Показникові рівняння
Визначення Показникове рівняння — це рівняння, що містить змінну в показнику степеня.
Наприклад: $2^𝑥 = 4$; $3^{(𝑥−8)} = 5^𝑥$; $(2 − 𝑥)^{3𝑥} = 6^𝑥.$
Дуже часто використовують метод зведення до однієї основи. Розпочнемо з простого рівняння: $ 5^{𝑥−1} = 125$. Якщо уважно подивитись, то праву частину можна переписати у вигляді $ 5^3: 5^{𝑥−1} = 5^3$. Тепер, як ми звели всі доданки до однієї основи можна скористатись таким правилом: два степеневих вирази рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхні основи та показники степеня. Основи вже є однаковими, тому можна записати рівність показників степеня: $𝑥 − 1 = 3,$ звідки знаходимо $x = 4.$
Поглянемо на інше рівняння: $9^{3𝑥−7} =\sqrt{13}.$ Це рівняння можна звести до спільної основи $3$. Рівняння можна переписати як $ 3^{2(3𝑥−7)} = 3^{−1}$. В результаті все спрощується за таким самим принципом, прирівнюємо показники степеня виразів з однаковими основами: $ 2(3𝑥 − 7) = −1 \Longleftrightarrow 3𝑥 − 7 =-\dfrac {1}{2}.$ Звідки дістаємо відповідь $x = \dfrac{13}{6}$. Загальний принцип розв’язання показникових рівнянь полягає в логарифмуванні (див. Лекцію 5) обох частин рівняння. Основу обирають такою, аби позбутися змінної в показнику степеня. Приклад Розв’язати рівняння $2^{4x-3} = 5^x.$ Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок Звести до однієї основи тут не вийде, тому застосовуємо логарифмування:$2^{4x-3} = 5^x$Вихідне рівняння$log_{2}$$2^{4𝑥−3} =$ $log_{2}$$5^{x}$Логарифмуємо обидві частини за основою $2$$(4𝑥−3)$$log_{2} 2 =$$x$$ log_{2}5$Виписуємо показник підлогарифмічного виразу$4𝑥−3 =x log_{2}5$Cпрощуємо$4𝑥$$- xlog_{2}5 $$=$$3$Залишаємо всі доданки з $x$ в лівій частині$x$$(4- log_{2}5) = 3$Виносимо $x$ за дужки$x=\dfrac{3}{4-log_{2}5}$Ділимо обидві частини на $4-log^{2}5$Вiдповiдь. $x = \dfrac{3}{4-log_{2}5}.$ Рівносильний перехід В загальному випадку можна записати такий рівносильний перехід:$a^{f(x)} = b^{g(x)} \Longleftrightarrow f(x) = g(x)\cdot log_ab,$ при цьому потрібно пам’ятати, що $𝑎 > 0, 𝑎\ne 1, 𝑏 > 0, 𝑏 \ne 1$, інакше перехід не можна назвати рівносильним і таке рівняння не матиме коренів. Приклад Розв’язати рівняння $ 7^{5𝑥−1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4-x}$. Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок. Звести до однієї основи, тому скористаємось рівносильним переходом:$ 7^{5𝑥−1} =\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4-x} \Longleftrightarrow 5𝑥 − 1 = (4 − 𝑥)log^{}_{7}\dfrac{1}{2}$$ 5𝑥 − 1 = (4 − 𝑥)log^{}_{7}\dfrac{1}{2}$Вихідне рівняння$5𝑥 − 1 = 4log^{}_{7}\dfrac{1}{2}-xlog^{}_{7}\dfrac{1}{2}$Розкриємо дужки в правій частині рівняння$5x + xlog^{}_{7}\dfrac{1}{2}=1+ 4log^{}_{7}\dfrac{1}{2}$Залишаємо всі доданки з 𝑥 в лівій частині$x\left(5 + log^{}_{7}\dfrac{1}{2}\right)=1+ 4log^{}_{7}\dfrac{1}{2}$Виносимо 𝑥 за дужки$x=\dfrac{1+ 4log^{}_{7}\dfrac{1}{2}}{5 + log^{}_{7}\dfrac{1}{2}}$Ділимо обидві частини на $5+log^{}_{7}\dfrac{1}{2}$Вiдповiдь. $x=\dfrac{1+ 4log^{}_{7}(\dfrac{1}{2})}{5 + log^{}_{7}(\dfrac{1}{2})}$.
Разом зі зведенням до спільної основи дуже часто користуються методом заміни змінної. Рівняння зводять до спільної основи, яку замінюють на іншу змінну. Далі рівняння вже не є показниковим і легко розв’язується.
Приклад Розв’язати рівняння $5\cdot9^x+3\cdot25^x=\dfrac{8}{15^{-x}}.$
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.$5\cdot9^x+3\cdot25^x=\dfrac{8}{15^{-x}}$Вихідне рівняння$5\cdot3^{2x}+3\cdot5^{2x}={8}\cdot{15^{x}}$ $5\cdot3^{2x}+3\cdot5^{2x}={8}\cdot3^{x}\cdot5^{x}$Перепишемо в іншому вигляді$5\cdot\dfrac{3^{2x}}{5^{2x}}+3\cdot\dfrac{5^{2x}}{5^{2x}}={8}\cdot\dfrac{3^{x}\cdot5^{x}}{5^{2x}}$Ділимо обидві частини на $5^{2x}$$5\cdot{\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{2x}+3={8}\cdot{\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}$Спрощуємо$5t^2+3=8t$Робимо заміну ${\left(\dfrac{3}{5}\right)}^x=t$$5t^2-8t+3=0$Перепишем всі доданки з однієї сторони$D={(-8)}^2-4\cdot3\cdot5=4$$x^{}_{1,2}=\dfrac{8 \pm \sqrt{4}}{2\cdot5}=\left[ \begin{gathered} 1, \hfill \\ \dfrac{3}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right. $Розв’язуємо квадратне рівняння$\left[ \begin{gathered} {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=1, \hfill \\ {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=\dfrac{3}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right. $Повертаємось до попередньої змінної $\left[ \begin{gathered} {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^{0}, \hfill \\ {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^1 \hfill \\ \end{gathered} \right. $Зводимо до спільної основи$x=0,$$x=1$Позбуваємось показника степеняВiдповiдь. $x = \{0;1\}$.
Приклад Розв’язати рівняння $4^{\frac{x+2}{2x}}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.$4^{\frac{x+2}{2x}}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$Вихідне рівняння$2^{\frac{x+2}{x}}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$ $2^{\frac{2}{x}+1}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$ $2\cdot2^{\frac{2}{x}}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$Перепишемо в іншому вигляді$2\cdot t^2-33\cdot t+16=0$Робимо заміну $2^{\frac{1}{x}}=t$$D=(-33)^2-4\cdot2\cdot16=961$ $x_{1,2}=\dfrac{33\pm\sqrt{961}}{2\cdot2}=\dfrac{33\pm31}{4}= \left[ \begin{gathered} \dfrac{1}{2}, \hfill \\ 16 \hfill \\ \end{gathered} \right. $Розв’язуємо квадратне рівняння$\left[ \begin{gathered} {2}^{\frac{1}{x}}=\dfrac{1}{2}, \hfill \\ {2}^{\frac{1}{x}}=16 \hfill \\ \end{gathered} \right.$Повертаємось до попередньої змінної$\left[ \begin{gathered} {2}^{\frac{1}{x}}=2^{-1}, \hfill \\ {2}^{\frac{1}{x}}=2^4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$Зводимо до спільної основи$\left[ \begin{gathered} \dfrac{1}{x}=-1, \hfill \\ \dfrac{1}{x}=4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=-1, \hfill \\ x=\dfrac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right.$Позбуваємось показника степеня та розв’язуємо дробово-раціональні рівнянняВiдповiдь. $x=\left\{ -1; \dfrac{1}{4} \right \}$.
Last modified 3yr ago
Copy link