Бiном Ньютона
Визначення
Сума вигляду $(a+b)^n$ називається біномом Ньютона та обчислюється за наступною формулою:
$(a+b)^n = a^n + \gamma_1 a^{n-1}b + \gamma_2 a^{n-2}b^2 + \dots + \gamma_{n-2} a^2 b^{n-2} + \gamma_{n-1} a b^{n-1} + b^n,$
де коефіцієнти розкладу $\gamma_1, \dots, \gamma_n$– елементи $n$-го рядка трикутнику Паскаля.
Трикутник Паскаля запам’ятовувати не потрібно, треба лише знати, як його побудувати. Кожен рядок починається та закінчується одиницею, і має на один елемент більше, ніж попередній. Всі числа між ними отримуються складанням двох чисел, які стоять над даним (ліворуч і праворуч). Наприклад, для $(a+b)^7$ коефіцієнти розкладу беремо з сьомого рядка трикутника Паскаля:
Наприклад: $(a+b)^7=a^7+7a^6 b+21a^5 b^2+35a^4 b^3+35a^3 b^4+21a^2 b^4+7ab^6+b^7.$
Приклад
Знайти номер члена розкладу бінома $(\sqrt[3]{x} + \dfrac{1}{x})^{16}$, який не містить $x$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Що ж, для спільного члена розкладу маємо формулу: $\gamma_n (\sqrt[3]{x})^{16-n} (\dfrac{1}{x})^n$Загалом, значення $\gamma_n$ для нас не має вагомої ролі, тому перемножимо $(\sqrt[3]{x})^{16-n}$ і $(\dfrac{1}{x})^n$ і знайдемо їх значення:$(\sqrt[3]{x})^{16-n} \cdot (\dfrac{1}{x})^n \rightarrow $$ x^{\frac{16-n}{3}} \cdot x^{-n} \rightarrow x^{\frac{16-4n}{3}}$Отже, коли $16-4n=0 \rightarrow n = 4$, ми отримаємо, що $x^0 = 1$ і значення цього члену не буде залежати від $x$.Вiдповiдь. $4$
Обчислити: $(5-3)^3$ $5$ $3$ $8$ $7$ $11$
$(5-3)^3=5^3 + 3\cdot5^2\cdot(-3) + 3\cdot5\cdot(-3)^2 + (-3)^3 =5\cdot5\cdot5 + 3\cdot5\cdot5\cdot(-3) +$
$+ 3\cdot5\cdot(-3)\cdot(-3) + (-3)\cdot(-3)\cdot(-3)=125-225+135-27=8$
Вказати коефіцієнти для 6-го ступеня у трикутнику Паскаля: $1, 4, 6, 4, 1$ $1, 5, 10, 10, 5, 1$ $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ $1, 7, 21, 35, 35, 21, 7 ,1$
Last modified 3yr ago
Copy link