> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://math.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://math.ed-era.com/chislovi_mnozhini/oznaki_podilnosti_naturalnih_chisel.md).

# Ознаки подiльностi натуральних чисел

Ознаки подiльностi стають в нагодi, коли треба дiзнатись, чи дiлиться дане число на iнше без остачi, не витрачаючи час на процес дiлення.

Число дiлиться націло на:

* $$2$$, якщо воно закінчується на числа $$0,2,4,6,8$$;
* $$3$$, якщо сума всiх цифр, що складають число, дiлиться на $$3$$;
* $$4$$, якщо на $$4$$ дiлиться двозначне число, складене з останнiх двох цифр числа $$a$$;
* $$5$$, якщо воно закiнчується на $$0$$ чи $$5$$;
* $$7$$, якщо число $$b$$ дiлиться на $$7$$; число $$b$$ визначається наступним чином: число $$a$$ розбивається на групи по три цифри справа налiво; окремо складаються всi групи з парними номерами та з непарними; вiд бiльшої суми вiднiмається менша; отримана рiзниця – це число $$b$$;
* $$9$$, якщо сума всiх цифр, що складають число, дiлиться на $$9$$;
* $$10$$, якщо воно закiнчується на $$0$$;
* $$11$$, якщо число $$c$$ дiлиться на $$11$$; число $$c$$ визначається наступним чином: окремо складаються всi цифри, що стоять на парних позицiях, i на непарних; вiд бiльшої суми вiднiмається менша; отримана рiзниця – це число $$c$$;
* $$13$$, якщо число $$d$$ дiлиться на $$13$$; число $$d$$ визначається наступним чином: число $$a$$ розбивається на групи по три цифри справа налiво; окремо складаються всi групи з парними номерами i з непарними; iз бiльшої суми вiднiмається менша; отримана рiзниця – це число $$d$$.

 Приклад **Перевірити ознаки подільності на числі $$58198140$$:**

1. на $$2$$: число $$58198140$$ парне тому дiлиться на $$2$$.

   на $$3$$ i на $$9$$: сума цифр числа $$5 + 8 + 1 + 9 + 8 + 1 + 4 + 0 = 36$$. $$36$$ дiлиться на $$3$$ i на $$9$$, отже, i число $$58198140$$ дiлиться на $$3$$ i на $$9$$.

   на $$5$$: число $$58198140$$ закiнчується на $$0$$, тому дiлиться на $$5$$.

   на $$7$$ i на $$13$$: розбиваємо число $$58198140$$ на трiйки i складаємо за правилом: $$−140 + 198 − 58 = 0$$.$$0$$ дiлиться на $$7$$ i на $$13$$, отже, $$58198140$$ теж дiлиться на $$7$$ i на $$13$$.

   на $$10$$: число $$58198140$$ закiнчується на $$0$$, тому дiлиться на $$10$$.

   на $$11$$: складаємо цифри на парних i непарних позицiях: $$5+1+8+4=18, 8+9+1+0=18$$; рiзниця цих сум дорiвнює $$0$$. $$0$$ дiлиться на $$11$$, отже, i $$58198140$$ теж дiлиться на $$11$$.

Чи ділиться число $$10939824$$ на $$2$$? так ні Бо число парне.

Чи ділиться число $$10939824$$ на $$3$$? так ні Знайдемо суму всіх цифр, що складають число: $$1+0+9+3+9+8+2+4=36$$. Число $$36$$ ділиться на $$3$$, тому і число $$10939824$$ ділиться на $$3$$.

Чи ділиться число $$10939824$$ на $$5$$? так ні Бо число не закінчується на $$0$$ чи $$5$$.

Чи ділиться число $$10939824$$ на $$9$$? так ні Знайдемо суму всіх цифр, що складають число: $$1+0+9+3+9+8+2+4=36$$. Число $$36$$ ділиться на $$9$$, тому і число $$10939824$$ ділиться на $$9$$.