# Дробово-рацiональнi нерiвності Визначення **Дробово-раціональна нерівність** — це нерівність вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$ або $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} Наприклад: $$\dfrac{2}{x}0;\quad\dfrac{x^2-3x+5}{x(3x-1)(2x-6)(x-2)} Для розв’язання дробово-раціональних нерівностей користуються тим самим методом інтервалів. Основна думка в цьому варіанті полягає в тому, що **дробово-раціональна функція може змінювати знак лише у точках, в яких вона рівна нулеві або не існує.** **Граничні точки** для дробово-раціональної функції можна знайти прирівнявши нулеві як чисельник: $$P(x)=0$$ (дробово-раціональна функція рівна нулю), так і знаменник: $$Q(x)=0$$ (дробово-раціональна функція не існує). Алгоритм **Метод інтервалів** 1. Виразити нерівність у вигляді $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$ або $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} Розв’язати рівняння $$P(x)=0$$ та $$Q(x)=0$$, знайшовши **граничні точки**. Зобразити граничні точки на числовій прямій, розбивши її на інтервали. Знайти знаки функції $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ на кожному інтервалі. Обрати ті інтервали, на яких знаки $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ задовольняють вихідній нерівності. Приклад Розв’язати нерівність $$\dfrac{5}{x} Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Перетворюємо нерівність до вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ \begin{align} \dfrac{5}{x} & \lt x \\\ \dfrac{5}{x} - x & \lt x - x \\\ \dfrac{5}{x} - x & \lt 0 \\\ \dfrac{5}{x} - x \cdot \dfrac{x}{x} & \lt 0 \\\ \dfrac{5 - x^2}{x} & \lt 0 \end{align}$$Вихідна нерівність\ \ Віднімаємо $$x$$ від обох частин нерівності\ \ Спрощуємо\ \ Зводимо до спільного знаменника\ \ СпрощуємоМногочлен в знаменнику $$5-x^2$$ можна розкласти на множники за допомогою формули різниці квадратів: $$5-x^2=(\sqrt{5}-x)(\sqrt{5}+x)$$. У результаті маємо:\ $$\dfrac{(\sqrt{5}-x)(\sqrt{5}+x)}{x}Граничні точки многочлена $$P(x)$$ в чисельнику: $$-\sqrt{5};\sqrt{5}$$, а граничні точки многочлена $$Q(x)$$ в знаменнику: $$0$$. Загальні граничні точки: $$-\sqrt{5};0;\sqrt{5}$$.Зобразимо їх на числовій прямій:![](/files/-LWNRRjnp27Vf40qW-aW)Шукаємо знак функції на правому інтервалі $$(\sqrt{5};\infty)$$. Підставимо тестове значення «мільярд»:\ $$\dfrac{P({\text{мільярд}})}{Q({\text{мільярд}})} = \underbrace{\left( \sqrt{5} - \text{мільярд} \right)}\_{\lt 0} \underbrace{\left( \sqrt{5} + \text{мільярд} \right)}\_{\gt 0} \underbrace{\dfrac{1}{\text{мільярд}}}\_{\gt 0} \lt 0$$ Два множники додатні, один від’ємний – функція на цьому інтервалі має від’ємний знак. Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний: ![](/files/-LWNRRjp1bOJpSKmbbY_) Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} ![](/files/-LWNRRjryjnxH4tswHoR) **Вiдповiдь.** Отже, $$x \in (-\sqrt{5};0) \cup (0;\sqrt{5})$$. Приклад Розв’язати нерівність $$\dfrac{(x+2)^3(x+3)}{x^2-9} * * Розв’язок * * Вiдповiдь * * Приховати **Розв’язок.** Многочлен в знаменнику $$x^2-9$$ можна розкласти на множники за допомогою формули різниці квадратів: $$x^2-9=(x+3)(x-3)$$. В результаті маємо: $$\dfrac{(x+2)^3(x+3)}{(x-3)(x+3)}Граничні точки многочлена $$P(x)$$ в чисельнику: $$-3;-2$$, а граничні точки многочлена $$Q(x)$$ в знаменнику: $$-3;3$$. Загальні граничні точки: $$-3;-2;3$$.Зобразимо їх на числовій прямій. Точка $$x=-3$$ має кратність «$$2$$» — малюємо одну «пелюстку» на числовій осі. Точка $$x=-2$$ має кратність «$$3$$» — малюємо дві «пелюстки»:![](/files/-LWNRRjt2Cgf3hKQXRUl)Шукаємо знак функції на правому інтервалі $$(3;\infty)$$. Підставимо тестове значення «мільярд ».$$\dfrac{P({\text{мільярд}})}{Q({\text{мільярд}})} = \underbrace{\left( \text{мільярд} + 2 \right)^2}\_{\gt 0} \underbrace{\left( \text{мільярд} + 3 \right)}\_{\gt 0} \underbrace{\dfrac{1}{\text{мільярд} + 3}}\_{\gt 0} \underbrace{\dfrac{1}{\text{мільярд} - 3}}\_{\gt 0} \gt 0$$ Всі чотири множники додатні, функція на цьому інтервалі має додатний знак. Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний: ![](/files/-LWNRRjv06TBoiYw_c3G) Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} ![](/files/-LWNRRjx8aHbaNEaX-aR) **Вiдповiдь.** Отже, $$x \in (-2;3)$$. Скільки граничних точок має нерівність: $$\dfrac{(x-5)(x+1)(x-2)}{x^2-25}>0?$$ $$4$$ $$5$$ $$6$$ $$7$$ На скільки інтервалів розбивається числова пряма для нерівності: $$\dfrac{(x-5)(x+3)(x-3)}{x^2+9} $$2$$ $$3$$ $$4$$ $$5$$ --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://math.ed-era.com/ratsonaln_nervnost/drobovo-ratsionalni_nerivnost.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.