# Прості та складені числа

Тепер поговоримо про самi числа. У цiй частинi йде мова тiльки про натуральнi числа, тому далi це не вказується.

 Визначення **Простi числа** — тi числа, що дiляться тiльки на себе та на одиницю. Наприклад: $$2, 3, 5, 7, 13$$.

**Складенi числа** — тi числа, що мають бiльше нiж $$2$$ дiльники.

**Розкладання складеного числа на простi множники** — це запис числа у виглядi добутку простих чисел, що є дiльниками цього числа:

$$3276 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13.$$

З iншого боку, запис буде простiшим, якщо звести однаковi множники та записати їх у степеневому виглядi:

$$3276 = 2^2\cdot 3^2 \cdot 7^1 \cdot 13^1.$$

**Взаємно простi числа** — пара чисел, що не мають спiльних дiльникiв, крiм одиницi.

Часто стає у нагодi знання того, як знаходити найбiльший спiльний дiльник та найменше спiльне кратне.

 Визначення **Найбiльший спiльний дiльник (НСД) кiлькох чисел** — найбiльше число, на яке дiляться данi числа без остачi.

 Алгоритм **Знаходження НСД кiлькох чисел**

* Записати розклад даних чисел на простi множники.
* Записати степенi всiх простих множникiв.
* Виписати всi простi множники.
* Обрати найменший степiнь, що зустрiчається у розкладах.
* Обчислити добуток цих степенiв.

 Приклад

Обчислити НСД $$(504, 180)$$

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**$$504 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7;$$$$180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5.$$Виписуємо найменшi степенi спiльних множникiв та перемножимо:НСД $$(504,180) = 2^2 \cdot 3^2 = 6^2 = 36.$$**Вiдповiдь.** $$36$$

Який НСД чисел $$460$$ і $$280$$? $$8$$ $$5$$ $$20$$ $$4$$

Запишемо розклад даних чисел на простi множники:

$$460=2\cdot2\cdot5\cdot23$$

$$280=2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot7$$

Виписуємо найменшi степенi спiльних множникiв та перемножимо:

НСД $$(460,280) = 2^2 \cdot 5^1 = 20.$$

Який НСД чисел $$16$$, $$20$$ і $$28$$? $$2$$ $$4$$ $$8$$ $$12$$

Запишемо розклад даних чисел на простi множники:

$$16=2\cdot2\cdot2\cdot2$$

$$20=2\cdot2\cdot5$$

$$28=2\cdot2\cdot7$$

Виписуємо найменшi степенi спiльних множникiв та перемножимо:

НСД $$(16,20,28) = 2^2 = 4.$$

 Визначення **Найменше спiльне кратне (НСК) кiлькох чисел** — найменше число, яке дiлиться на данi числа без остачi.

 Алгоритм **Знаходження НСК кiлькох чисел**

* Записати розклад даних чисел на простi множники.
* Записати степенi всiх простих множникiв.
* Виписати всi простi множники.
* Обрати найбiльший степiнь, що зустрiчається у розкладах.
* Обчислити добуток цих степенiв.

 Приклад

Обчислимо НСК $$(504, 180)$$

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**$$504 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7;$$$$180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5.$$Виписуємо найбiльшi степенi всiх множникiв та перемножимо:НСК $$(504,180) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520.$$**Вiдповiдь.** $$2520.$$

Яке НСК чисел $$115$$ і $$920$$? $$115$$ $$23$$ $$920$$ $$1840$$

Запишемо розклад даних чисел на простi множники:

$$115 = 5\cdot23$$

$$920 = 2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot23$$

Виписуємо найбiльшi степенi всiх множникiв та перемножимо:

НСД $$(115,920) = 2^3 \cdot 5 \cdot 23 = 920.$$

Яке НСК чисел $$2$$, $$3$$ і $$4$$? $$4$$ $$8$$ $$12$$ $$24$$

Запишемо розклад даних чисел на простi множники:

$$4=2\cdot2$$

Виписуємо найбiльшi степенi всiх множникiв та перемножимо:

НСД $$(115,920) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12.$$

**Запис чисел за допомогою лiтер**. Будь-яке двозначне число можна записати у виглядi $$10a + b$$, де $$a$$ – цифра десяткiв $$(a\neq0)$$, а $$b$$ – цифра одиниць. Двозначне число, що складається з $$a$$ десяткiв та $$b$$ одиниць, записують $$(\overline{ab})$$ $$($$риска зверху говорить, що це не добуток двох змiнних $$a$$ i $$b)$$. Аналогiчно тризначне число $$(\overline{abc}) = 100a + 10b + c, a \neq 0.$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/chislovi_mnozhini/prosti_ta_skladeni_chisla.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.