Степенево-показникові рівняння
Існує ще один вид рівнянь, про які варто поговорити в цій лекції – це степенево-показникові рівняння: вони містять змінну як в основі, так і в показнику степеня. Наприклад:
x2x=3x^{2x}=3
.
В загальному вигляді такі рівняння можна записати як
$(f(x))^{g(x)}=(f(x))^n$ Розв’язок таких рівнянь розбивають на чотири випадки, які розглядаємо окремо:
$g(x)=n$ при $f(x)\ne \{−1;0;1\};$
$f(x)=-1;$
$f(x)=0;$
$f(x)=1.$
Після цього потрібно перевірити отримані корені.
Приклад Розв’язати рівняння $(x^2+4x+4)^{2-3x}=1$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язокЗведемо рівняння до загального вигляду: $(x^2+4x+4)^{2-3x}=(x^2+4x+4)^{0}$Розглянемо перший випадок:$(x^2+4x+4)^{2-3x}=(x^2+4x+4)^{0}\Longleftrightarrow 2−3𝑥=0$ при $x^2+4x+4\ne\{−1;0;1\}$$x=\dfrac{2}{3}.$Перевіримо, щоби при цьому значенні $x$ виконувалась умова $x^2+4x+4\ne\{−1;0;1\}$:$\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+4\left(\dfrac{2}{3}\right)+4=\dfrac{4}{9}+\dfrac{24}{9}+\dfrac{36}{9}=\dfrac{64}{9}\ne\{−1;0;1\}.$Розв’яжемо рівняння $x^2+4x+4=-1$:$x^2+4x+4=-1\Longleftrightarrow x^2+4x+5=0$$D=4^2-4\cdot1\cdot5=-4Дискримінант від’ємний – рівняння не має коренів.Розв’яжемо рівняння $x^2+4x+4=0$:$x^2+4x+4\Longleftrightarrow(x+2)^2=0$$x=-2$ Проте цей корінь ми відкидаємо, $0^6=0\ne1$.Розв’яжемо рівняння $x^2+4x+4=1$:$x^2+4x+4=1\Longleftrightarrow x^2+4x+3=0$$D=4^2-4\cdot1\cdot3=4>0$$x^{}_{1,2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{4}}{2\cdot1}\Longleftrightarrow$$\left[ \begin{gathered} x=-1, \hfill \\ x=-3 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ Перевіряємо: $1^{2-2(-1)}=1^4=1;1^{2-2(-3)}=1^8=1$.В результаті ми отримали три корені: $x \in \left\{-3;-1;\dfrac{2}{3}\right \}.$Вiдповiдь. $x \in \left\{-3;-1;\dfrac{2}{3}\right \}.$
Last modified 3yr ago
Copy link