Математика: арифметика, рівняння та нерівності
  • Зміст
  • Вступне слово
  • Арифметика
    • Прості та складені числа
    • Ознаки подiльностi натуральних чисел
    • Дроби та дiї над ними
    • Модуль числа
  • Пропорції та відсотки
    • Відсотки
    • Розв’язання задач на спiльну виконану роботу (задачi на продуктивнiсть)
  • Одночлени та многочлени
    • Одночлен
    • Многочлен
    • Дiї над многочленами
    • Формули скороченого множення
    • Розкладання многочлена на множники
    • Бiном Ньютона
  • Корiнь та його властивостi
    • Квадратний корiнь та його основнi властивостi
    • Корінь n-го степеня та його основні властивості
    • Ірраціональні вирази
      • Доповнюючий множник
      • Звiльнення вiд iррацiональностi у знаменнику (чисельнику) iррацiонального дробу
      • Доповнюючi множники для основних типiв iррацiональностей у знаменнику (чисельнику)
    • Додаток
  • Показниковi та логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифм
    • Логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифмування та потенцiювання
  • Системи алгебраїчних рiвнянь
    • Метод підстановки
    • Метод алгебраїчного додавання
    • Метод заміни змінної
  • Лiнiйнi та квадратнi рiвняння
    • Лiнiйнi рiвняння
    • Квадратнi рiвняння
      • Неповні квадратні рівняння
      • Повне квадратне рівняння та дискримiнант
      • Факторизація квадратного рівняння (розкладання на множники)
      • Теорема Вiєта
    • Бiквадратнi рiвняння, та рівняння, що зводяться до квадратних
  • Iншi види цiлих рiвнянь
    • Цiлi рацiональнi рiвняння вищих степенів
      • Метод підбору коренів
      • Метод заміни змінної
    • Рiвняння з модулями
      • Метод інтервалів
    • Рівняння з параметрами
      • Лінійне рiвняння з параметрами
      • Квадратне рівняння з параметрами
  • Цілі нерівності
    • Основні властивості
    • Лiнiйнi нерiвностi
    • Система та сукупність нерівностей
    • Нерiвностi з модулями
  • Метод інтервалів
    • Метод інтервалів
    • Дробово-рацiональнi нерiвності
    • Нерiвностi з параметрами
  • Дробово-раціональні рівняння
    • Дробово-раціональне рівняння
    • Раціональні рівняння з параметрами
  • Ірраціональні рівняння
    • Корабель на горизонтi
    • Iррацiональнi рiвняння з квадратним коренем
    • Корабль поза горизонтом
  • Ірраціональні нерівності
    • Метод відокремлення кореня
    • Методологiя розв’язання в залежностi вiд парності/непарностi степеня кореня
    • Метод iнтервалiв для iррацiональних нерiвностей
    • Нерiвностi з параметрами
  • Показникові рівняння
    • Вік Землі та скам’янілостей
    • Показникові рівняння
    • Показникові нерівності
    • Степенево-показникові рівняння
    • Зведення до однiєї основи
      • Показникові рівняння
    • Винесення множника
    • Рiвняння особливих видiв
    • Використання властивостей функцiй (монотонностi)
    • Показниково - степеневi рiвняння
    • Рiвняння з параметрами
    • Системи рівнянь
  • Показникові нерівності
    • Властивостi показникової функцiї та класифікація типiв задач
    • Методи розв’язання окремих типiв задач
    • Степенево - показниковi нерiвностi
  • Логарифмічні рівняння
    • Логарифмiчнi рiвняння
    • Логарифмування та потенцiювання
    • Використання логарифмiчних тотожностей для розв’язання окремих типiв задач
    • Системи рівнянь
  • Логарифмічні нерівності
    • Використання властивостей логарифмiв для розв’язання рiзних типiв задач
    • Замiна змiнної в логарифмiчних нерiвностях
    • Показниково-логарифмiчнi нерiвностi
    • Нерiвностi з параметрами
Powered by GitBook
On this page

Was this helpful?

  1. Арифметика

Прості та складені числа

Тепер поговоримо про самi числа. У цiй частинi йде мова тiльки про натуральнi числа, тому далi це не вказується.

Визначення Простi числа — тi числа, що дiляться тiльки на себе та на одиницю. Наприклад: $$2, 3, 5, 7, 13$$.

Складенi числа — тi числа, що мають бiльше нiж $$2$$ дiльники.

Розкладання складеного числа на простi множники — це запис числа у виглядi добутку простих чисел, що є дiльниками цього числа:

$$3276 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13.$$

З iншого боку, запис буде простiшим, якщо звести однаковi множники та записати їх у степеневому виглядi:

$$3276 = 2^2\cdot 3^2 \cdot 7^1 \cdot 13^1.$$

Взаємно простi числа — пара чисел, що не мають спiльних дiльникiв, крiм одиницi.

Часто стає у нагодi знання того, як знаходити найбiльший спiльний дiльник та найменше спiльне кратне.

Визначення Найбiльший спiльний дiльник (НСД) кiлькох чисел — найбiльше число, на яке дiляться данi числа без остачi.

Алгоритм Знаходження НСД кiлькох чисел

  • Записати розклад даних чисел на простi множники.

  • Записати степенi всiх простих множникiв.

  • Виписати всi простi множники.

  • Обрати найменший степiнь, що зустрiчається у розкладах.

  • Обчислити добуток цих степенiв.

Приклад

Обчислити НСД $$(504, 180)$$

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.$$504 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7;$$$$180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5.$$Виписуємо найменшi степенi спiльних множникiв та перемножимо:НСД $$(504,180) = 2^2 \cdot 3^2 = 6^2 = 36.$$Вiдповiдь. $$36$$

Який НСД чисел $$460$$ і $$280$$? $$8$$ $$5$$ $$20$$ $$4$$

Запишемо розклад даних чисел на простi множники:

$$460=2\cdot2\cdot5\cdot23$$

$$280=2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot7$$

Виписуємо найменшi степенi спiльних множникiв та перемножимо:

НСД $$(460,280) = 2^2 \cdot 5^1 = 20.$$

Який НСД чисел $$16$$, $$20$$ і $$28$$? $$2$$ $$4$$ $$8$$ $$12$$

Запишемо розклад даних чисел на простi множники:

$$16=2\cdot2\cdot2\cdot2$$

$$20=2\cdot2\cdot5$$

$$28=2\cdot2\cdot7$$

Виписуємо найменшi степенi спiльних множникiв та перемножимо:

НСД $$(16,20,28) = 2^2 = 4.$$

Визначення Найменше спiльне кратне (НСК) кiлькох чисел — найменше число, яке дiлиться на данi числа без остачi.

Алгоритм Знаходження НСК кiлькох чисел

  • Записати розклад даних чисел на простi множники.

  • Записати степенi всiх простих множникiв.

  • Виписати всi простi множники.

  • Обрати найбiльший степiнь, що зустрiчається у розкладах.

  • Обчислити добуток цих степенiв.

Приклад

Обчислимо НСК $$(504, 180)$$

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.$$504 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7;$$$$180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5.$$Виписуємо найбiльшi степенi всiх множникiв та перемножимо:НСК $$(504,180) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520.$$Вiдповiдь. $$2520.$$

Яке НСК чисел $$115$$ і $$920$$? $$115$$ $$23$$ $$920$$ $$1840$$

Запишемо розклад даних чисел на простi множники:

$$115 = 5\cdot23$$

$$920 = 2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot23$$

Виписуємо найбiльшi степенi всiх множникiв та перемножимо:

НСД $$(115,920) = 2^3 \cdot 5 \cdot 23 = 920.$$

Яке НСК чисел $$2$$, $$3$$ і $$4$$? $$4$$ $$8$$ $$12$$ $$24$$

Запишемо розклад даних чисел на простi множники:

$$4=2\cdot2$$

Виписуємо найбiльшi степенi всiх множникiв та перемножимо:

НСД $$(115,920) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12.$$

Запис чисел за допомогою лiтер. Будь-яке двозначне число можна записати у виглядi 10a+b10a + b10a+b, де aaa – цифра десяткiв (a≠0)(a\neq0)(a=0), а bbb – цифра одиниць. Двозначне число, що складається з aaa десяткiв та bbb одиниць, записують (ab‾)(\overline{ab})(ab) (((риска зверху говорить, що це не добуток двох змiнних aaa i b)b)b). Аналогiчно тризначне число (abc‾)=100a+10b+c,a≠0.(\overline{abc}) = 100a + 10b + c, a \neq 0.(abc)=100a+10b+c,a=0.

PreviousАрифметикаNextОзнаки подiльностi натуральних чисел

Last updated 6 years ago

Was this helpful?