# Показникові рівняння

 Визначення **Показникове рівняння** — це рівняння, що містить змінну в показнику степеня.

Наприклад: $$2^𝑥 = 4$$; $$3^{(𝑥−8)} = 5^𝑥$$; $$(2 − 𝑥)^{3𝑥} = 6^𝑥.$$

Дуже часто використовують **метод зведення до однієї основи**. Розпочнемо з простого рівняння: $$ 5^{𝑥−1} = 125$$. Якщо уважно подивитись, то праву частину можна переписати у вигляді $$ 5^3: 5^{𝑥−1} = 5^3$$. Тепер, як ми звели всі доданки до однієї основи можна скористатись таким правилом: два степеневих вирази рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхні основи та показники степеня. Основи вже є однаковими, тому можна записати рівність показників степеня: $$𝑥 − 1 = 3,$$ звідки знаходимо $$x = 4.$$

Поглянемо на інше рівняння: $$9^{3𝑥−7} =\sqrt{13}.$$ Це рівняння можна звести до спільної основи $$3$$. Рівняння можна переписати як $$ 3^{2(3𝑥−7)} = 3^{−1}$$. В результаті все спрощується за таким самим принципом, прирівнюємо показники степеня виразів з однаковими основами: $$ 2(3𝑥 − 7) = −1 \Longleftrightarrow 3𝑥 − 7 =-\dfrac {1}{2}.$$ Звідки дістаємо відповідь $$x = \dfrac{13}{6}$$. Загальний принцип розв’язання показникових рівнянь полягає в **логарифмуванні** (див. [Лекцію 5](https://study.ed-era.com/courses/EdEra/m102/M102/courseware/39ab5698abc64e859b629b9006c8a7cd/5992a8a56dbc4832a0e8a913fe62158d)) обох частин рівняння. Основу обирають такою, аби позбутися змінної в показнику степеня. Приклад **Розв’язати рівняння $$2^{4x-3} = 5^x.$$** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок** Звести до однієї основи тут не вийде, тому застосовуємо логарифмування:$$2^{4x-3} = 5^x$$Вихідне рівняння$$log\_{2}$$$$2^{4𝑥−3} =$$ $$log\_{2}$$$$5^{x}$$Логарифмуємо обидві частини за основою $$2$$$$(4𝑥−3)$$$$log\_{2} 2 =$$$$x$$$$ log\_{2}5$$Виписуємо показник підлогарифмічного виразу$$4𝑥−3 =x log\_{2}5$$Cпрощуємо$$4𝑥$$$$- xlog\_{2}5 $$$$=$$$$3$$Залишаємо всі доданки з $$x$$ в лівій частині$$x$$$$(4- log\_{2}5) = 3$$Виносимо $$x$$ за дужки$$x=\dfrac{3}{4-log\_{2}5}$$Ділимо обидві частини на $$4-log^{2}5$$**Вiдповiдь.** $$x = \dfrac{3}{4-log\_{2}5}.$$ Рівносильний перехід В загальному випадку можна записати такий рівносильний перехід:$$a^{f(x)} = b^{g(x)} \Longleftrightarrow f(x) = g(x)\cdot log\_ab,$$ при цьому потрібно пам’ятати, що $$𝑎 > 0, 𝑎\ne 1, 𝑏 > 0, 𝑏 \ne 1$$, інакше перехід не можна назвати рівносильним і таке рівняння не матиме коренів. Приклад **Розв’язати рівняння $$ 7^{5𝑥−1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4-x}$$.** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.** Звести до однієї основи, тому скористаємось рівносильним переходом:$$ 7^{5𝑥−1} =\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4-x} \Longleftrightarrow 5𝑥 − 1 = (4 − 𝑥)log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}$$$$ 5𝑥 − 1 = (4 − 𝑥)log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}$$Вихідне рівняння$$5𝑥 − 1 = 4log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}-xlog^{}\_{7}\dfrac{1}{2}$$Розкриємо дужки в правій частині рівняння$$5x + xlog^{}\_{7}\dfrac{1}{2}=1+ 4log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}$$Залишаємо всі доданки з 𝑥 в лівій частині$$x\left(5 + log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}\right)=1+ 4log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}$$Виносимо 𝑥 за дужки$$x=\dfrac{1+ 4log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}}{5 + log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}}$$Ділимо обидві частини на $$5+log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}$$**Вiдповiдь.** $$x=\dfrac{1+ 4log^{}\_{7}(\dfrac{1}{2})}{5 + log^{}\_{7}(\dfrac{1}{2})}$$.

Разом зі зведенням до спільної основи дуже часто користуються **методом заміни змінної**. Рівняння зводять до спільної основи, яку замінюють на іншу змінну. Далі рівняння вже не є показниковим і легко розв’язується.

 Приклад **Розв’язати рівняння $$5\cdot9^x+3\cdot25^x=\dfrac{8}{15^{-x}}.$$**

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**$$5\cdot9^x+3\cdot25^x=\dfrac{8}{15^{-x}}$$Вихідне рівняння$$5\cdot3^{2x}+3\cdot5^{2x}={8}\cdot{15^{x}}$$ $$5\cdot3^{2x}+3\cdot5^{2x}={8}\cdot3^{x}\cdot5^{x}$$Перепишемо в іншому вигляді$$5\cdot\dfrac{3^{2x}}{5^{2x}}+3\cdot\dfrac{5^{2x}}{5^{2x}}={8}\cdot\dfrac{3^{x}\cdot5^{x}}{5^{2x}}$$Ділимо обидві частини на $$5^{2x}$$$$5\cdot{\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{2x}+3={8}\cdot{\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}$$Спрощуємо$$5t^2+3=8t$$Робимо заміну $${\left(\dfrac{3}{5}\right)}^x=t$$$$5t^2-8t+3=0$$Перепишем всі доданки з однієї сторони$$D={(-8)}^2-4\cdot3\cdot5=4$$$$x^{}\_{1,2}=\dfrac{8 \pm \sqrt{4}}{2\cdot5}=\left\[ \begin{gathered} 1, \hfill \\\ \dfrac{3}{5} \hfill \\\ \end{gathered} \right. $$Розв’язуємо квадратне рівняння$$\left\[ \begin{gathered} {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=1, \hfill \\\ {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=\dfrac{3}{5} \hfill \\\ \end{gathered} \right. $$Повертаємось до попередньої змінної $$\left\[ \begin{gathered} {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^{0}, \hfill \\\ {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^1 \hfill \\\ \end{gathered} \right. $$Зводимо до спільної основи$$x=0,$$$$x=1$$Позбуваємось показника степеня**Вiдповiдь.** $$x = \\{0;1\\}$$.

 Приклад **Розв’язати рівняння $$4^{\frac{x+2}{2x}}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$$**

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**$$4^{\frac{x+2}{2x}}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$$Вихідне рівняння$$2^{\frac{x+2}{x}}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$$ $$2^{\frac{2}{x}+1}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$$ $$2\cdot2^{\frac{2}{x}}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$$Перепишемо в іншому вигляді$$2\cdot t^2-33\cdot t+16=0$$Робимо заміну $$2^{\frac{1}{x}}=t$$$$D=(-33)^2-4\cdot2\cdot16=961$$ $$x\_{1,2}=\dfrac{33\pm\sqrt{961}}{2\cdot2}=\dfrac{33\pm31}{4}= \left\[ \begin{gathered} \dfrac{1}{2}, \hfill \\\ 16 \hfill \\\ \end{gathered} \right. $$Розв’язуємо квадратне рівняння$$\left\[ \begin{gathered} {2}^{\frac{1}{x}}=\dfrac{1}{2}, \hfill \\\ {2}^{\frac{1}{x}}=16 \hfill \\\ \end{gathered} \right.$$Повертаємось до попередньої змінної$$\left\[ \begin{gathered} {2}^{\frac{1}{x}}=2^{-1}, \hfill \\\ {2}^{\frac{1}{x}}=2^4 \hfill \\\ \end{gathered} \right.$$Зводимо до спільної основи$$\left\[ \begin{gathered} \dfrac{1}{x}=-1, \hfill \\\ \dfrac{1}{x}=4 \hfill \\\ \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left\[ \begin{gathered} x=-1, \hfill \\\ x=\dfrac{1}{4} \hfill \\\ \end{gathered} \right.$$Позбуваємось показника степеня та розв’язуємо дробово-раціональні рівняння**Вiдповiдь.** $$x=\left\\{ -1; \dfrac{1}{4} \right \\}$$.


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/pokaznikov_rvnyannya/pokaznikovi_rvnyannya.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.