# Раціональні рівняння з параметрами Точно так само, як і для інших видів рівнянь з параметрами, основна концепція при розв’язанні полягає в такому: 1. Знайти «контрольнi» значення параметрiв, при яких у рівнянні вiдбуваються якiснi змiни, наприклад, вираз у знаменнику обертається на нуль. 2. Знайти всi вирази для коренiв рiвняння при рiзних значеннях параметрiв. Приклад Розв’язати рівняння $$\dfrac{x+5}{ax+2}-\dfrac{ax+4}{1-x}=0$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Маємо дробове раціональне рівняння.Зводимо його до стандратного вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$$:$$\dfrac{x+5}{ax+2}-\dfrac{ax+4}{1-x}=0$$$$\dfrac{1-x}{1-x}\cdot\dfrac{x+5}{ax+2}-\dfrac{ax+2}{ax+2}\cdot\dfrac{ax+4}{1-x}=0$$$$\dfrac{(1-x)(x+5)+(ax+2)(ax-4)}{(ax+2)(1-x)}=0$$$$\dfrac{x+5-x^2-5x+(ax)^2-4ax+2ax-8}{(ax+2)(1-x)}=0$$$$\dfrac{({a^2}-1)x^2-(2a+4)x-3}{(ax+2)(1-x)}=0$$$$(a^2-1) x^2-(2a+4)x-3=0$$По-перше, розглянемо «контрольні» значення параметра $$a=\pm1$$. Рівняння стане лінійним та матиме один корінь:При $$a=1$$:$$-(6\cdot1+2)x-3=0$$$$-2x-9=0$$$$x=-\dfrac{9}{2}$$При $$a=-1$$:$$-(6\cdot(-1)+2)x-3=0$$$$-2x+3=0$$$$x=-\dfrac{3}{2}$$Якщо $$a\neq\pm1$$, то рівняння є квадратним. Шукаємо дискримінант:$$D=(2a+4)^2-4\cdot(a^2-1)\cdot(-3)=4a^2+16a+16+12a^2-12=$$$$=16a^2+16a+4=4(4a^2+4a+1)=4(2a+1)^2\geq0$$Наступну контрольну точку шукаємо з умови $$D=0$$:$$4(2a+1)^2=0 \Longleftrightarrow 2a+1=0 \Longleftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}$$Шукаємо розв’язок при $$a=-\dfrac{1}{2}$$:$$x=\dfrac{2\left(-\dfrac{1}{2} \right)+4}{2\left( \left(-\dfrac{1}{2} \right)^2-1 \right)}=-2$$В решті випадків, коли $$a \notin \left\\{-1;-\dfrac{1}{2};1 \right\\}$$, рівняння має два корені:$$x\_{1,2} = \dfrac{2a+4\pm\sqrt{4(2a+1)^2}}{2(a^2-1)}=\dfrac{a+2\pm|2a+1|}{a^2-1}$$Розглянемо два випадки для позбавлення значка модуля:При $$a>-\dfrac{1}{2}$$:$$x\_1=\dfrac{a+2+(2a+1)}{a^2-1}=\dfrac{3a+3}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{3(a+1)}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{3}{a-1}$$$$x\_2=\dfrac{a+2-(2a+1)}{a^2-1}=\dfrac{-a+1}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{-1}{a+1}$$При $$a$$x\_1=\dfrac{a+2-(2a+1)}{a^2-1}=\dfrac{-a+1}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{-1}{a+1}$$$$x\_2=\dfrac{a+2+(2a+1)}{a^2-1}=\dfrac{3a+3}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{3(a+1)}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{3}{a-1}$$Бачимо, що корені на цих двох проміжках однакові, тому у відповіді будемо це записувати спільним інтервалом для параметра $$a$$:При $$a \notin \left\\{-1;-\dfrac{1}{2};1 \right\\}$$:$$x\_1=\dfrac{-1}{a+1}$$$$x\_2=\dfrac{3}{a-1}$$Єдине, що залишилось, – відкинути ті корені, які не входять в ОДЗ. Зі знаменника вихідного дробового рівняння$$\dfrac{(a^2-1) x^2-(2a+4)x-3}{(ax+2)(1-x)}=0$$отримуємо умову $$(ax+2)(1-x)\neq0$$. Отже, ОДЗ: $$x\neq1;x\neq-\dfrac{2}{a},a\neq0$$.Тепер головне – не заплутатись при відборі коренів. Для одного значення параметра $$a$$ квадратне рівняння дає нам два корені. Маючи ОДЗ для змінної $$x$$ та вирази для коренів, ми можемо знайти саме ті значення параметра $$a$$, які дають заборонені значення змінної $$x$$. Такі значення параметра $$a$$ теж будуть «контрольними». Але при цих «контрольних» значеннях один корінь є точно заборонений (звідки ми й знайшли це значення параметра), а ось другий скоріше за все – ні (це треба перевірити).В результаті для більшості значень параметра $$a$$ у відповіді буде два корені, а для таких «контрольних» значень – лише один (або жодного).Зараз виконуємо таку послідовність дій:Шукаємо «контрольні» значеннях параметра, що дають заборонені значення $$x$$.Шукаємо дозволені значення другого (іншого з двох) кореня при «контрольних» значення параметра $$a$$.Вперед!Шукаємо «контрольні» значення параметра $$a$$. Для цього прирівняємо знайдені вирази для коренів по черзі до заборонених значень $$x$$, та звідти виразимо $$a$$:$$x\_1(a) = 1: \quad \dfrac{-1}{a+1} = 1 \Longleftrightarrow a = -2$$$$x\_2(a) = 1: \quad \dfrac{3}{a-1} = 1 \Longleftrightarrow a = 4$$$$x\_1(a) = -\dfrac{2}{a}, a\neq0: \quad \dfrac{-1}{a+1} = -\dfrac{2}{a} \Longleftrightarrow a = 2(a+1)\Longleftrightarrow a = -2$$$$x\_2(a) = -\dfrac{2}{a}, a\neq0: \quad \dfrac{3}{a-1} = -\dfrac{2}{a} \Longleftrightarrow 3a = -2(a-1)\Longleftrightarrow a = \dfrac {2}{5}$$Знайшли три «контрольних» значення параметра $$a: -2;4;\dfrac{2}{5}$$.Шукаємо тепер дозволені значення $$x$$ при «контрольних» значення параметра:При $$a=-2$$:$$x\_1 (-2)=1$$ – заборонене значення, шукаємо $$x\_2$$:$$x\_2 (-2)=\dfrac{3}{-2-1}=-1\neq1$$ – дозволене значення.При $$a=4$$:$$x\_2 (4)=1$$ – заборонене значення, шукаємо $$x\_1$$:$$x\_1 (4)=\dfrac{-1}{4+1}=-\dfrac{1}{5}\neq1$$ – дозволене значення.При $$a=\dfrac{2}{5}$$:$$x\_2 \left(\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{3}{\dfrac{2}{5}-1}=-5$$ – заборонене значення, шукаємо $$x\_1$$:$$x\_1 \left(\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{-1}{\dfrac{2}{5}+1}=-\dfrac{5}{7}\neq-5$$ – дозволене значення.Тепер головне не заплутатись і перерахувати всі розглянуті випадки: **Вiдповiдь.**При $$a = -2: \quad x = -1;$$при $$a = -1: \quad x = -\dfrac{3}{2};$$при $$a = -\dfrac{1}{2}: \quad x = -2;$$при $$a = \dfrac{2}{5}: \quad x = -\dfrac{5}{7};$$при $$a = 1: \quad x = -\dfrac{9}{2};$$при $$a = 4: \quad x = -\dfrac{1}{5};$$при $$a \notin \left\\{-2;-1;-\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{4};1;4 \right\\}: \quad x\_1 = \dfrac{-1}{a+1}, x\_2 = \dfrac{3}{a-1}.$$ За яких значень параметра $$a$$ рівняння $$\dfrac{a-x}{x^2+x-72}=0$$ не матиме коренів? $$-9$$ $$-5$$ $$0$$ $$8$$ $$10$$ $$14$$ --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://math.ed-era.com/zagaln_vdomost-2/ratsonaln_rvnyannya_z_parametrami.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.