Прості та складені числа
Тепер поговоримо про самi числа. У цiй частинi йде мова тiльки про натуральнi числа, тому далi це не вказується.
Визначення Простi числа — тi числа, що дiляться тiльки на себе та на одиницю. Наприклад: $$2, 3, 5, 7, 13$$.
Складенi числа — тi числа, що мають бiльше нiж $$2$$ дiльники.
Розкладання складеного числа на простi множники — це запис числа у виглядi добутку простих чисел, що є дiльниками цього числа:
$$3276 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13.$$
З iншого боку, запис буде простiшим, якщо звести однаковi множники та записати їх у степеневому виглядi:
$$3276 = 2^2\cdot 3^2 \cdot 7^1 \cdot 13^1.$$
Взаємно простi числа — пара чисел, що не мають спiльних дiльникiв, крiм одиницi.
Часто стає у нагодi знання того, як знаходити найбiльший спiльний дiльник та найменше спiльне кратне.
Визначення Найбiльший спiльний дiльник (НСД) кiлькох чисел — найбiльше число, на яке дiляться данi числа без остачi.
Алгоритм Знаходження НСД кiлькох чисел
- Записати розклад даних чисел на простi множники.
- Записати степенi всiх простих множникiв.
- Виписати всi простi множники.
- Обрати найменший степiнь, що зустрiчається у розкладах.
- Обчислити добуток цих степенiв.
Приклад
Обчислити НСД $$(504, 180)$$
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.$$504 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7;$$$$180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5.$$Виписуємо найменшi степенi спiльних множникiв та перемножимо:НСД $$(504,180) = 2^2 \cdot 3^2 = 6^2 = 36.$$Вiдповiдь. $$36$$
Який НСД чисел $$460$$ і $$280$$? $$8$$ $$5$$ $$20$$ $$4$$
Запишемо розклад даних чисел на простi множники:
$$460=2\cdot2\cdot5\cdot23$$
$$280=2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot7$$
Виписуємо найменшi степенi спiльних множникiв та перемножимо:
НСД $$(460,280) = 2^2 \cdot 5^1 = 20.$$
Який НСД чисел $$16$$, $$20$$ і $$28$$? $$2$$ $$4$$ $$8$$ $$12$$
Запишемо розклад даних чисел на простi множники:
$$16=2\cdot2\cdot2\cdot2$$
$$20=2\cdot2\cdot5$$
$$28=2\cdot2\cdot7$$
Виписуємо найменшi степенi спiльних множникiв та перемножимо:
НСД $$(16,20,28) = 2^2 = 4.$$
Визначення Найменше спiльне кратне (НСК) кiлькох чисел — найменше число, яке дiлиться на данi числа без остачi.
Алгоритм Знаходження НСК кiлькох чисел
- Записати розклад даних чисел на простi множники.
- Записати степенi всiх простих множникiв.
- Виписати всi простi множники.
- Обрати найбiльший степiнь, що зустрiчається у розкладах.
- Обчислити добуток цих степенiв.
Приклад
Обчислимо НСК $$(504, 180)$$
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.$$504 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7;$$$$180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5.$$Виписуємо найбiльшi степенi всiх множникiв та перемножимо:НСК $$(504,180) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520.$$Вiдповiдь. $$2520.$$
Яке НСК чисел $$115$$ і $$920$$? $$115$$ $$23$$ $$920$$ $$1840$$
Запишемо розклад даних чисел на простi множники:
$$115 = 5\cdot23$$
$$920 = 2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot23$$
Виписуємо найбiльшi степенi всiх множникiв та перемножимо:
НСД $$(115,920) = 2^3 \cdot 5 \cdot 23 = 920.$$
Яке НСК чисел $$2$$, $$3$$ і $$4$$? $$4$$ $$8$$ $$12$$ $$24$$
Запишемо розклад даних чисел на простi множники:
$$4=2\cdot2$$
Виписуємо найбiльшi степенi всiх множникiв та перемножимо:
НСД $$(115,920) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12.$$
Запис чисел за допомогою лiтер. Будь-яке двозначне число можна записати у виглядi
, де
– цифра десяткiв
, а
– цифра одиниць. Двозначне число, що складається з
десяткiв та
одиниць, записують
риска зверху говорить, що це не добуток двох змiнних
i
. Аналогiчно тризначне число
Last modified 4yr ago