# Дробово-раціональне рівняння

Повернемося до вихідного рівняння. Воно містило змінну в знаменнику дробу, і таке рівняння називається дробовим раціональним.

 Визначення **Дробово-раціональне рівняння** — це рівняння вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$$, де $$P(x),Q(x)$$ – многочлени, а $$x$$ – змінна.

Наприклад: $$\dfrac{1}{x}=2;\quad \dfrac{x(x+3)}{x-1}=0;\quad \dfrac{5x^2+x+1}{3-x+x^3}-\dfrac{1}{x}=6.$$

Розв’язувати дробові раціональні рівняння не складніше, ніж звичайні раціональні. Головне – **пам’ятати про ОДЗ знаменника**.

 Алгоритм **Дробове раціональне рівняння**

1. Виразити рівняння у вигляді $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$$, де $$P(x),Q(x)$$ – многочлени.
2. Розв’язати рівняння $$P(x)=0$$.
3. Перевірити знайдені корені, щоб вони задовольняли ОДЗ знаменника: $$Q(x\_i)\neq0$$.

 Приклад Знайти корені рівняння $$\dfrac{x-3}{x^2+4x+3} + \dfrac{1}{x+1} = -\dfrac{x}{x+3}$$.

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Користуємося вищезазначеним алгоритмом.Перетворюємо рівняння до вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$$:$$\dfrac{x-3}{x^2+4x+3} + \dfrac{1}{x+1} = - \dfrac{x}{x+3}$$Вихідне рівняння$$\dfrac{x-3}{x^2+4x+3} + \dfrac{1}{x+1} + \dfrac{x}{x+3} = 0$$Додаємо $$\dfrac{x}{x+3}$$ до обох частин та спрощуємо$$\dfrac{x-3+x+3+(x+1)x}{\color{#1570bd}(\color{#1570bd}x\color{#1570bd}+\color{#1570bd}3\color{#1570bd})\color{#1570bd}(\color{#1570bd}x\color{#1570bd}+\color{#1570bd}1\color{#1570bd})} = 0$$Зводимо до спільного знаменника$$\dfrac{\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2\color{#1570bd}+\color{#1570bd}3\color{#1570bd}x}{(x+3)(x+1)} = 0$$Спрощуємо$$\dfrac{\color{#1570bd}x(x+3)}{(x+3)(x+1)} = 0$$Виносимо $$x$$ в чисельнику за дужкиРозв’язуємо рівняння з чисельника:$$x(x+3) = 0$$Вихідне рівняння$$\left\[ \begin{array}{} x = 0 \\\ x + 3 = 0 \end{array} \right.$$Добуток множників рівний нулю записати як сукупність множників, кожен з яких рівний нулю$$\left\[ \begin{array}{} x = 0 \\\ x + 3 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}3 = 0 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}3 \end{array} \right.$$У другому рівнянні віднімемо $$3$$ від обох частин$$\left\[ \begin{array}{} x\_1 = 0 \\\ x\_2 = - 3 \end{array} \right.$$СпрощуємоТепер поглянемо на знаменник. ОДЗ такого дробу знаходимо з умови $$(x+3)(x+1)\neq0$$. Отже, отримуємо ОДЗ: $$x\neq-3;x\neq-1$$.Серед знайдених двох коренів ОДЗ задовольняє лише один $$x=0$$.**Вiдповiдь.** $$x=0$$.

 Приклад Знайти корені рівняння $$\dfrac{x^2-14x+2}{x^2+4x+2}+1=\dfrac{5x}{x^2-3x+2}.$$

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Перед нами дробове раціональне рівняння. Зводимо його до вигляду $$\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$$.Скористаємося одним трюком. Якщо уважно придивитися до коефіцієнтів квадратних тричленів у рівнянні, можна побачити, що деякі з них збігаються:Якщо в такому рівняння поділити і чисельник, і знаменник на $$x$$ – можна буде зробити дуже вдалу заміну. Але спочатку треба перевірити, чи не є $$x=0$$ коренем рівняння, бо на $$0$$ ділити не можна:$$\dfrac{0^2-14 \cdot 0+2}{0^2+4\cdot0+2} +1 = \dfrac{5\cdot0}{0^2-3\cdot0+2}\Longleftrightarrow \dfrac{2}{2}+1=0$$Така рівність не справджується, тому можна спокійно ділити і чисельник, і знаменник дробів на $$x$$:$$\dfrac{\dfrac{x^2 - 14x + 2}{\color{#1570bd}x}}{\dfrac{x^2 + 4x + 2}{\color{#1570bd}x}} + 1 = \dfrac{\dfrac{5x}{\color{#1570bd}x}}{\dfrac{x^2-3x+2}{\color{#1570bd}x}}$$Ділимо чисельник і знаменник дробів на $$x$$$$\dfrac{\color{#1570bd}x - 14 + \dfrac{\color{#1570bd}2}{\color{#1570bd}x}}{\color{#1570bd}x + 4 + \dfrac{\color{#1570bd}2}{\color{#1570bd}x}} + 1 = \dfrac{5}{\color{#1570bd}x-3+\dfrac{\color{#1570bd}2}{\color{#1570bd}x}}$$Спрощуємо$$\dfrac{t-14}{t+4} + 1 = \dfrac{5}{t-3}$$Робимо заміну $$t= x + \dfrac{2}{x}$$$$\dfrac{t-14}{t+4} + 1 - \dfrac{5}{t-3} = 0$$Збираємо всі доданки в лівій частині$$\dfrac{2t^2 - 21t + 10}{(t-3)(t+4)} = 0$$Зводимо до спільного знаменника та спрощуємоРозв’язуємо рівняння з чисельника:$$2t^2 - 21t + 10 = 0$$Вихідне рівняння$$D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 441 - 80 = 361$$Шукаємо дискримінант$$t\_{1,2} = \dfrac{21 \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 2} = \dfrac{21 \pm 19}{4}$$Дискримінант додатний, шукаємо корені$$\left\[ \begin{array}{} t\_1 = 10, \\\ t\_2 = \dfrac{1}{2} \end{array} \right.$$Спрощуємо та обчислюємо значення коренівПоглянемо на ОДЗ змінної, знаменник повинен бути відмінним від нуля: $$(t-3)(t+4)\neq0$$. Це дає два заборонених значення змінної: $$t\neq3;t\neq-4$$. Обидва знайдені значення задовольняють ОДЗ.Повертаємося до вихідної змінної $$x$$ і отримуємо ще два дробових раціональних рівняння:$$\left\[ \begin{gathered} x + \dfrac{2}{x} = 10, \hfill \\\ x + \dfrac{2}{x} = \dfrac{1}{2} \hfill \\\ \end{gathered} \right.$$Оскільки раніше ми вже перевірили, що $$x\neq0$$ – можемо спокійно домножити обидві частини рівнянь на $$x$$ та розв’язати отримані квадратні рівняння:$$\left(x + \dfrac{2}{x} \right)\cdot x=10\cdot x$$$$\left(x + \dfrac{2}{x} \right)\cdot x= \dfrac{1}{2}\cdot x$$$$x^2+2=10x$$$$x^2+2=\dfrac{x}{2}$$$$x^2-10x+2=0$$$$x^2-\dfrac{x}{2}+2=0$$$$D=(-10)^2-4\cdot1\cdot2=92>0$$$$D=\left(-\dfrac{1}{2} \right)^2-4\cdot1\cdot2=-\dfrac{31}{4}$$x\_{1,2}=\dfrac{10\pm\sqrt{92}}{2}=5\pm\sqrt{23}$$$$x \in \emptyset$$Отже, вихідне рівняння має корені $$x\_{1,2}=5\pm\sqrt{23}$$.**Вiдповiдь.** $$x\_{1,2}=5\pm\sqrt{23}$$.

Розв’яжіть рівняння: $$\dfrac{7x-2}{2x-7}=1$$ $$x=-1$$ $$x=7$$ $$x=5$$ $$x=-2$$

Претворимо рівняння до вигляду: $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0$$

$$\dfrac{(7x-2)-(2x-7)}{2x-7}=0$$

Розв’язуємо рівняння чисельника:

$$7x-2-2x+7=0$$

$$x=-1$$

Звернемо увагу на знаменник: $$x\neq\dfrac{7}{2}$$.

Отже, відповідь $$x=-1.$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/zagaln_vdomost-2/drobovo-ratsonalne_rvnyannya.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.