> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://math.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://math.ed-era.com/pokaznikov_rvnyannya/pokaznikovi_rvnyannya.md).

# Показникові рівняння

 Визначення **Показникове рівняння** — це рівняння, що містить змінну в показнику степеня.

Наприклад: $$2^𝑥 = 4$$; $$3^{(𝑥−8)} = 5^𝑥$$; $$(2 − 𝑥)^{3𝑥} = 6^𝑥.$$

Дуже часто використовують **метод зведення до однієї основи**. Розпочнемо з простого рівняння: $$ 5^{𝑥−1} = 125$$. Якщо уважно подивитись, то праву частину можна переписати у вигляді $$ 5^3: 5^{𝑥−1} = 5^3$$. Тепер, як ми звели всі доданки до однієї основи можна скористатись таким правилом: два степеневих вирази рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхні основи та показники степеня. Основи вже є однаковими, тому можна записати рівність показників степеня: $$𝑥 − 1 = 3,$$ звідки знаходимо $$x = 4.$$

Поглянемо на інше рівняння: $$9^{3𝑥−7} =\sqrt{13}.$$ Це рівняння можна звести до спільної основи $$3$$. Рівняння можна переписати як $$ 3^{2(3𝑥−7)} = 3^{−1}$$. В результаті все спрощується за таким самим принципом, прирівнюємо показники степеня виразів з однаковими основами: $$ 2(3𝑥 − 7) = −1 \Longleftrightarrow 3𝑥 − 7 =-\dfrac {1}{2}.$$ Звідки дістаємо відповідь $$x = \dfrac{13}{6}$$. Загальний принцип розв’язання показникових рівнянь полягає в **логарифмуванні** (див. [Лекцію 5](https://study.ed-era.com/courses/EdEra/m102/M102/courseware/39ab5698abc64e859b629b9006c8a7cd/5992a8a56dbc4832a0e8a913fe62158d)) обох частин рівняння. Основу обирають такою, аби позбутися змінної в показнику степеня. Приклад **Розв’язати рівняння $$2^{4x-3} = 5^x.$$** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок** Звести до однієї основи тут не вийде, тому застосовуємо логарифмування:$$2^{4x-3} = 5^x$$Вихідне рівняння$$log\_{2}$$$$2^{4𝑥−3} =$$ $$log\_{2}$$$$5^{x}$$Логарифмуємо обидві частини за основою $$2$$$$(4𝑥−3)$$$$log\_{2} 2 =$$$$x$$$$ log\_{2}5$$Виписуємо показник підлогарифмічного виразу$$4𝑥−3 =x log\_{2}5$$Cпрощуємо$$4𝑥$$$$- xlog\_{2}5 $$$$=$$$$3$$Залишаємо всі доданки з $$x$$ в лівій частині$$x$$$$(4- log\_{2}5) = 3$$Виносимо $$x$$ за дужки$$x=\dfrac{3}{4-log\_{2}5}$$Ділимо обидві частини на $$4-log^{2}5$$**Вiдповiдь.** $$x = \dfrac{3}{4-log\_{2}5}.$$ Рівносильний перехід В загальному випадку можна записати такий рівносильний перехід:$$a^{f(x)} = b^{g(x)} \Longleftrightarrow f(x) = g(x)\cdot log\_ab,$$ при цьому потрібно пам’ятати, що $$𝑎 > 0, 𝑎\ne 1, 𝑏 > 0, 𝑏 \ne 1$$, інакше перехід не можна назвати рівносильним і таке рівняння не матиме коренів. Приклад **Розв’язати рівняння $$ 7^{5𝑥−1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4-x}$$.** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.** Звести до однієї основи, тому скористаємось рівносильним переходом:$$ 7^{5𝑥−1} =\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4-x} \Longleftrightarrow 5𝑥 − 1 = (4 − 𝑥)log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}$$$$ 5𝑥 − 1 = (4 − 𝑥)log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}$$Вихідне рівняння$$5𝑥 − 1 = 4log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}-xlog^{}\_{7}\dfrac{1}{2}$$Розкриємо дужки в правій частині рівняння$$5x + xlog^{}\_{7}\dfrac{1}{2}=1+ 4log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}$$Залишаємо всі доданки з 𝑥 в лівій частині$$x\left(5 + log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}\right)=1+ 4log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}$$Виносимо 𝑥 за дужки$$x=\dfrac{1+ 4log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}}{5 + log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}}$$Ділимо обидві частини на $$5+log^{}\_{7}\dfrac{1}{2}$$**Вiдповiдь.** $$x=\dfrac{1+ 4log^{}\_{7}(\dfrac{1}{2})}{5 + log^{}\_{7}(\dfrac{1}{2})}$$.

Разом зі зведенням до спільної основи дуже часто користуються **методом заміни змінної**. Рівняння зводять до спільної основи, яку замінюють на іншу змінну. Далі рівняння вже не є показниковим і легко розв’язується.

 Приклад **Розв’язати рівняння $$5\cdot9^x+3\cdot25^x=\dfrac{8}{15^{-x}}.$$**

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**$$5\cdot9^x+3\cdot25^x=\dfrac{8}{15^{-x}}$$Вихідне рівняння$$5\cdot3^{2x}+3\cdot5^{2x}={8}\cdot{15^{x}}$$ $$5\cdot3^{2x}+3\cdot5^{2x}={8}\cdot3^{x}\cdot5^{x}$$Перепишемо в іншому вигляді$$5\cdot\dfrac{3^{2x}}{5^{2x}}+3\cdot\dfrac{5^{2x}}{5^{2x}}={8}\cdot\dfrac{3^{x}\cdot5^{x}}{5^{2x}}$$Ділимо обидві частини на $$5^{2x}$$$$5\cdot{\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{2x}+3={8}\cdot{\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}$$Спрощуємо$$5t^2+3=8t$$Робимо заміну $${\left(\dfrac{3}{5}\right)}^x=t$$$$5t^2-8t+3=0$$Перепишем всі доданки з однієї сторони$$D={(-8)}^2-4\cdot3\cdot5=4$$$$x^{}\_{1,2}=\dfrac{8 \pm \sqrt{4}}{2\cdot5}=\left\[ \begin{gathered} 1, \hfill \\\ \dfrac{3}{5} \hfill \\\ \end{gathered} \right. $$Розв’язуємо квадратне рівняння$$\left\[ \begin{gathered} {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=1, \hfill \\\ {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=\dfrac{3}{5} \hfill \\\ \end{gathered} \right. $$Повертаємось до попередньої змінної $$\left\[ \begin{gathered} {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^{0}, \hfill \\\ {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^1 \hfill \\\ \end{gathered} \right. $$Зводимо до спільної основи$$x=0,$$$$x=1$$Позбуваємось показника степеня**Вiдповiдь.** $$x = \\{0;1\\}$$.

 Приклад **Розв’язати рівняння $$4^{\frac{x+2}{2x}}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$$**

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**$$4^{\frac{x+2}{2x}}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$$Вихідне рівняння$$2^{\frac{x+2}{x}}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$$ $$2^{\frac{2}{x}+1}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$$ $$2\cdot2^{\frac{2}{x}}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$$Перепишемо в іншому вигляді$$2\cdot t^2-33\cdot t+16=0$$Робимо заміну $$2^{\frac{1}{x}}=t$$$$D=(-33)^2-4\cdot2\cdot16=961$$ $$x\_{1,2}=\dfrac{33\pm\sqrt{961}}{2\cdot2}=\dfrac{33\pm31}{4}= \left\[ \begin{gathered} \dfrac{1}{2}, \hfill \\\ 16 \hfill \\\ \end{gathered} \right. $$Розв’язуємо квадратне рівняння$$\left\[ \begin{gathered} {2}^{\frac{1}{x}}=\dfrac{1}{2}, \hfill \\\ {2}^{\frac{1}{x}}=16 \hfill \\\ \end{gathered} \right.$$Повертаємось до попередньої змінної$$\left\[ \begin{gathered} {2}^{\frac{1}{x}}=2^{-1}, \hfill \\\ {2}^{\frac{1}{x}}=2^4 \hfill \\\ \end{gathered} \right.$$Зводимо до спільної основи$$\left\[ \begin{gathered} \dfrac{1}{x}=-1, \hfill \\\ \dfrac{1}{x}=4 \hfill \\\ \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left\[ \begin{gathered} x=-1, \hfill \\\ x=\dfrac{1}{4} \hfill \\\ \end{gathered} \right.$$Позбуваємось показника степеня та розв’язуємо дробово-раціональні рівняння**Вiдповiдь.** $$x=\left\\{ -1; \dfrac{1}{4} \right \\}$$.