# Показникові нерівності

 Визначення **Показникова нерівність** – це нерівність, що містить змінну в показнику степеня.

Наприклад: $$5^{𝑥−1} 3^𝑥 −5^x$$. Під час розв’язання показникових нерівностей користуються тими самими ж методами, що і для рівнянь. Але є одна відмінність. В момент позбавлення від показника степеня знак нерівності буде залежати від основи степеня, за яким відбувається логарифмування:

якщо $$a>1$$, знак нерівності залишається таким самим

якщо $$0 Приклад **Розв’язати рівняння $$4^{2-x}>7^{2-x}$$.**

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**Розділимо обидві частини на $$7^{2-x}$$ та отримаємо $$\left(\dfrac{4}{7}\right)^{2-x}>1$$. Зводимо до спільної основи: $$\left(\dfrac{4}{7}\right)^{2-x}>\left(\dfrac{4}{7}\right)^{0}$$. Через те, що основа $$\dfrac{4}{7}2.$$ /\*Картинка з інтервалами\*/**Вiдповiдь.** $$x > 2.$$

 Приклад

**Розв’язати рівняння $$5^{6x-1}>2^{\frac{1}{x}}$$.**

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок** Розв’язуємо методом логарифмування:$$5^{6x-1}>2^{\frac{1}{x}}$$Вихідна нерівність$$log^{}\_{5}5^{6x-1}>log^{}\_{5}2^{\frac{1}{x}}$$Логарифмуємо за основою 5 обидві частини, $$5>1,$$ тому знак нерівності лишається таким самим$${(6x-1)}log^{}\_{5}5>\dfrac{1}{x}\cdot log^{}\_{5}2$$Виписуємо показники степенів перед логарифми$$6x-1-\dfrac{1}{x}\cdot log^{}\_{5}2>0$$Cпрощуємо та збираємо всі доданки в лівій частині нерівності$$\dfrac{6x^2-x-log^{}\_{5}2}{x}>0$$Зводимо всі доданки до спільного знаменникаОтримали дробово-раціональну нерівність (див. [Лекцію 10](https://study.ed-era.com/courses/EdEra/m102/M102/courseware/54554820f4534ac6a104d66974169b0a/e23c92f0df4b4bd89fd77aad302463ed/)) – розв’язуємо її методом інтервалів.Ми вже маємо нерівність у загальному вигляді $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$.Шукаємо граничні точки, розв’язавши рівняння $$P(x)=0$$ та $$Q(x)=0$$. Зі знаменника дістаємо граничну точку $$x=0$$. Розв’язуємо квадратне рівняння:$$6x^2-x-log^{}\_{5}2=0$$$$D=(-1)^2-4\cdot6\cdot log^{}\_{5}2=1+24\cdot log^{}\_{5}2$$$$x^{}\_{1,2}=\dfrac{1 \pm \sqrt{1+24\cdot log^{}\_{5}2}}{12}.$$Зобразимо ці точки на числовій прямій. /\*Картинка з інтервалами\*/Шукаємо знак функції на правому інтервалі. Підставимо тестове значення $$\color{#0F5181}{\textit{мільярд}}$$:$$\dfrac{P(\color{#0F5181}{\textit{мільярд}})}{Q(\color{#0F5181}{\textit{мільярд}})} = 6\left(\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}}-\dfrac{1-\sqrt{1+24\cdot log^{}\_{5}2}}{12})}\_{>\thinspace\mbox{0}}\right) \\,\cdot $$\
$$ \cdot \left(\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}}-\dfrac{1+\sqrt{1+24\cdot log^{}\_{5}2}}{12})}\_{>\thinspace\mbox{0}}\right) \\, \underbrace{\dfrac{1}{\color{#0F5181}{\textit{мільярд}}}}\_{>\thinspace\mbox{0}} \\, >0$$Всі три множники додатні – функція на цьому інтервалі має додатний знак. Тепер проставляємо знаки на решті інтервалів справа наліво, чергуючи знаки: /\*Картинка з інтервалами\*/За умовою $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$, тому обираємо інтервали, де функція додатна. Такими є інтервали $$\left(\dfrac{1-\sqrt{1+24\cdot log^{}\_{5}2}}{12};0\right)$$ та $$\left(\dfrac{1+\sqrt{1+24\cdot log^{}\_{5}2}}{12};\infty\right).$$**Вiдповiдь.** $$x \in \left(\dfrac{1-\sqrt{1+24\cdot log^{}\_{5}2}}{12};0\right) \cup \left(\dfrac{1+\sqrt{1+24\cdot log^{}\_{5}2}}{12};\infty\right).$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/pokaznikov_rvnyannya/pokaznikovi_nervnosti.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.