з параметрами
Точно так само, як і для рівнянь з параметрами, основна концепція при розв’язанні нерівностей з параметрами полягає в наступному:
  1. 1.
    Знайти «контрольнi» значення параметрiв, при яких у нерівності вiдбуваються якiснi змiни, наприклад, зміна знака на протилежний.
  2. 2.
    Знайти всi вирази для коренiв нерівності при рiзних значеннях параметрiв.
Приклад Розв’язати нерівність $\dfrac{x^2+3}{3-ax}>1$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Перше «контрольне» значення параметра: $a=0$.В такому випадку нерівність перетворюється на раціональну: $\dfrac{x^2+3}{3}>1$. Розв’яжемо її:$ \begin{align} \dfrac{x^2 + 3}{3} & \gt 1 \\ 3 \cdot \dfrac{x^2 + 3}{3} & \gt 3 \cdot 1 \\ x^2 + 3 & \gt 3 \\ x^2 + 3 - 3 & \gt 3 - 3 \\ x^2 & \gt 0 \\ \sqrt{x^2} & \gt \sqrt{0} \\ |x| & \gt 0 \\ x & \in (-\infty;0)\cup(0;+\infty) \end{align}$Вихідна нерівність Множимо обидві частини на $3$ Спрощуємо Віднімаємо $3$ від обох частин Спрощуємо Знаходимо квадратні корені обох частин Спрощуємо Записуємо розв'язок у інтервальному виглядіЗображуємо розв’язок на числовій осі:
Отже, при $a=0$ маємо $x\in(-\infty;0)\cup(0;\infty)$.Розглядаємо тепер інші випадки, коли $a\neq0$.У загальному випадку застосуємо метод інтервалів.Зводимо нерівність до стандартного вигляду $\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$ або $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ \begin{align} \dfrac{x^2+3}{3 - ax} & \gt 1 \\ \dfrac{x^2+3}{3-ax} - 1 & \gt 0 \\ \dfrac{x^2+3}{3-ax} - \dfrac{3-ax}{3-ax} & \gt 0 \\ \dfrac{x^2 + ax}{3-ax} & \gt 0 \end{align}$Шукаємо граничні точки, для цього розкладаємо многочлени з чисельника і знаменника на множники.В знаменнику все просто: $3-ax = a\left(\dfrac{3}{a}-x\right)$, в чисельнику: $x^2+ax=x(x+a)$.Отже, нерівність можна переписати у вигляді:$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{x(x+a)}{a\left(\dfrac{3}{a}-x\right)}>0$Граничні точки чисельника: $x=0,x=-a$; знаменника: $x=\dfrac{3}{a}$Для того, щоб зобразити ці точки на числовій прямій, розглядаємо два випадки:$a>0$: тоді має місце співвідношення $-a$aШукаємо знак функції на правому інтервалі і потім проставляємо знаки решти інтервалів:$a>0$: підставляємо тестове значення з правого інтервалу $\left(\dfrac{3}{a};\infty \right)$ - «мільярд»
Три множники додатні, один від’ємний – функція на цьому інтервалі має від’ємний знак.Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:
$aмільярд»
Два множники додатні, два від’ємні – функція на цьому інтервалі має додатний знак.Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:
Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$a>0$: обираємо інтервали $(-\infty;-a)$ та $\left(0;\dfrac{3}{a}\right)$.$a Вiдповiдь.Запишемо загальний результат:при $a=0: x \in (-\infty;0) \cup (0;\infty);$при $a>0: x \in (-\infty;-a) \cup \left(0;\dfrac{3}{a}\right)$;при $a
Які типи критичних значень параметра зустрінуться під час розв'язання нерівності $\dfrac{(a-1)x^2-5x+10}{5(a-2)}>0$? перетворення квадратичного виразу на лінійний рівність дискримінанту нулеві рівність знаменнику нулеві рівність підмодульного виразу нулеві
Last modified 3yr ago
Copy link