Метод інтервалів
Будь-яку раціональну нерівність можна легко розв’язати за допомогою методу інтервалів.
Зі схожою процедурою ми вже зустрічалися під час розв’язання рівнянь з модулями (див. розділ 8.2 Рівняння з модулями).
Саме таким методом ми скористалися для знаходження часу на відкриття парашута в попередній задачі.
Графіки допоможуть нам зрозуміти сутність методу інтервалів. Наприклад, поглянемо на графік функції
$f(x)=x^3+2x^2-5x-6$
Основна думка полягає в тому, що раціональна функція може змінювати знак лише у точках, в яких вона рівна нулеві.
Точки $-3;-1;2$ – це граничні точки, між якими графік знаходиться або вище від осі $x$ (зображено синім), або нижче від осі $x$ (зображено оранжевим).
Знаходження граничних точок функції, що стоїть в нерівності, – це дуже важливий крок при розв’язанні раціональних нерівностей. Ці точки можна знайти, розв’язавши рівняння $f(x)=0$.
Єдине, що залишиться – обрати необхідні інтервали залежно від знака нерівності.
Алгоритм Метод інтервалів
- 1.Виразити нерівність у вигляді $P(x)>0$ або $P(x)Розв’язати рівняння $P(x)=0$, знайшовши граничні точки.Зобразити граничні точки на числовій прямій, розбивши її на інтервали.Знайти знаки функції $P(x)$ на кожному інтервалі.Обрати ті інтервали, на яких знаки $P(x)$ задовольняють вихідну нерівність.
Приклад Розв’язати нерівність $x^3+8x-16>4(3x-x^2)$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Виразимо нерівність у вигляді $P(x)>0$ або $P(x)Перетворюємо нерівність таким чином, аби праворуч залишився нуль:$ \begin{align} x^3 + 8x - 16 & \gt 4(3x-x^2) \\ x^3 + 8x - 16 & \gt \color{#1570bd}1\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x\color{#1570bd}-\color{#1570bd}4\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 \\ x^3 + 8x - 16 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}1\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}4\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 & \gt 12x - 4x^2 \color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}4\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 \\ x^3 + 4x^2 -4x -16 & \gt 0 \end{align}$Вихідна нерівність
Розкриваємо дужки
Додаємо до обох частин $4x^2 - 12x$
СпрощуємоРозв’яжемо рівняння $P(x)=0$, розклавши многочлен у лівій частині на множники:$ \begin{align} x^3 + 4x^2 -4x -16 & = 0 \\ x^2(x+4) - 4x - 16 & = 0 \\ x^2(x+4) - 4(x+4) & = 0 \\ (x+4)(x^2-4) & = 0 \\ (x+4)(x+2)(x-2) & = 0 \end{align}$Вихідна нерівність
Виносимо за дужки $x^2$
Виносимо за дужки $-4$
Виносимо за дужки $(x+4)$
За формулою різниці квадратів розкладаємо $x^2-4$Отже, граничні точки: $-4;-2;2$.Зобразимо ці точки на числовій прямій.В результаті утворилося чотири інтервали:
Шукаємо знаки функції $P(x)$ на кожному інтервалі. Для цього беремо якесь тестове значення $x$ з кожного інтервалу, підставляємо його у функцію та дивимося на її знак:ІнтервалТестове значенняПідстановка у функціюЗнак функції$(-\infty;-4)$$-5$$P(-5)=(-5)^3+4(-5)^2-4\cdot(-5)-16=-21$$-$$(-4;-2)$$-3$$P(-3)=(-3)^3+4(-3)^2-4\cdot(-3)-16=5$$+$$(-2;2)$$0$$P(0)=(0)^3+4(0)^2-4\cdot0-16=-16$$-$$(2;\infty)$$3$$P(3)=(3)^3+4(3)^2-4\cdot3-16=35$$+$Зобразимо ці знаки на числовій прямій та оберемо тільки необхідні інтервали.
Нерівність післе зведення набула вигляду $P(x)>0$, де $P(x)=x^3+4x^2-4x-16$Тому підходять лише ті інтервали, в яких функція $P(x)$ набуває додатних значень: $(-4;-2)$ та $(2;\infty)$. Таким чином $x \in (-4;-2) \cup (2;\infty)$. Вiдповiдь. $x \in (-4;-2) \cup (2;\infty).$
Метод «пелюстки»
Насправді розв’язувати нерівності можна набагато простіше, зокрема шукати знак функції на всіх інтервалах підстановкою не потрібно. Достатньо знайти його на крайньому правому інтервалі. Цей інтервал завжди має вигляд: $(a;\infty)$ – він необмежений справа. Для визначення знака можна підставити будь-яке число з інтервалу.
Візьмемо щось велике, наприклад, мільярд. Підставляючи мільярд у функцію, одразу розуміємо, який знак приймає ця функція без обчислення фактичного значення.
Всі решта знаків вже автоматично відомі. При переході через граничну точку знак інтервалу буде змінюватись на протилежний.
У випадку, коли гранична точка є кратним коренем, або, іншими словами, в розкладі на множники двочлен з таким коренем стоїть у степені більшому за одиницю, тобто присутній множник вигляду $(x-x_i )^k$, – починаємо малювати «пелюстки».
Нехай корінь має кратність $2$ – можна вважати, що це два окремих корені, між якими є інтервал, що злилися в одну точку на числовій осі. Початок і кінець інтервалу збігається, і він згортається у «пелюстку». При кратності $3$, відповідно, маємо три однакові корені, між якими є два інтервали, що згортаються у дві «пелюстки», і т.д.
Приклад Розв’язати нерівність $(x-2)(x+2)(x-3)>0$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Многочлен в лівій частині $P(x)=(x-2)(x+2)(x-3)$ вже розкладений на множники, переходимо до п.$3$ алгоритму методу інтервалів.Граничні точки многочлена: $-2;2;3$.Зобразимо їх на числовій прямій.
Шукаємо знак функції на правому інтервалі $(3;\infty)$. Підставимо тестове значення «мільярд».$P(\color{#0F5181}{\textit{мільярд}}) = (\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}}-2}_{>\thinspace\mbox{0}}) \, (\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}}+2}_{>\thinspace\mbox{0}}) \, (\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}}-3}_{>\thinspace\mbox{0}}) \, >0$Функція $P(x)$ в точці мільярд має два додатних множники і один від’ємний, отже, функція в цій точці буде додатною.Отже, правий інтервал має додатний знак. Всі корені мають непарну кратність «$1$», тому решту знаків чергуємо, рухаючись справа наліво при переході через граничні точки:
Залишилось обрати інтервали, де функція додатня, бо за умовою $P(x)>0$. Такими є інтервали $(-2;2)$ та $(3;\infty)$.
Вiдповiдь. Отже, $x \in (-2;2) \cup (3;\infty)$.
Приклад
Розв’язати нерівність $(x-1) (x-2)^2 (x+3)^3\geq0$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Многочлен в лівій частині $P(x)=(x-1) (x-2)^2 (x+3)^3$ вже розкладений на множники, переходимо до п.$3$ алгоритму методу інтервалів.Граничні точки многочлена: $-3;1;2$.Зобразимо їх на числовій прямій.
Нерівність є нестрогою, інтервали включають кінцеві точки, тому їх зображуємо зафарбованими. Точка $x=2$ має кратність «$2$» — малюємо одну «пелюстку» на числовій осі. Точка $x=-3$ має кратність «$3$» — малюємо дві «пелюстки»:Шукаємо знак функції на правому інтервалі $(2;\infty)$. Підставимо тестове значення «мільярд ».$\dfrac{P({\text{мільярд}})}{Q({\text{мільярд}})} = \underbrace{\left( \text{мільярд} - 1 \right)}_{\gt 0} \underbrace{\left( \text{мільярд} - 2 \right)^2}_{\gt 0} \underbrace{\left( \text{мільярд} + 3 \right)^3}_{\gt 0} \geq 0$
Всі три множники додатні, функція на цьому інтервалі має додатний знак:
Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:
Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $P(x)\geq0$. Такими є інтервали $(-\infty;-3], [1;2]$ та $[2;\infty)$.
До речі, два останніх інтервали можна об’єднати, тому $x \in (-\infty;-3] \cup [1;\infty)$.
Вiдповiдь. Отже, $x \in (-\infty;-3] \cup [1;\infty)$.
Розв’яжіть нерівність: $(x−2)(x+3)(x+1)>0$ $(-3;-1)\cup(2;\infty)$ $(-3;-1)$ $(-3;-1)\cap(2;\infty)$ $(-3;2)$
Граничні точки многочлена: $-3;-1;2$
Знак функції на правому інтервалі $(2;\infty)$ додатний, тому все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний.
Обираємо інтервали, де функція додатна: $(-3;-1), (2;\infty)$
Last modified 2yr ago
Copy link