Показникові нерівності
Визначення Показникова нерівність – це нерівність, що містить змінну в показнику степеня.
Наприклад: $5^{𝑥−1} 3^𝑥 −5^x$. Під час розв’язання показникових нерівностей користуються тими самими ж методами, що і для рівнянь. Але є одна відмінність. В момент позбавлення від показника степеня знак нерівності буде залежати від основи степеня, за яким відбувається логарифмування:
якщо $a>1$, знак нерівності залишається таким самим
якщо $0 Приклад Розв’язати рівняння $4^{2-x}>7^{2-x}$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язокРозділимо обидві частини на $7^{2-x}$ та отримаємо $\left(\dfrac{4}{7}\right)^{2-x}>1$. Зводимо до спільної основи: $\left(\dfrac{4}{7}\right)^{2-x}>\left(\dfrac{4}{7}\right)^{0}$. Через те, що основа $\dfrac{4}{7}2.$ /*Картинка з інтервалами*/Вiдповiдь. $x > 2.$
Приклад
Розв’язати рівняння $5^{6x-1}>2^{\frac{1}{x}}$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок Розв’язуємо методом логарифмування:$5^{6x-1}>2^{\frac{1}{x}}$Вихідна нерівність$log^{}_{5}5^{6x-1}>log^{}_{5}2^{\frac{1}{x}}$Логарифмуємо за основою 5 обидві частини, $5>1,$ тому знак нерівності лишається таким самим${(6x-1)}log^{}_{5}5>\dfrac{1}{x}\cdot log^{}_{5}2$Виписуємо показники степенів перед логарифми$6x-1-\dfrac{1}{x}\cdot log^{}_{5}2>0$Cпрощуємо та збираємо всі доданки в лівій частині нерівності$\dfrac{6x^2-x-log^{}_{5}2}{x}>0$Зводимо всі доданки до спільного знаменникаОтримали дробово-раціональну нерівність (див. Лекцію 10) – розв’язуємо її методом інтервалів.Ми вже маємо нерівність у загальному вигляді $\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$.Шукаємо граничні точки, розв’язавши рівняння $P(x)=0$ та $Q(x)=0$. Зі знаменника дістаємо граничну точку $x=0$. Розв’язуємо квадратне рівняння:$6x^2-x-log^{}_{5}2=0$$D=(-1)^2-4\cdot6\cdot log^{}_{5}2=1+24\cdot log^{}_{5}2$$x^{}_{1,2}=\dfrac{1 \pm \sqrt{1+24\cdot log^{}_{5}2}}{12}.$Зобразимо ці точки на числовій прямій. /*Картинка з інтервалами*/Шукаємо знак функції на правому інтервалі. Підставимо тестове значення $\color{#0F5181}{\textit{мільярд}}$:$\dfrac{P(\color{#0F5181}{\textit{мільярд}})}{Q(\color{#0F5181}{\textit{мільярд}})} = 6\left(\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}}-\dfrac{1-\sqrt{1+24\cdot log^{}_{5}2}}{12})}_{>\thinspace\mbox{0}}\right) \,\cdot $ $ \cdot \left(\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}}-\dfrac{1+\sqrt{1+24\cdot log^{}_{5}2}}{12})}_{>\thinspace\mbox{0}}\right) \, \underbrace{\dfrac{1}{\color{#0F5181}{\textit{мільярд}}}}_{>\thinspace\mbox{0}} \, >0$Всі три множники додатні – функція на цьому інтервалі має додатний знак. Тепер проставляємо знаки на решті інтервалів справа наліво, чергуючи знаки: /*Картинка з інтервалами*/За умовою $\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$, тому обираємо інтервали, де функція додатна. Такими є інтервали $\left(\dfrac{1-\sqrt{1+24\cdot log^{}_{5}2}}{12};0\right)$ та $\left(\dfrac{1+\sqrt{1+24\cdot log^{}_{5}2}}{12};\infty\right).$Вiдповiдь. $x \in \left(\dfrac{1-\sqrt{1+24\cdot log^{}_{5}2}}{12};0\right) \cup \left(\dfrac{1+\sqrt{1+24\cdot log^{}_{5}2}}{12};\infty\right).$
Last modified 3yr ago
Copy link