Дроби та дiї над ними

 Визначення Звичайний дрiб — це число виду $\dfrac{m}{n}$ , де чисельник дробу $m$ та знаменник дробу $n$ – натуральнi числа. Якщо $mназивають правильним, якщо $m\geq n$ – неправильним.
Число, що є сумою натурального числа та звичайного дробу, називають мiшаним.
Перевести мiшане число у звичайний дрiб можна, помноживши цiлу частину на знаменник дробової частини та додавши до чисельника дробової частини.
Наприклад: $10\dfrac{2}{7} = \dfrac{(10\cdot7+2)}{7}=\dfrac{72}{7}.$
Неправильний дрiб можна перевести у мiшане число роздiливши чисельник на знаменник. Частка вiд дiлення буде цiлою частиною, остача – чисельником, дiльник – знаменником.
Основна властивiсть дробу: якщо і чисельник, i знаменник помножити чи подiлити на одне й те саме число, відмінне від нуля, отримаємо дрiб, що рiвний вихiдному.
Наприклад: $\dfrac{5}{2} = \dfrac{5\cdot7}{2\cdot7} = \dfrac{35}{14}.$
Тепер розглянемо основнi дiї над дробами. Розпочнемо з операцiї зведення до спiльного знаменника. Для чого вона потрiбна? По-перше, це дозволить легко порiвнювати дроби з рiзними знаменниками. По-друге, без цiєї операцiї неможливо зробити додавання та вiднiмання дробiв з рiзними знаменниками.
 Алгоритм Зведення дробiв до спiльного знаменника
Знайти НСК знаменникiв дробiв.
Подiлити НСК на кожний зi знаменникiв i знайти додатковi множники.
Помножити чисельник i знаменник дробу на його додатковий множник.
 Наприклад: звести дроби $\dfrac{2}{9}$ i $\dfrac{7}{12}$ до спiльного знаменника.
 НСК $(9,12) = 36.$
Додатковi множники: $\dfrac{36}{9} = 4$, $\dfrac{36}{12} = 3.$
Маємо: $\dfrac{(2\cdot4)}{(9\cdot4)} = \dfrac{8}{36}$ i $\dfrac{7\cdot3}{12\cdot3} = \dfrac{21}{36}.$
Дiї над дробами.
Додавання i вiднiмання. Сумою (рiзницею) двох дробiв з однаковими знаменниками ac\dfrac{a}{c}ca​
 i bc\dfrac{b}{c}cb​
 є дрiб з таким самим знаменником, а у чисельнику якого записана сума (рiзниця) чисельникiв: a±bc\dfrac{a\pm b}{c}ca±b​
. Якщо дроби мають різні знаменники, треба звести їх до спільного.
Множення. Добутком двох дробів є дріб, у чисельнику якого стоїть добуток чисельників цих дробів, а у знаменнику – добуток знаменників: ac⋅bd=a⋅bc⋅d.\dfrac{a}{c}\cdot \dfrac{b}{d}=\dfrac{a\cdot b}{c\cdot d}.ca​⋅db​=c⋅da⋅b​.
​
Ділення. Операції ділення дробів еквівалентна операція множення на дріб, що є перевернутим: ac:bd=ac⋅db=a⋅dc⋅b.\dfrac{a}{c}:\dfrac{b}{d} = \dfrac{a}{c}\cdot \dfrac{d}{b}= \dfrac{a\cdot d}{c\cdot b}.ca​:db​=ca​⋅bd​=c⋅ba⋅d​.
​
 Визначення Десятковий дрiб — форма запису звичайного дробу зi знаменником вигляду $10^n$.
Наприклад: $\dfrac{8}{10}=0,8$; $\dfrac{127}{10000}=0,0127.$
Кожен звичайний дріб можна подати у вигляді скінченого або нескінченого десяткового дробу. Періодом нескінченого десяткового дробу називають найменшу групу цифр після коми, яка повторюється. Цей період записують один раз у круглих дужках.
Наприклад: $2,1156156156... = 2,1(156)$; $0,133333333... = 0,1(3).$
Перетворення нескінченого періодичного дробу в звичайний. Отриманий дріб матиме вигляд: у чисельнику стоїть різниця числа, яке стоїть до другого періоду, та числа, яке стоїть до першого періоду; у знаменнику записується цифра 999
 стільки разів, скільки цифр у періоді, і дописується цифра 000
 стільки разів, скільки цифр між комою і першим періодом.
Стандартний вигляд числа — це запис числа в експоненціальному вигляді $a\cdot 10^n$, де $1\leq a
Наприклад: $256000 = 2,56\cdot 10^5; 0,00071 = 7,1\cdot 10^{-4}.$
Коли записують число у такій формі, зручно користуватись так званим «пересуванням коми» для визначення показника $n$. Треба "пересунути" кому на певну кількість позицій таким чином, щоби отримати число від $1$ до $10$. Якщо кома зсувається ліворуч на $n$ позицій, то показник, відповідно, збільшується на $n$. Якщо праворуч – то зменшується на $n$.
Ось саме так записали 256000256000256000
. Для того, щоб отримати число від 111
 до 101010
, треба пересунути кому на 555
 позицій ліворуч. Зсунувши кому на 555
 позицій ліворуч, ми збільшуємо показник на 555
. Отримуємо стандартний вигляд: 2,56⋅1052,56\cdot10^52,56⋅105
. Аналогічно треба діяти з числом 0,000740,000740,00074
. Для того, щоб отримати число від 111
 до 101010
, треба пересунути кому на 444
 позиції праворуч. Зсунувши кому на 444
 позиції праворуч, ми зменшуємо показник на 444
. В результаті, маємо 7,4⋅10−47,4\cdot10^{-4}7,4⋅10−4
.
Чому дорівнює значення дробу $\dfrac{\dfrac{5}{7}}{1\dfrac{4}{6}}$? $\dfrac{3}{7}$ $\dfrac{70}{30}$ $\dfrac{50}{30}$ $1\dfrac{2}{3}$ Спростимо дріб: $\dfrac{\dfrac{5}{7}}{1\dfrac{4}{6}}=\dfrac{\dfrac{5}{7}}{\dfrac{10}{6}}=\dfrac{5}{7}\cdot\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{7}$
Обчисліть значення виразу $5\dfrac{3}{5}\cdot7\dfrac{1}{2}:\dfrac{3}{20}-250$ $10$ $20$ $30$ $40$ $50$ Спростимо дріб: $5\dfrac{3}{5}\cdot7\dfrac{1}{2}:\dfrac{3}{20}-250=\dfrac{28}{5}\cdot\dfrac{15}{2}\cdot\dfrac{20}{3}-250=28\cdot5\cdot2-250=30$

Ознаки подiльностi натуральних чисел

Модуль числа

Last modified 2yr ago

Copy link