Дроби та дiї над ними

Визначення Звичайний дрiб — це число виду $$\dfrac{m}{n}$$ , де чисельник дробу $$m$$ та знаменник дробу $$n$$ – натуральнi числа. Якщо $$mназивають правильним, якщо $$m\geq n$$ – неправильним.

Число, що є сумою натурального числа та звичайного дробу, називають мiшаним.

Перевести мiшане число у звичайний дрiб можна, помноживши цiлу частину на знаменник дробової частини та додавши до чисельника дробової частини.

Наприклад: $$10\dfrac{2}{7} = \dfrac{(10\cdot7+2)}{7}=\dfrac{72}{7}.$$

Неправильний дрiб можна перевести у мiшане число роздiливши чисельник на знаменник. Частка вiд дiлення буде цiлою частиною, остача – чисельником, дiльник – знаменником.

Основна властивiсть дробу: якщо і чисельник, i знаменник помножити чи подiлити на одне й те саме число, відмінне від нуля, отримаємо дрiб, що рiвний вихiдному.

Наприклад: $$\dfrac{5}{2} = \dfrac{5\cdot7}{2\cdot7} = \dfrac{35}{14}.$$

Тепер розглянемо основнi дiї над дробами. Розпочнемо з операцiї зведення до спiльного знаменника. Для чого вона потрiбна? По-перше, це дозволить легко порiвнювати дроби з рiзними знаменниками. По-друге, без цiєї операцiї неможливо зробити додавання та вiднiмання дробiв з рiзними знаменниками.

Алгоритм Зведення дробiв до спiльного знаменника

• Знайти НСК знаменникiв дробiв.

• Подiлити НСК на кожний зi знаменникiв i знайти додатковi множники.

• Помножити чисельник i знаменник дробу на його додатковий множник.

Наприклад: звести дроби $$\dfrac{2}{9}$$ i $$\dfrac{7}{12}$$ до спiльного знаменника. НСК $$(9,12) = 36.$$ Додатковi множники: $$\dfrac{36}{9} = 4$$, $$\dfrac{36}{12} = 3.$$ Маємо: $$\dfrac{(2\cdot4)}{(9\cdot4)} = \dfrac{8}{36}$$ i $$\dfrac{7\cdot3}{12\cdot3} = \dfrac{21}{36}.$$

Дiї над дробами.

• Додавання i вiднiмання. Сумою (рiзницею) двох дробiв з однаковими знаменниками $\dfrac{a}{c}$ i $\dfrac{b}{c}$ є дрiб з таким самим знаменником, а у чисельнику якого записана сума (рiзниця) чисельникiв: $\dfrac{a\pm b}{c}$. Якщо дроби мають різні знаменники, треба звести їх до спільного.

• Множення. Добутком двох дробів є дріб, у чисельнику якого стоїть добуток чисельників цих дробів, а у знаменнику – добуток знаменників: $\dfrac{a}{c}\cdot \dfrac{b}{d}=\dfrac{a\cdot b}{c\cdot d}.$

• Ділення. Операції ділення дробів еквівалентна операція множення на дріб, що є перевернутим: $\dfrac{a}{c}:\dfrac{b}{d} = \dfrac{a}{c}\cdot \dfrac{d}{b}= \dfrac{a\cdot d}{c\cdot b}.$

Визначення Десятковий дрiб — форма запису звичайного дробу зi знаменником вигляду $$10^n$$.

Наприклад: $$\dfrac{8}{10}=0,8$$; $$\dfrac{127}{10000}=0,0127.$$

Кожен звичайний дріб можна подати у вигляді скінченого або нескінченого десяткового дробу. Періодом нескінченого десяткового дробу називають найменшу групу цифр після коми, яка повторюється. Цей період записують один раз у круглих дужках.

Наприклад: $$2,1156156156... = 2,1(156)$$; $$0,133333333... = 0,1(3).$$

Перетворення нескінченого періодичного дробу в звичайний. Отриманий дріб матиме вигляд: у чисельнику стоїть різниця числа, яке стоїть до другого періоду, та числа, яке стоїть до першого періоду; у знаменнику записується цифра $9$ стільки разів, скільки цифр у періоді, і дописується цифра $0$ стільки разів, скільки цифр між комою і першим періодом.

Стандартний вигляд числа — це запис числа в експоненціальному вигляді $$a\cdot 10^n$$, де $$1\leq a

Наприклад: $$256000 = 2,56\cdot 10^5; 0,00071 = 7,1\cdot 10^{-4}.$$

Коли записують число у такій формі, зручно користуватись так званим «пересуванням коми» для визначення показника $$n$$. Треба "пересунути" кому на певну кількість позицій таким чином, щоби отримати число від $$1$$ до $$10$$. Якщо кома зсувається ліворуч на $$n$$ позицій, то показник, відповідно, збільшується на $$n$$. Якщо праворуч – то зменшується на $$n$$.

Ось саме так записали $256000$. Для того, щоб отримати число від $1$ до $10$, треба пересунути кому на $5$ позицій ліворуч. Зсунувши кому на $5$ позицій ліворуч, ми збільшуємо показник на $5$. Отримуємо стандартний вигляд: $2,56\cdot10^5$. Аналогічно треба діяти з числом $0,00074$. Для того, щоб отримати число від $1$ до $10$, треба пересунути кому на $4$ позиції праворуч. Зсунувши кому на $4$ позиції праворуч, ми зменшуємо показник на $4$. В результаті, маємо $7,4\cdot10^{-4}$.

Чому дорівнює значення дробу $$\dfrac{\dfrac{5}{7}}{1\dfrac{4}{6}}$$? $$\dfrac{3}{7}$$ $$\dfrac{70}{30}$$ $$\dfrac{50}{30}$$ $$1\dfrac{2}{3}$$ Спростимо дріб: $$\dfrac{\dfrac{5}{7}}{1\dfrac{4}{6}}=\dfrac{\dfrac{5}{7}}{\dfrac{10}{6}}=\dfrac{5}{7}\cdot\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{7}$$

Обчисліть значення виразу $$5\dfrac{3}{5}\cdot7\dfrac{1}{2}:\dfrac{3}{20}-250$$ $$10$$ $$20$$ $$30$$ $$40$$ $$50$$ Спростимо дріб: $$5\dfrac{3}{5}\cdot7\dfrac{1}{2}:\dfrac{3}{20}-250=\dfrac{28}{5}\cdot\dfrac{15}{2}\cdot\dfrac{20}{3}-250=28\cdot5\cdot2-250=30$$