# Бiном Ньютона

 Визначення

Сума вигляду $$(a+b)^n$$ називається біномом Ньютона та обчислюється за наступною формулою:

$$(a+b)^n = a^n + \gamma\_1 a^{n-1}b + \gamma\_2 a^{n-2}b^2 + \dots + \gamma\_{n-2} a^2 b^{n-2} + \gamma\_{n-1} a b^{n-1} + b^n,$$

де коефіцієнти розкладу $$\gamma\_1, \dots, \gamma\_n$$– елементи $$n$$-го рядка трикутнику Паскаля.

Трикутник Паскаля запам’ятовувати не потрібно, треба лише знати, як його побудувати. Кожен рядок починається та закінчується одиницею, і має на один елемент більше, ніж попередній. Всі числа між ними отримуються складанням двох чисел, які стоять над даним (ліворуч і праворуч). Наприклад, для $$(a+b)^7$$ коефіцієнти розкладу беремо з сьомого рядка трикутника Паскаля:

Наприклад: $$(a+b)^7=a^7+7a^6 b+21a^5 b^2+35a^4 b^3+35a^3 b^4+21a^2 b^4+7ab^6+b^7.$$

 Приклад

Знайти номер члена розкладу бінома $$(\sqrt\[3]{x} + \dfrac{1}{x})^{16}$$, який не містить $$x$$.

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Що ж, для спільного члена розкладу маємо формулу: $$\gamma\_n (\sqrt\[3]{x})^{16-n} (\dfrac{1}{x})^n$$Загалом, значення $$\gamma\_n$$ для нас не має вагомої ролі, тому перемножимо $$(\sqrt\[3]{x})^{16-n}$$ і $$(\dfrac{1}{x})^n$$ і знайдемо їх значення:$$(\sqrt\[3]{x})^{16-n} \cdot (\dfrac{1}{x})^n \rightarrow $$$$ x^{\frac{16-n}{3}} \cdot x^{-n} \rightarrow x^{\frac{16-4n}{3}}$$Отже, коли $$16-4n=0 \rightarrow n = 4$$, ми отримаємо, що $$x^0 = 1$$ і значення цього члену не буде залежати від $$x$$.**Вiдповiдь.** $$4$$

Обчислити: $$(5-3)^3$$ $$5$$ $$3$$ $$8$$ $$7$$ $$11$$

$$(5-3)^3=5^3 + 3\cdot5^2\cdot(-3) + 3\cdot5\cdot(-3)^2 + (-3)^3 =5\cdot5\cdot5 + 3\cdot5\cdot5\cdot(-3) +$$

$$+ 3\cdot5\cdot(-3)\cdot(-3) + (-3)\cdot(-3)\cdot(-3)=125-225+135-27=8$$

Вказати коефіцієнти для 6-го ступеня у трикутнику Паскаля: $$1, 4, 6, 4, 1$$ $$1, 5, 10, 10, 5, 1$$ $$1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$$ $$1, 7, 21, 35, 35, 21, 7 ,1$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/stepin_z_tsilim_pokaznikom/binom_nyutona.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.