Математика: арифметика, рівняння та нерівності
  • Зміст
  • Вступне слово
  • Арифметика
    • Прості та складені числа
    • Ознаки подiльностi натуральних чисел
    • Дроби та дiї над ними
    • Модуль числа
  • Пропорції та відсотки
    • Відсотки
    • Розв’язання задач на спiльну виконану роботу (задачi на продуктивнiсть)
  • Одночлени та многочлени
    • Одночлен
    • Многочлен
    • Дiї над многочленами
    • Формули скороченого множення
    • Розкладання многочлена на множники
    • Бiном Ньютона
  • Корiнь та його властивостi
    • Квадратний корiнь та його основнi властивостi
    • Корінь n-го степеня та його основні властивості
    • Ірраціональні вирази
      • Доповнюючий множник
      • Звiльнення вiд iррацiональностi у знаменнику (чисельнику) iррацiонального дробу
      • Доповнюючi множники для основних типiв iррацiональностей у знаменнику (чисельнику)
    • Додаток
  • Показниковi та логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифм
    • Логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифмування та потенцiювання
  • Системи алгебраїчних рiвнянь
    • Метод підстановки
    • Метод алгебраїчного додавання
    • Метод заміни змінної
  • Лiнiйнi та квадратнi рiвняння
    • Лiнiйнi рiвняння
    • Квадратнi рiвняння
      • Неповні квадратні рівняння
      • Повне квадратне рівняння та дискримiнант
      • Факторизація квадратного рівняння (розкладання на множники)
      • Теорема Вiєта
    • Бiквадратнi рiвняння, та рівняння, що зводяться до квадратних
  • Iншi види цiлих рiвнянь
    • Цiлi рацiональнi рiвняння вищих степенів
      • Метод підбору коренів
      • Метод заміни змінної
    • Рiвняння з модулями
      • Метод інтервалів
    • Рівняння з параметрами
      • Лінійне рiвняння з параметрами
      • Квадратне рівняння з параметрами
  • Цілі нерівності
    • Основні властивості
    • Лiнiйнi нерiвностi
    • Система та сукупність нерівностей
    • Нерiвностi з модулями
  • Метод інтервалів
    • Метод інтервалів
    • Дробово-рацiональнi нерiвності
    • Нерiвностi з параметрами
  • Дробово-раціональні рівняння
    • Дробово-раціональне рівняння
    • Раціональні рівняння з параметрами
  • Ірраціональні рівняння
    • Корабель на горизонтi
    • Iррацiональнi рiвняння з квадратним коренем
    • Корабль поза горизонтом
  • Ірраціональні нерівності
    • Метод відокремлення кореня
    • Методологiя розв’язання в залежностi вiд парності/непарностi степеня кореня
    • Метод iнтервалiв для iррацiональних нерiвностей
    • Нерiвностi з параметрами
  • Показникові рівняння
    • Вік Землі та скам’янілостей
    • Показникові рівняння
    • Показникові нерівності
    • Степенево-показникові рівняння
    • Зведення до однiєї основи
      • Показникові рівняння
    • Винесення множника
    • Рiвняння особливих видiв
    • Використання властивостей функцiй (монотонностi)
    • Показниково - степеневi рiвняння
    • Рiвняння з параметрами
    • Системи рівнянь
  • Показникові нерівності
    • Властивостi показникової функцiї та класифікація типiв задач
    • Методи розв’язання окремих типiв задач
    • Степенево - показниковi нерiвностi
  • Логарифмічні рівняння
    • Логарифмiчнi рiвняння
    • Логарифмування та потенцiювання
    • Використання логарифмiчних тотожностей для розв’язання окремих типiв задач
    • Системи рівнянь
  • Логарифмічні нерівності
    • Використання властивостей логарифмiв для розв’язання рiзних типiв задач
    • Замiна змiнної в логарифмiчних нерiвностях
    • Показниково-логарифмiчнi нерiвностi
    • Нерiвностi з параметрами
Powered by GitBook
On this page

Was this helpful?

  1. Одночлени та многочлени

Бiном Ньютона

Визначення

Сума вигляду $$(a+b)^n$$ називається біномом Ньютона та обчислюється за наступною формулою:

$$(a+b)^n = a^n + \gamma_1 a^{n-1}b + \gamma_2 a^{n-2}b^2 + \dots + \gamma_{n-2} a^2 b^{n-2} + \gamma_{n-1} a b^{n-1} + b^n,$$

де коефіцієнти розкладу $$\gamma_1, \dots, \gamma_n$$– елементи $$n$$-го рядка трикутнику Паскаля.

Трикутник Паскаля запам’ятовувати не потрібно, треба лише знати, як його побудувати. Кожен рядок починається та закінчується одиницею, і має на один елемент більше, ніж попередній. Всі числа між ними отримуються складанням двох чисел, які стоять над даним (ліворуч і праворуч). Наприклад, для $$(a+b)^7$$ коефіцієнти розкладу беремо з сьомого рядка трикутника Паскаля:

Наприклад: $$(a+b)^7=a^7+7a^6 b+21a^5 b^2+35a^4 b^3+35a^3 b^4+21a^2 b^4+7ab^6+b^7.$$

Приклад

Знайти номер члена розкладу бінома $$(\sqrt[3]{x} + \dfrac{1}{x})^{16}$$, який не містить $$x$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Що ж, для спільного члена розкладу маємо формулу: $$\gamma_n (\sqrt[3]{x})^{16-n} (\dfrac{1}{x})^n$$Загалом, значення $$\gamma_n$$ для нас не має вагомої ролі, тому перемножимо $$(\sqrt[3]{x})^{16-n}$$ і $$(\dfrac{1}{x})^n$$ і знайдемо їх значення:$$(\sqrt[3]{x})^{16-n} \cdot (\dfrac{1}{x})^n \rightarrow $$$$ x^{\frac{16-n}{3}} \cdot x^{-n} \rightarrow x^{\frac{16-4n}{3}}$$Отже, коли $$16-4n=0 \rightarrow n = 4$$, ми отримаємо, що $$x^0 = 1$$ і значення цього члену не буде залежати від $$x$$.Вiдповiдь. $$4$$

Обчислити: $$(5-3)^3$$ $$5$$ $$3$$ $$8$$ $$7$$ $$11$$

$$(5-3)^3=5^3 + 3\cdot5^2\cdot(-3) + 3\cdot5\cdot(-3)^2 + (-3)^3 =5\cdot5\cdot5 + 3\cdot5\cdot5\cdot(-3) +$$

$$+ 3\cdot5\cdot(-3)\cdot(-3) + (-3)\cdot(-3)\cdot(-3)=125-225+135-27=8$$

Вказати коефіцієнти для 6-го ступеня у трикутнику Паскаля: $$1, 4, 6, 4, 1$$ $$1, 5, 10, 10, 5, 1$$ $$1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$$ $$1, 7, 21, 35, 35, 21, 7 ,1$$

PreviousРозкладання многочлена на множникиNextКорiнь та його властивостi

Last updated 6 years ago

Was this helpful?