Вік Землі та скам’янілостей

Зараз майже кожен школяр знає, що приблизний вік Землі складає близько 4,5 мільярдів років. Але це не завжди було так. Так само, як колись думали, що Земля є плоскою, існували різні гіпотези стосовно віку Землі. Михайло Ломоносов казав, що Землі близько 75000 років, Лорд Кельвін припускав, що Земля набагато старша – від 20 до 400 мільйонів років. І чим далі розвивалася наука, тим сміливішими були ці припущення. Врешті-решт на початку 20 сторіччя Ернест Резерфорд разом зі своїм учнем Фредериком Содді відкрили закон радіоактивного розпаду, що дозволив досить точно визначити вік Землі і різноманітних скам’янілостей та копалин.

Резерфорд помітив, що ядра радіоактивних елементів розпадаються зі сталою швидкістю – так він сформулював концепцію напіврозпаду. Зараз ця концепція лежить в основі радіоізотопного датування – набору методів, якими користуються для визначення віку копалин біологічного походження або навіть віку Землі. Поясню детальніше, як це працює на прикладі методу радіовуглецевого аналізу. Основою всіх біологічних організмів є вуглець. Він існує у вигляді трьох ізотопів: двох стабільних $^{12}C$ та $^{13}C$, а також радіоактивного $^{14}C$. Через те, що в живих організмах постійно йде обмін речовин (наприклад фотосинтез для рослин або поїдання тваринами рослин), співвідношення кількості ізотопів в атмосфері і всередині живих організмів однакове. Як тільки організм гине, обмін вуглецем припиняється, стабільні ізотопи вуглецю залишаються в організмі, а радіоактивний $^{14}C$ – розпадається. Знаючи вихідне співвідношення ізотопів вуглецю в організмі та їх поточне співвідношення – можна визначити, скільки пройшло часу з моменту загибелі організму. Період напіврозпаду вуглецю $^{14}C$ складає 5730 років. Це означає, що якщо ми маємо 1 кг вуглецю $^{14}C$, то за 5730 років від нього залишиться лише півкілограма. Ще за 5730 років – чвертькіло, і так далі.

/*Картинка*/ Звідси можна записати таку залежність:

$$N=N_0\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{5730}},$$ де $N$ – поточна кількість вуглецю, $N_0$ – вихідна кількість вуглецю, $t$ – кількість років, що пройшла.

В загальному випадку закон напіврозпаду можна записати у такому вигляді:

$$N=N_0\cdot2^{-\dfrac{t}{T_{0.5}}}$$, де $T_{0,5}$ – період напіврозпаду. Інший запис цього закону через експоненту:

$N=N_0\cdot e^{(-λt)}$.

Тут 𝜆 – швидкість розпаду речовини. Саме тому в Ґордона Фрімена на костюмі намальована грецька літера лямбда: англійською напіврозпад перекладається як “half-life”.

/*Картинка*/ Розгляньмо такий приклад: до лабораторії потрапив зразок античної рослини, вік якої потрібно визначити. Після декількох дослідів з’ясувалося, що в матеріалі рослини, на один атом вуглецю, $^{14}{C}$ припадає $1.18\cdot10^{16}$атомів $^{12}C$, тоді як співвідношення між цими ізотопами в атмосфері складає $1: 1.35\cdot10^{12}$. Для того, щоб дізнатись вік вуглецю потрібно знайти, у скільки разів змінилася кількість радіоактивного ізотопу вуглецю, та розв’язати рівняння напіврозпаду:

$N=N_0\cdot2^{-\dfrac{t}{5730}}$. З умови знаходимо відношення кількостей вуглецю:

$\dfrac{N}{N^{}_{0}}= \dfrac{1.35\cdot10^{12}}{1.18 \cdot10^{16}}=1.144\cdot10^{-4}.$

Тоді рівняння набуде вигляду:

$1.144\cdot10^{-4}=2^\dfrac{-t}{5730}.$ Тепер прологарифмуймо за основою 2 обидві частини рівняння: $log^{}_{2} (1.144\cdot10^{−4}) = log^{}_{2}2^\dfrac{-t}{5730}.$ За властивістю логарифму виписуємо показник степеня підлогарифмічного виразу перед логарифмом та позбуваємося від логарифма числа за його ж основою:

$log^{}_{2}2^{-\dfrac{t}{5730}} = \left(-\dfrac{t}{5730}\right)\cdot log^{}_{2}2=-\dfrac{t}{5730}\cdot1.$

Тепер маємо звичайне лінійне рівняння:

$log^{}_{2}1.144\cdot10^{-4}=-\dfrac{t}{5730}.$

Звідки $t \approx 75000$. Отже, знайденій рослині приблизно 75000 років. Поки ми з вами шукали вік скам’янілої рослини, ми розв’язали найпростіше показникове рівняння.