Раціональні рівняння з параметрами
Точно так само, як і для інших видів рівнянь з параметрами, основна концепція при розв’язанні полягає в такому:
  1. 1.
    Знайти «контрольнi» значення параметрiв, при яких у рівнянні вiдбуваються якiснi змiни, наприклад, вираз у знаменнику обертається на нуль.
  2. 2.
    Знайти всi вирази для коренiв рiвняння при рiзних значеннях параметрiв.
Приклад Розв’язати рівняння $\dfrac{x+5}{ax+2}-\dfrac{ax+4}{1-x}=0$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Маємо дробове раціональне рівняння.Зводимо його до стандратного вигляду $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$:$\dfrac{x+5}{ax+2}-\dfrac{ax+4}{1-x}=0$$\dfrac{1-x}{1-x}\cdot\dfrac{x+5}{ax+2}-\dfrac{ax+2}{ax+2}\cdot\dfrac{ax+4}{1-x}=0$$\dfrac{(1-x)(x+5)+(ax+2)(ax-4)}{(ax+2)(1-x)}=0$$\dfrac{x+5-x^2-5x+(ax)^2-4ax+2ax-8}{(ax+2)(1-x)}=0$$\dfrac{({a^2}-1)x^2-(2a+4)x-3}{(ax+2)(1-x)}=0$$(a^2-1) x^2-(2a+4)x-3=0$По-перше, розглянемо «контрольні» значення параметра $a=\pm1$. Рівняння стане лінійним та матиме один корінь:При $a=1$:$-(6\cdot1+2)x-3=0$$-2x-9=0$$x=-\dfrac{9}{2}$При $a=-1$:$-(6\cdot(-1)+2)x-3=0$$-2x+3=0$$x=-\dfrac{3}{2}$Якщо $a\neq\pm1$, то рівняння є квадратним. Шукаємо дискримінант:$D=(2a+4)^2-4\cdot(a^2-1)\cdot(-3)=4a^2+16a+16+12a^2-12=$$=16a^2+16a+4=4(4a^2+4a+1)=4(2a+1)^2\geq0$Наступну контрольну точку шукаємо з умови $D=0$:$4(2a+1)^2=0 \Longleftrightarrow 2a+1=0 \Longleftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}$Шукаємо розв’язок при $a=-\dfrac{1}{2}$:$x=\dfrac{2\left(-\dfrac{1}{2} \right)+4}{2\left( \left(-\dfrac{1}{2} \right)^2-1 \right)}=-2$В решті випадків, коли $a \notin \left\{-1;-\dfrac{1}{2};1 \right\}$, рівняння має два корені:$x_{1,2} = \dfrac{2a+4\pm\sqrt{4(2a+1)^2}}{2(a^2-1)}=\dfrac{a+2\pm|2a+1|}{a^2-1}$Розглянемо два випадки для позбавлення значка модуля:При $a>-\dfrac{1}{2}$:$x_1=\dfrac{a+2+(2a+1)}{a^2-1}=\dfrac{3a+3}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{3(a+1)}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{3}{a-1}$$x_2=\dfrac{a+2-(2a+1)}{a^2-1}=\dfrac{-a+1}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{-1}{a+1}$При $a$x_1=\dfrac{a+2-(2a+1)}{a^2-1}=\dfrac{-a+1}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{-1}{a+1}$$x_2=\dfrac{a+2+(2a+1)}{a^2-1}=\dfrac{3a+3}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{3(a+1)}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{3}{a-1}$Бачимо, що корені на цих двох проміжках однакові, тому у відповіді будемо це записувати спільним інтервалом для параметра $a$:При $a \notin \left\{-1;-\dfrac{1}{2};1 \right\}$:$x_1=\dfrac{-1}{a+1}$$x_2=\dfrac{3}{a-1}$Єдине, що залишилось, – відкинути ті корені, які не входять в ОДЗ. Зі знаменника вихідного дробового рівняння$\dfrac{(a^2-1) x^2-(2a+4)x-3}{(ax+2)(1-x)}=0$отримуємо умову $(ax+2)(1-x)\neq0$. Отже, ОДЗ: $x\neq1;x\neq-\dfrac{2}{a},a\neq0$.Тепер головне – не заплутатись при відборі коренів. Для одного значення параметра $a$ квадратне рівняння дає нам два корені. Маючи ОДЗ для змінної $x$ та вирази для коренів, ми можемо знайти саме ті значення параметра $a$, які дають заборонені значення змінної $x$. Такі значення параметра $a$ теж будуть «контрольними». Але при цих «контрольних» значеннях один корінь є точно заборонений (звідки ми й знайшли це значення параметра), а ось другий скоріше за все – ні (це треба перевірити).В результаті для більшості значень параметра $a$ у відповіді буде два корені, а для таких «контрольних» значень – лише один (або жодного).Зараз виконуємо таку послідовність дій:Шукаємо «контрольні» значеннях параметра, що дають заборонені значення $x$.Шукаємо дозволені значення другого (іншого з двох) кореня при «контрольних» значення параметра $a$.Вперед!Шукаємо «контрольні» значення параметра $a$. Для цього прирівняємо знайдені вирази для коренів по черзі до заборонених значень $x$, та звідти виразимо $a$:$x_1(a) = 1: \quad \dfrac{-1}{a+1} = 1 \Longleftrightarrow a = -2$$x_2(a) = 1: \quad \dfrac{3}{a-1} = 1 \Longleftrightarrow a = 4$$x_1(a) = -\dfrac{2}{a}, a\neq0: \quad \dfrac{-1}{a+1} = -\dfrac{2}{a} \Longleftrightarrow a = 2(a+1)\Longleftrightarrow a = -2$$x_2(a) = -\dfrac{2}{a}, a\neq0: \quad \dfrac{3}{a-1} = -\dfrac{2}{a} \Longleftrightarrow 3a = -2(a-1)\Longleftrightarrow a = \dfrac {2}{5}$Знайшли три «контрольних» значення параметра $a: -2;4;\dfrac{2}{5}$.Шукаємо тепер дозволені значення $x$ при «контрольних» значення параметра:При $a=-2$:$x_1 (-2)=1$ – заборонене значення, шукаємо $x_2$:$x_2 (-2)=\dfrac{3}{-2-1}=-1\neq1$ – дозволене значення.При $a=4$:$x_2 (4)=1$ – заборонене значення, шукаємо $x_1$:$x_1 (4)=\dfrac{-1}{4+1}=-\dfrac{1}{5}\neq1$ – дозволене значення.При $a=\dfrac{2}{5}$:$x_2 \left(\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{3}{\dfrac{2}{5}-1}=-5$ – заборонене значення, шукаємо $x_1$:$x_1 \left(\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{-1}{\dfrac{2}{5}+1}=-\dfrac{5}{7}\neq-5$ – дозволене значення.Тепер головне не заплутатись і перерахувати всі розглянуті випадки: Вiдповiдь.При $a = -2: \quad x = -1;$при $a = -1: \quad x = -\dfrac{3}{2};$при $a = -\dfrac{1}{2}: \quad x = -2;$при $a = \dfrac{2}{5}: \quad x = -\dfrac{5}{7};$при $a = 1: \quad x = -\dfrac{9}{2};$при $a = 4: \quad x = -\dfrac{1}{5};$при $a \notin \left\{-2;-1;-\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{4};1;4 \right\}: \quad x_1 = \dfrac{-1}{a+1}, x_2 = \dfrac{3}{a-1}.$
За яких значень параметра $a$ рівняння $\dfrac{a-x}{x^2+x-72}=0$ не матиме коренів? $-9$ $-5$ $0$ $8$ $10$ $14$
Last modified 2yr ago
Copy link