Дробово-раціональне рівняння
Повернемося до вихідного рівняння. Воно містило змінну в знаменнику дробу, і таке рівняння називається дробовим раціональним.
Визначення Дробово-раціональне рівняння — це рівняння вигляду $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$, де $P(x),Q(x)$ – многочлени, а $x$ – змінна.
Наприклад: $\dfrac{1}{x}=2;\quad \dfrac{x(x+3)}{x-1}=0;\quad \dfrac{5x^2+x+1}{3-x+x^3}-\dfrac{1}{x}=6.$
Розв’язувати дробові раціональні рівняння не складніше, ніж звичайні раціональні. Головне – пам’ятати про ОДЗ знаменника.
Алгоритм Дробове раціональне рівняння
- 1.Виразити рівняння у вигляді $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$, де $P(x),Q(x)$ – многочлени.
- 2.Розв’язати рівняння $P(x)=0$.
- 3.Перевірити знайдені корені, щоб вони задовольняли ОДЗ знаменника: $Q(x_i)\neq0$.
Приклад Знайти корені рівняння $\dfrac{x-3}{x^2+4x+3} + \dfrac{1}{x+1} = -\dfrac{x}{x+3}$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Користуємося вищезазначеним алгоритмом.Перетворюємо рівняння до вигляду $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$:$\dfrac{x-3}{x^2+4x+3} + \dfrac{1}{x+1} = - \dfrac{x}{x+3}$Вихідне рівняння$\dfrac{x-3}{x^2+4x+3} + \dfrac{1}{x+1} + \dfrac{x}{x+3} = 0$Додаємо $\dfrac{x}{x+3}$ до обох частин та спрощуємо$\dfrac{x-3+x+3+(x+1)x}{\color{#1570bd}(\color{#1570bd}x\color{#1570bd}+\color{#1570bd}3\color{#1570bd})\color{#1570bd}(\color{#1570bd}x\color{#1570bd}+\color{#1570bd}1\color{#1570bd})} = 0$Зводимо до спільного знаменника$\dfrac{\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2\color{#1570bd}+\color{#1570bd}3\color{#1570bd}x}{(x+3)(x+1)} = 0$Спрощуємо$\dfrac{\color{#1570bd}x(x+3)}{(x+3)(x+1)} = 0$Виносимо $x$ в чисельнику за дужкиРозв’язуємо рівняння з чисельника:$x(x+3) = 0$Вихідне рівняння$\left[ \begin{array}{} x = 0 \\ x + 3 = 0 \end{array} \right.$Добуток множників рівний нулю записати як сукупність множників, кожен з яких рівний нулю$\left[ \begin{array}{} x = 0 \\ x + 3 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}3 = 0 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}3 \end{array} \right.$У другому рівнянні віднімемо $3$ від обох частин$\left[ \begin{array}{} x_1 = 0 \\ x_2 = - 3 \end{array} \right.$СпрощуємоТепер поглянемо на знаменник. ОДЗ такого дробу знаходимо з умови $(x+3)(x+1)\neq0$. Отже, отримуємо ОДЗ: $x\neq-3;x\neq-1$.Серед знайдених двох коренів ОДЗ задовольняє лише один $x=0$.Вiдповiдь. $x=0$.
Приклад Знайти корені рівняння $\dfrac{x^2-14x+2}{x^2+4x+2}+1=\dfrac{5x}{x^2-3x+2}.$
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Перед нами дробове раціональне рівняння. Зводимо його до вигляду $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$.Скористаємося одним трюком. Якщо уважно придивитися до коефіцієнтів квадратних тричленів у рівнянні, можна побачити, що деякі з них збігаються:Якщо в такому рівняння поділити і чисельник, і знаменник на $x$ – можна буде зробити дуже вдалу заміну. Але спочатку треба перевірити, чи не є $x=0$ коренем рівняння, бо на $0$ ділити не можна:$\dfrac{0^2-14 \cdot 0+2}{0^2+4\cdot0+2} +1 = \dfrac{5\cdot0}{0^2-3\cdot0+2}\Longleftrightarrow \dfrac{2}{2}+1=0$Така рівність не справджується, тому можна спокійно ділити і чисельник, і знаменник дробів на $x$:$\dfrac{\dfrac{x^2 - 14x + 2}{\color{#1570bd}x}}{\dfrac{x^2 + 4x + 2}{\color{#1570bd}x}} + 1 = \dfrac{\dfrac{5x}{\color{#1570bd}x}}{\dfrac{x^2-3x+2}{\color{#1570bd}x}}$Ділимо чисельник і знаменник дробів на $x$$\dfrac{\color{#1570bd}x - 14 + \dfrac{\color{#1570bd}2}{\color{#1570bd}x}}{\color{#1570bd}x + 4 + \dfrac{\color{#1570bd}2}{\color{#1570bd}x}} + 1 = \dfrac{5}{\color{#1570bd}x-3+\dfrac{\color{#1570bd}2}{\color{#1570bd}x}}$Спрощуємо$\dfrac{t-14}{t+4} + 1 = \dfrac{5}{t-3}$Робимо заміну $t= x + \dfrac{2}{x}$$\dfrac{t-14}{t+4} + 1 - \dfrac{5}{t-3} = 0$Збираємо всі доданки в лівій частині$\dfrac{2t^2 - 21t + 10}{(t-3)(t+4)} = 0$Зводимо до спільного знаменника та спрощуємоРозв’язуємо рівняння з чисельника:$2t^2 - 21t + 10 = 0$Вихідне рівняння$D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 441 - 80 = 361$Шукаємо дискримінант$t_{1,2} = \dfrac{21 \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 2} = \dfrac{21 \pm 19}{4}$Дискримінант додатний, шукаємо корені$\left[ \begin{array}{} t_1 = 10, \\ t_2 = \dfrac{1}{2} \end{array} \right.$Спрощуємо та обчислюємо значення коренівПоглянемо на ОДЗ змінної, знаменник повинен бути відмінним від нуля: $(t-3)(t+4)\neq0$. Це дає два заборонених значення змінної: $t\neq3;t\neq-4$. Обидва знайдені значення задовольняють ОДЗ.Повертаємося до вихідної змінної $x$ і отримуємо ще два дробових раціональних рівняння:$\left[ \begin{gathered} x + \dfrac{2}{x} = 10, \hfill \\ x + \dfrac{2}{x} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$Оскільки раніше ми вже перевірили, що $x\neq0$ – можемо спокійно домножити обидві частини рівнянь на $x$ та розв’язати отримані квадратні рівняння:$\left(x + \dfrac{2}{x} \right)\cdot x=10\cdot x$$\left(x + \dfrac{2}{x} \right)\cdot x= \dfrac{1}{2}\cdot x$$x^2+2=10x$$x^2+2=\dfrac{x}{2}$$x^2-10x+2=0$$x^2-\dfrac{x}{2}+2=0$$D=(-10)^2-4\cdot1\cdot2=92>0$$D=\left(-\dfrac{1}{2} \right)^2-4\cdot1\cdot2=-\dfrac{31}{4}$x_{1,2}=\dfrac{10\pm\sqrt{92}}{2}=5\pm\sqrt{23}$$x \in \emptyset$Отже, вихідне рівняння має корені $x_{1,2}=5\pm\sqrt{23}$.Вiдповiдь. $x_{1,2}=5\pm\sqrt{23}$.
Розв’яжіть рівняння: $\dfrac{7x-2}{2x-7}=1$ $x=-1$ $x=7$ $x=5$ $x=-2$
Претворимо рівняння до вигляду: $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0$
$\dfrac{(7x-2)-(2x-7)}{2x-7}=0$
Розв’язуємо рівняння чисельника:
$7x-2-2x+7=0$
$x=-1$
Звернемо увагу на знаменник: $x\neq\dfrac{7}{2}$.
Отже, відповідь $x=-1.$
Last modified 2yr ago
Copy link