Показникові нерівності

Визначення Показникова нерівність – це нерівність, що містить змінну в показнику степеня.

Наприклад: $$5^{𝑥−1} 3^𝑥 −5^x$$. Під час розв’язання показникових нерівностей користуються тими самими ж методами, що і для рівнянь. Але є одна відмінність. В момент позбавлення від показника степеня знак нерівності буде залежати від основи степеня, за яким відбувається логарифмування:

якщо $$a>1$$, знак нерівності залишається таким самим

якщо $$0 Приклад Розв’язати рівняння $$4^{2-x}>7^{2-x}$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язокРозділимо обидві частини на $$7^{2-x}$$ та отримаємо $$\left(\dfrac{4}{7}\right)^{2-x}>1$$. Зводимо до спільної основи: $$\left(\dfrac{4}{7}\right)^{2-x}>\left(\dfrac{4}{7}\right)^{0}$$. Через те, що основа $$\dfrac{4}{7}2.$$ /*Картинка з інтервалами*/Вiдповiдь. $$x > 2.$$

Приклад

Розв’язати рівняння $$5^{6x-1}>2^{\frac{1}{x}}$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок Розв’язуємо методом логарифмування:$$5^{6x-1}>2^{\frac{1}{x}}$$Вихідна нерівність$$log^{}_{5}5^{6x-1}>log^{}_{5}2^{\frac{1}{x}}$$Логарифмуємо за основою 5 обидві частини, $$5>1,$$ тому знак нерівності лишається таким самим$${(6x-1)}log^{}_{5}5>\dfrac{1}{x}\cdot log^{}_{5}2$$Виписуємо показники степенів перед логарифми$$6x-1-\dfrac{1}{x}\cdot log^{}_{5}2>0$$Cпрощуємо та збираємо всі доданки в лівій частині нерівності$$\dfrac{6x^2-x-log^{}_{5}2}{x}>0$$Зводимо всі доданки до спільного знаменникаОтримали дробово-раціональну нерівність (див. Лекцію 10) – розв’язуємо її методом інтервалів.Ми вже маємо нерівність у загальному вигляді $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$.Шукаємо граничні точки, розв’язавши рівняння $$P(x)=0$$ та $$Q(x)=0$$. Зі знаменника дістаємо граничну точку $$x=0$$. Розв’язуємо квадратне рівняння:$$6x^2-x-log^{}_{5}2=0$$$$D=(-1)^2-4\cdot6\cdot log^{}_{5}2=1+24\cdot log^{}_{5}2$$$$x^{}_{1,2}=\dfrac{1 \pm \sqrt{1+24\cdot log^{}_{5}2}}{12}.$$Зобразимо ці точки на числовій прямій. /*Картинка з інтервалами*/Шукаємо знак функції на правому інтервалі. Підставимо тестове значення $$\color{#0F5181}{\textit{мільярд}}$$:$$\dfrac{P(\color{#0F5181}{\textit{мільярд}})}{Q(\color{#0F5181}{\textit{мільярд}})} = 6\left(\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}}-\dfrac{1-\sqrt{1+24\cdot log^{}_{5}2}}{12})}_{>\thinspace\mbox{0}}\right) \,\cdot $$ $$ \cdot \left(\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}}-\dfrac{1+\sqrt{1+24\cdot log^{}_{5}2}}{12})}_{>\thinspace\mbox{0}}\right) \, \underbrace{\dfrac{1}{\color{#0F5181}{\textit{мільярд}}}}_{>\thinspace\mbox{0}} \, >0$$Всі три множники додатні – функція на цьому інтервалі має додатний знак. Тепер проставляємо знаки на решті інтервалів справа наліво, чергуючи знаки: /*Картинка з інтервалами*/За умовою $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$, тому обираємо інтервали, де функція додатна. Такими є інтервали $$\left(\dfrac{1-\sqrt{1+24\cdot log^{}_{5}2}}{12};0\right)$$ та $$\left(\dfrac{1+\sqrt{1+24\cdot log^{}_{5}2}}{12};\infty\right).$$Вiдповiдь. $$x \in \left(\dfrac{1-\sqrt{1+24\cdot log^{}_{5}2}}{12};0\right) \cup \left(\dfrac{1+\sqrt{1+24\cdot log^{}_{5}2}}{12};\infty\right).$$