# Нерiвностi з параметрами Точно так само, як і для рівнянь з параметрами, основна концепція при розв’язанні нерівностей з параметрами полягає в наступному: 1. Знайти «контрольнi» значення параметрiв, при яких у нерівності вiдбуваються якiснi змiни, наприклад, зміна знака на протилежний. 2. Знайти всi вирази для коренiв нерівності при рiзних значеннях параметрiв. Приклад Розв’язати нерівність $$\dfrac{x^2+3}{3-ax}>1$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Перше «контрольне» значення параметра: $$a=0$$.В такому випадку нерівність перетворюється на раціональну: $$\dfrac{x^2+3}{3}>1$$. Розв’яжемо її:$$ \begin{align} \dfrac{x^2 + 3}{3} & \gt 1 \\\ 3 \cdot \dfrac{x^2 + 3}{3} & \gt 3 \cdot 1 \\\ x^2 + 3 & \gt 3 \\\ x^2 + 3 - 3 & \gt 3 - 3 \\\ x^2 & \gt 0 \\\ \sqrt{x^2} & \gt \sqrt{0} \\\ |x| & \gt 0 \\\ x & \in (-\infty;0)\cup(0;+\infty) \end{align}$$Вихідна нерівність\ \ Множимо обидві частини на $$3$$\ \ Спрощуємо\ Віднімаємо $$3$$ від обох частин\ Спрощуємо\ Знаходимо квадратні корені обох частин\ Спрощуємо\ Записуємо розв'язок у інтервальному виглядіЗображуємо розв’язок на числовій осі:![](/files/-LWNRQ4DX4IcS6_yAtkb)Отже, при $$a=0$$ маємо $$x\in(-\infty;0)\cup(0;\infty)$$.Розглядаємо тепер інші випадки, коли $$a\neq0$$.У загальному випадку застосуємо метод інтервалів.Зводимо нерівність до стандартного вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$ або $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ \begin{align} \dfrac{x^2+3}{3 - ax} & \gt 1 \\\ \dfrac{x^2+3}{3-ax} - 1 & \gt 0 \\\ \dfrac{x^2+3}{3-ax} - \dfrac{3-ax}{3-ax} & \gt 0 \\\ \dfrac{x^2 + ax}{3-ax} & \gt 0 \end{align}$$Шукаємо граничні точки, для цього розкладаємо многочлени з чисельника і знаменника на множники.В знаменнику все просто: $$3-ax = a\left(\dfrac{3}{a}-x\right)$$, в чисельнику: $$x^2+ax=x(x+a)$$.Отже, нерівність можна переписати у вигляді:$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{x(x+a)}{a\left(\dfrac{3}{a}-x\right)}>0$$Граничні точки чисельника: $$x=0,x=-a$$; знаменника: $$x=\dfrac{3}{a}$$Для того, щоб зобразити ці точки на числовій прямій, розглядаємо два випадки:$$a>0$$: тоді має місце співвідношення $$-a$$aШукаємо знак функції на правому інтервалі і потім проставляємо знаки решти інтервалів:$$a>0$$: підставляємо тестове значення з правого інтервалу $$\left(\dfrac{3}{a};\infty \right)$$ - «мільярд»![](/files/-LWNRQ4FqmOTmCALaSWk)Три множники додатні, один від’ємний – функція на цьому інтервалі має від’ємний знак.Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:![](/files/-LWNRQ4HP-Vx6tCuR0f8)$$aмільярд»![](/files/-LWNRQ4JeAvL77JE2Z32)Два множники додатні, два від’ємні – функція на цьому інтервалі має додатний знак.Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:![](/files/-LWNRQ4LQ6CWb6Wbrjvl)Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$$$a>0$$: обираємо інтервали $$(-\infty;-a)$$ та $$\left(0;\dfrac{3}{a}\right)$$.$$a **Вiдповiдь.**Запишемо загальний результат:при $$a=0: x \in (-\infty;0) \cup (0;\infty);$$при $$a>0: x \in (-\infty;-a) \cup \left(0;\dfrac{3}{a}\right)$$;при $$a Які типи критичних значень параметра зустрінуться під час розв'язання нерівності $$\dfrac{(a-1)x^2-5x+10}{5(a-2)}>0$$? перетворення квадратичного виразу на лінійний рівність дискримінанту нулеві рівність знаменнику нулеві рівність підмодульного виразу нулеві --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://math.ed-era.com/ratsonaln_nervnost/nerivnosti_z_parametrami.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.