Метод інтервалів

Будь-яку раціональну нерівність можна легко розв’язати за допомогою методу інтервалів. Зі схожою процедурою ми вже зустрічалися під час розв’язання рівнянь з модулями (див. розділ 8.2 Рівняння з модулями). Саме таким методом ми скористалися для знаходження часу на відкриття парашута в попередній задачі.

Графіки допоможуть нам зрозуміти сутність методу інтервалів. Наприклад, поглянемо на графік функції

$$f(x)=x^3+2x^2-5x-6$$

Основна думка полягає в тому, що раціональна функція може змінювати знак лише у точках, в яких вона рівна нулеві.

Точки $$-3;-1;2$$ – це граничні точки, між якими графік знаходиться або вище від осі $$x$$ (зображено синім), або нижче від осі $$x$$ (зображено оранжевим).

Знаходження граничних точок функції, що стоїть в нерівності, – це дуже важливий крок при розв’язанні раціональних нерівностей. Ці точки можна знайти, розв’язавши рівняння $$f(x)=0$$.

Єдине, що залишиться – обрати необхідні інтервали залежно від знака нерівності.

Алгоритм Метод інтервалів

1. Виразити нерівність у вигляді $$P(x)>0$$ або $$P(x)

   Розв’язати рівняння $$P(x)=0$$, знайшовши граничні точки.

   Зобразити граничні точки на числовій прямій, розбивши її на інтервали.

   Знайти знаки функції $$P(x)$$ на кожному інтервалі.

   Обрати ті інтервали, на яких знаки $$P(x)$$ задовольняють вихідну нерівність.

Приклад Розв’язати нерівність $$x^3+8x-16>4(3x-x^2)$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Виразимо нерівність у вигляді $$P(x)>0$$ або $$P(x)Перетворюємо нерівність таким чином, аби праворуч залишився нуль:$$ \begin{align} x^3 + 8x - 16 & \gt 4(3x-x^2) \\ x^3 + 8x - 16 & \gt \color{#1570bd}1\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x\color{#1570bd}-\color{#1570bd}4\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 \\ x^3 + 8x - 16 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}1\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}4\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 & \gt 12x - 4x^2 \color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}4\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 \\ x^3 + 4x^2 -4x -16 & \gt 0 \end{align}$$Вихідна нерівність Розкриваємо дужки Додаємо до обох частин $$4x^2 - 12x$$ СпрощуємоРозв’яжемо рівняння $$P(x)=0$$, розклавши многочлен у лівій частині на множники:$$ \begin{align} x^3 + 4x^2 -4x -16 & = 0 \\ x^2(x+4) - 4x - 16 & = 0 \\ x^2(x+4) - 4(x+4) & = 0 \\ (x+4)(x^2-4) & = 0 \\ (x+4)(x+2)(x-2) & = 0 \end{align}$$Вихідна нерівність Виносимо за дужки $$x^2$$ Виносимо за дужки $$-4$$ Виносимо за дужки $$(x+4)$$ За формулою різниці квадратів розкладаємо $$x^2-4$$Отже, граничні точки: $$-4;-2;2$$.Зобразимо ці точки на числовій прямій.В результаті утворилося чотири інтервали:Шукаємо знаки функції $$P(x)$$ на кожному інтервалі. Для цього беремо якесь тестове значення $$x$$ з кожного інтервалу, підставляємо його у функцію та дивимося на її знак:ІнтервалТестове значенняПідстановка у функціюЗнак функції$$(-\infty;-4)$$$$-5$$$$P(-5)=(-5)^3+4(-5)^2-4\cdot(-5)-16=-21$$$$-$$$$(-4;-2)$$$$-3$$$$P(-3)=(-3)^3+4(-3)^2-4\cdot(-3)-16=5$$$$+$$$$(-2;2)$$$$0$$$$P(0)=(0)^3+4(0)^2-4\cdot0-16=-16$$$$-$$$$(2;\infty)$$$$3$$$$P(3)=(3)^3+4(3)^2-4\cdot3-16=35$$$$+$$Зобразимо ці знаки на числовій прямій та оберемо тільки необхідні інтервали.Нерівність післе зведення набула вигляду $$P(x)>0$$, де $$P(x)=x^3+4x^2-4x-16$$Тому підходять лише ті інтервали, в яких функція $$P(x)$$ набуває додатних значень: $$(-4;-2)$$ та $$(2;\infty)$$. Таким чином $$x \in (-4;-2) \cup (2;\infty)$$. Вiдповiдь. $$x \in (-4;-2) \cup (2;\infty).$$

Метод «пелюстки»

Насправді розв’язувати нерівності можна набагато простіше, зокрема шукати знак функції на всіх інтервалах підстановкою не потрібно. Достатньо знайти його на крайньому правому інтервалі. Цей інтервал завжди має вигляд: $$(a;\infty)$$ – він необмежений справа. Для визначення знака можна підставити будь-яке число з інтервалу.

Візьмемо щось велике, наприклад, мільярд. Підставляючи мільярд у функцію, одразу розуміємо, який знак приймає ця функція без обчислення фактичного значення.

Всі решта знаків вже автоматично відомі. При переході через граничну точку знак інтервалу буде змінюватись на протилежний.

У випадку, коли гранична точка є кратним коренем, або, іншими словами, в розкладі на множники двочлен з таким коренем стоїть у степені більшому за одиницю, тобто присутній множник вигляду $$(x-x_i )^k$$, – починаємо малювати «пелюстки».

Нехай корінь має кратність $$2$$ – можна вважати, що це два окремих корені, між якими є інтервал, що злилися в одну точку на числовій осі. Початок і кінець інтервалу збігається, і він згортається у «пелюстку». При кратності $$3$$, відповідно, маємо три однакові корені, між якими є два інтервали, що згортаються у дві «пелюстки», і т.д.

Приклад Розв’язати нерівність $$(x-2)(x+2)(x-3)>0$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Многочлен в лівій частині $$P(x)=(x-2)(x+2)(x-3)$$ вже розкладений на множники, переходимо до п.$$3$$ алгоритму методу інтервалів.Граничні точки многочлена: $$-2;2;3$$.Зобразимо їх на числовій прямій.Шукаємо знак функції на правому інтервалі $$(3;\infty)$$. Підставимо тестове значення «мільярд».$$P(\color{#0F5181}{\textit{мільярд}}) = (\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}}-2}_{>\thinspace\mbox{0}}) \, (\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}}+2}_{>\thinspace\mbox{0}}) \, (\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}}-3}_{>\thinspace\mbox{0}}) \, >0$$Функція $$P(x)$$ в точці мільярд має два додатних множники і один від’ємний, отже, функція в цій точці буде додатною.Отже, правий інтервал має додатний знак. Всі корені мають непарну кратність «$$1$$», тому решту знаків чергуємо, рухаючись справа наліво при переході через граничні точки:Залишилось обрати інтервали, де функція додатня, бо за умовою $$P(x)>0$$. Такими є інтервали $$(-2;2)$$ та $$(3;\infty)$$.Вiдповiдь. Отже, $$x \in (-2;2) \cup (3;\infty)$$.

Приклад

Розв’язати нерівність $$(x-1) (x-2)^2 (x+3)^3\geq0$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Многочлен в лівій частині $$P(x)=(x-1) (x-2)^2 (x+3)^3$$ вже розкладений на множники, переходимо до п.$$3$$ алгоритму методу інтервалів.Граничні точки многочлена: $$-3;1;2$$.Зобразимо їх на числовій прямій.Нерівність є нестрогою, інтервали включають кінцеві точки, тому їх зображуємо зафарбованими. Точка $$x=2$$ має кратність «$$2$$» — малюємо одну «пелюстку» на числовій осі. Точка $$x=-3$$ має кратність «$$3$$» — малюємо дві «пелюстки»:Шукаємо знак функції на правому інтервалі $$(2;\infty)$$. Підставимо тестове значення «мільярд ».$$\dfrac{P({\text{мільярд}})}{Q({\text{мільярд}})} = \underbrace{\left( \text{мільярд} - 1 \right)}_{\gt 0} \underbrace{\left( \text{мільярд} - 2 \right)^2}_{\gt 0} \underbrace{\left( \text{мільярд} + 3 \right)^3}_{\gt 0} \geq 0$$

Всі три множники додатні, функція на цьому інтервалі має додатний знак:

Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:

Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $$P(x)\geq0$$. Такими є інтервали $$(-\infty;-3], [1;2]$$ та $$[2;\infty)$$.

До речі, два останніх інтервали можна об’єднати, тому $$x \in (-\infty;-3] \cup [1;\infty)$$.

Вiдповiдь. Отже, $$x \in (-\infty;-3] \cup [1;\infty)$$.

Розв’яжіть нерівність: $$(x−2)(x+3)(x+1)>0$$ $$(-3;-1)\cup(2;\infty)$$ $$(-3;-1)$$ $$(-3;-1)\cap(2;\infty)$$ $$(-3;2)$$

Граничні точки многочлена: $$-3;-1;2$$

Знак функції на правому інтервалі $$(2;\infty)$$ додатний, тому все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний.

Обираємо інтервали, де функція додатна: $$(-3;-1), (2;\infty)$$