Дробово-рацiональнi нерiвності
Визначення Дробово-раціональна нерівність — це нерівність вигляду $\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$ або $\dfrac{P(x)}{Q(x)}
Наприклад: $\dfrac{2}{x}0;\quad\dfrac{x^2-3x+5}{x(3x-1)(2x-6)(x-2)}
Для розв’язання дробово-раціональних нерівностей користуються тим самим методом інтервалів.
Основна думка в цьому варіанті полягає в тому, що дробово-раціональна функція може змінювати знак лише у точках, в яких вона рівна нулеві або не існує.
Граничні точки для дробово-раціональної функції можна знайти прирівнявши нулеві як чисельник: $P(x)=0$ (дробово-раціональна функція рівна нулю), так і знаменник: $Q(x)=0$ (дробово-раціональна функція не існує).
Алгоритм Метод інтервалів
  1. 1.
    Виразити нерівність у вигляді $\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$ або $\dfrac{P(x)}{Q(x)}
    Розв’язати рівняння $P(x)=0$ та $Q(x)=0$, знайшовши граничні точки.
    Зобразити граничні точки на числовій прямій, розбивши її на інтервали.
    Знайти знаки функції $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ на кожному інтервалі.
    Обрати ті інтервали, на яких знаки $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ задовольняють вихідній нерівності.
Приклад
Розв’язати нерівність $\dfrac{5}{x} Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Перетворюємо нерівність до вигляду $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ \begin{align} \dfrac{5}{x} & \lt x \\ \dfrac{5}{x} - x & \lt x - x \\ \dfrac{5}{x} - x & \lt 0 \\ \dfrac{5}{x} - x \cdot \dfrac{x}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{5 - x^2}{x} & \lt 0 \end{align}$Вихідна нерівність Віднімаємо $x$ від обох частин нерівності Спрощуємо Зводимо до спільного знаменника СпрощуємоМногочлен в знаменнику $5-x^2$ можна розкласти на множники за допомогою формули різниці квадратів: $5-x^2=(\sqrt{5}-x)(\sqrt{5}+x)$. У результаті маємо: $\dfrac{(\sqrt{5}-x)(\sqrt{5}+x)}{x}Граничні точки многочлена $P(x)$ в чисельнику: $-\sqrt{5};\sqrt{5}$, а граничні точки многочлена $Q(x)$ в знаменнику: $0$. Загальні граничні точки: $-\sqrt{5};0;\sqrt{5}$.Зобразимо їх на числовій прямій:
Шукаємо знак функції на правому інтервалі $(\sqrt{5};\infty)$. Підставимо тестове значення «мільярд»: $\dfrac{P({\text{мільярд}})}{Q({\text{мільярд}})} = \underbrace{\left( \sqrt{5} - \text{мільярд} \right)}_{\lt 0} \underbrace{\left( \sqrt{5} + \text{мільярд} \right)}_{\gt 0} \underbrace{\dfrac{1}{\text{мільярд}}}_{\gt 0} \lt 0$
Два множники додатні, один від’ємний – функція на цьому інтервалі має від’ємний знак.
Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:
Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $\dfrac{P(x)}{Q(x)}
Вiдповiдь. Отже, $x \in (-\sqrt{5};0) \cup (0;\sqrt{5})$.
Приклад
Розв’язати нерівність $\dfrac{(x+2)^3(x+3)}{x^2-9}
  • Розв’язок
  • Вiдповiдь
  • Приховати
Розв’язок.
Многочлен в знаменнику $x^2-9$ можна розкласти на множники за допомогою формули різниці квадратів: $x^2-9=(x+3)(x-3)$. В результаті маємо:
$\dfrac{(x+2)^3(x+3)}{(x-3)(x+3)}Граничні точки многочлена $P(x)$ в чисельнику: $-3;-2$, а граничні точки многочлена $Q(x)$ в знаменнику: $-3;3$. Загальні граничні точки: $-3;-2;3$.Зобразимо їх на числовій прямій. Точка $x=-3$ має кратність «$2$» — малюємо одну «пелюстку» на числовій осі. Точка $x=-2$ має кратність «$3$» — малюємо дві «пелюстки»:
Шукаємо знак функції на правому інтервалі $(3;\infty)$. Підставимо тестове значення «мільярд ».$\dfrac{P({\text{мільярд}})}{Q({\text{мільярд}})} = \underbrace{\left( \text{мільярд} + 2 \right)^2}_{\gt 0} \underbrace{\left( \text{мільярд} + 3 \right)}_{\gt 0} \underbrace{\dfrac{1}{\text{мільярд} + 3}}_{\gt 0} \underbrace{\dfrac{1}{\text{мільярд} - 3}}_{\gt 0} \gt 0$
Всі чотири множники додатні, функція на цьому інтервалі має додатний знак.
Все, що потрібно зробити, – проставити знаки на решті інтервалів справа наліво, почергово змінюючи знак на протилежний:
Залишилось обрати інтервали, де функція додатна, бо за умовою $\dfrac{P(x)}{Q(x)}
Вiдповiдь. Отже, $x \in (-2;3)$.
Скільки граничних точок має нерівність: $\dfrac{(x-5)(x+1)(x-2)}{x^2-25}>0?$ $4$ $5$ $6$ $7$
На скільки інтервалів розбивається числова пряма для нерівності: $\dfrac{(x-5)(x+3)(x-3)}{x^2+9} $2$ $3$ $4$ $5$
Last modified 2yr ago
Copy link