Показникові рівняння

Визначення Показникове рівняння — це рівняння, що містить змінну в показнику степеня.

Наприклад: $$2^𝑥 = 4$$; $$3^{(𝑥−8)} = 5^𝑥$$; $$(2 − 𝑥)^{3𝑥} = 6^𝑥.$$

Дуже часто використовують метод зведення до однієї основи. Розпочнемо з простого рівняння: $$ 5^{𝑥−1} = 125$$. Якщо уважно подивитись, то праву частину можна переписати у вигляді $$ 5^3: 5^{𝑥−1} = 5^3$$. Тепер, як ми звели всі доданки до однієї основи можна скористатись таким правилом: два степеневих вирази рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхні основи та показники степеня. Основи вже є однаковими, тому можна записати рівність показників степеня: $$𝑥 − 1 = 3,$$ звідки знаходимо $$x = 4.$$

Поглянемо на інше рівняння: $$9^{3𝑥−7} =\sqrt{13}.$$ Це рівняння можна звести до спільної основи $$3$$. Рівняння можна переписати як $$ 3^{2(3𝑥−7)} = 3^{−1}$$. В результаті все спрощується за таким самим принципом, прирівнюємо показники степеня виразів з однаковими основами: $$ 2(3𝑥 − 7) = −1 \Longleftrightarrow 3𝑥 − 7 =-\dfrac {1}{2}.$$ Звідки дістаємо відповідь $$x = \dfrac{13}{6}$$. Загальний принцип розв’язання показникових рівнянь полягає в логарифмуванні (див. Лекцію 5) обох частин рівняння. Основу обирають такою, аби позбутися змінної в показнику степеня. Приклад Розв’язати рівняння $$2^{4x-3} = 5^x.$$ Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок Звести до однієї основи тут не вийде, тому застосовуємо логарифмування:$$2^{4x-3} = 5^x$$Вихідне рівняння$$log_{2}$$$$2^{4𝑥−3} =$$ $$log_{2}$$$$5^{x}$$Логарифмуємо обидві частини за основою $$2$$$$(4𝑥−3)$$$$log_{2} 2 =$$$$x$$$$ log_{2}5$$Виписуємо показник підлогарифмічного виразу$$4𝑥−3 =x log_{2}5$$Cпрощуємо$$4𝑥$$$$- xlog_{2}5 $$$$=$$$$3$$Залишаємо всі доданки з $$x$$ в лівій частині$$x$$$$(4- log_{2}5) = 3$$Виносимо $$x$$ за дужки$$x=\dfrac{3}{4-log_{2}5}$$Ділимо обидві частини на $$4-log^{2}5$$Вiдповiдь. $$x = \dfrac{3}{4-log_{2}5}.$$ Рівносильний перехід В загальному випадку можна записати такий рівносильний перехід:$$a^{f(x)} = b^{g(x)} \Longleftrightarrow f(x) = g(x)\cdot log_ab,$$ при цьому потрібно пам’ятати, що $$𝑎 > 0, 𝑎\ne 1, 𝑏 > 0, 𝑏 \ne 1$$, інакше перехід не можна назвати рівносильним і таке рівняння не матиме коренів. Приклад Розв’язати рівняння $$ 7^{5𝑥−1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4-x}$$. Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок. Звести до однієї основи, тому скористаємось рівносильним переходом:$$ 7^{5𝑥−1} =\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4-x} \Longleftrightarrow 5𝑥 − 1 = (4 − 𝑥)log^{}_{7}\dfrac{1}{2}$$$$ 5𝑥 − 1 = (4 − 𝑥)log^{}_{7}\dfrac{1}{2}$$Вихідне рівняння$$5𝑥 − 1 = 4log^{}_{7}\dfrac{1}{2}-xlog^{}_{7}\dfrac{1}{2}$$Розкриємо дужки в правій частині рівняння$$5x + xlog^{}_{7}\dfrac{1}{2}=1+ 4log^{}_{7}\dfrac{1}{2}$$Залишаємо всі доданки з 𝑥 в лівій частині$$x\left(5 + log^{}_{7}\dfrac{1}{2}\right)=1+ 4log^{}_{7}\dfrac{1}{2}$$Виносимо 𝑥 за дужки$$x=\dfrac{1+ 4log^{}_{7}\dfrac{1}{2}}{5 + log^{}_{7}\dfrac{1}{2}}$$Ділимо обидві частини на $$5+log^{}_{7}\dfrac{1}{2}$$Вiдповiдь. $$x=\dfrac{1+ 4log^{}_{7}(\dfrac{1}{2})}{5 + log^{}_{7}(\dfrac{1}{2})}$$.

Разом зі зведенням до спільної основи дуже часто користуються методом заміни змінної. Рівняння зводять до спільної основи, яку замінюють на іншу змінну. Далі рівняння вже не є показниковим і легко розв’язується.

Приклад Розв’язати рівняння $$5\cdot9^x+3\cdot25^x=\dfrac{8}{15^{-x}}.$$

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.$$5\cdot9^x+3\cdot25^x=\dfrac{8}{15^{-x}}$$Вихідне рівняння$$5\cdot3^{2x}+3\cdot5^{2x}={8}\cdot{15^{x}}$$ $$5\cdot3^{2x}+3\cdot5^{2x}={8}\cdot3^{x}\cdot5^{x}$$Перепишемо в іншому вигляді$$5\cdot\dfrac{3^{2x}}{5^{2x}}+3\cdot\dfrac{5^{2x}}{5^{2x}}={8}\cdot\dfrac{3^{x}\cdot5^{x}}{5^{2x}}$$Ділимо обидві частини на $$5^{2x}$$$$5\cdot{\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{2x}+3={8}\cdot{\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}$$Спрощуємо$$5t^2+3=8t$$Робимо заміну $${\left(\dfrac{3}{5}\right)}^x=t$$$$5t^2-8t+3=0$$Перепишем всі доданки з однієї сторони$$D={(-8)}^2-4\cdot3\cdot5=4$$$$x^{}_{1,2}=\dfrac{8 \pm \sqrt{4}}{2\cdot5}=\left[ \begin{gathered} 1, \hfill \\ \dfrac{3}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right. $$Розв’язуємо квадратне рівняння$$\left[ \begin{gathered} {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=1, \hfill \\ {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=\dfrac{3}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right. $$Повертаємось до попередньої змінної $$\left[ \begin{gathered} {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^{0}, \hfill \\ {\left(\dfrac{3}{5}\right)}^{x}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^1 \hfill \\ \end{gathered} \right. $$Зводимо до спільної основи$$x=0,$$$$x=1$$Позбуваємось показника степеняВiдповiдь. $$x = \{0;1\}$$.

Приклад Розв’язати рівняння $$4^{\frac{x+2}{2x}}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$$

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.$$4^{\frac{x+2}{2x}}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$$Вихідне рівняння$$2^{\frac{x+2}{x}}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$$ $$2^{\frac{2}{x}+1}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$$ $$2\cdot2^{\frac{2}{x}}-33\cdot2^{\frac{1}{x}}+16=0$$Перепишемо в іншому вигляді$$2\cdot t^2-33\cdot t+16=0$$Робимо заміну $$2^{\frac{1}{x}}=t$$$$D=(-33)^2-4\cdot2\cdot16=961$$ $$x_{1,2}=\dfrac{33\pm\sqrt{961}}{2\cdot2}=\dfrac{33\pm31}{4}= \left[ \begin{gathered} \dfrac{1}{2}, \hfill \\ 16 \hfill \\ \end{gathered} \right. $$Розв’язуємо квадратне рівняння$$\left[ \begin{gathered} {2}^{\frac{1}{x}}=\dfrac{1}{2}, \hfill \\ {2}^{\frac{1}{x}}=16 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$Повертаємось до попередньої змінної$$\left[ \begin{gathered} {2}^{\frac{1}{x}}=2^{-1}, \hfill \\ {2}^{\frac{1}{x}}=2^4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$Зводимо до спільної основи$$\left[ \begin{gathered} \dfrac{1}{x}=-1, \hfill \\ \dfrac{1}{x}=4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=-1, \hfill \\ x=\dfrac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$Позбуваємось показника степеня та розв’язуємо дробово-раціональні рівнянняВiдповiдь. $$x=\left\{ -1; \dfrac{1}{4} \right \}$$.