# Розкладання многочлена на множники

1. **Винесення спільного множника за дужки**. Якщо кілька доданків многочлена містять одну й ту саму змінну, то її можна винести за дужки у найменшому степені.

   Наприклад: $$21a^3 b-7ab^2+4ab+15a^5 b^7=ab\cdot(21a^2-7b+4+15a^4 b^6).$$
2. **Метод групування**. В цьому методі використовується винесення многочлена за дужки. Для цього групують доданки так, щоб після винесення спільних множників, у кожній групі в дужках лишився один і той самий многочлен, який після цього виносять за дужки.

   Наприклад: $$12a^2+3ab-4b^3-16ab^2=(12a^2-16ab^2 )+(3ab-4b^3 )=4a(3a-4b^2)+$$\
   $$+b(3a-4b^2)=(3a-4b^2 )(4a+b).$$

 Алгоритм **Видiлення повного квадрата з тричлена**

Вирази вигляду $$Ax^{2n}+Bx^n y^m+Cy^{2m}$$, що не є квадратами двочлена, можна розкласти на множники виділивши повний квадрат з тричлена.

Для цього потрібно:

а) записати один з доданків у вигляді квадрату деякого виразу $$X$$;

б) записати другий доданок у вигляді $$2XY$$, звідки знайти вираз $$Y$$;

в) додати та відняти одночасно квадрат виразу $$Y$$;

г) застосувати формулу квадрату суми чи різниці. Приклад

Розкласти на множники тричлен $$16x^6+40x^3 y-11y^2$$.

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**а) Представляємо перший доданок у вигляді квадрату деякого виразу $$X$$: $$ 16x^6=$$\
$$=(4x^3 )^2,$$ тоді $$X=4x^3.$$б) Шукаємо вираз $$Y$$ з другого доданку, представивши його у вигляді $$2XY$$: $$40x^3 y=2\cdot(4x^3 )\cdot(5y),$$ тоді $$Y=5y$$.в-г) Додаємо та віднімаємо $$Y^2=(5y)^2=25y^2,$$ після чого групуємо доданки, щоб утворити повний квадрат та скористатись формулою різниці квадратів:$$16x^6 + 40x^3 y - 11y^2 + 25y^2 - 25y^2 = (16x^6 + 40x^3 y + 25y^2) - 11y^2 - 25y^2 = $$\
$$ = (4x^3 + 5y)^2 - 36y^2 = (4x^3 + 5y - 6y)(4x^3 + 5y + 6y) = (4x^3 - y)(4x^3 + 11y).$$**Вiдповiдь.** $$(4x^3-y)(4x^3+11y).$$

1. **Розкладання на множники квадратного тричлена**. Кожний квадратний тричлен $$ax^2+bx+c$$ може бути розкладений на множники першого степеня наступним чином:

   $$ax^2+bx+c=a(x-x\_1)(x-x\_2),$$

   де $$x\_{1,2}$$ – корені квадратного тричлена (корені рівняння $$ax^2+bx+c=0$$).

   Вони визначаються за формулами

   $$x\_{1,2} = - \dfrac{b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$

 Приклад

Розкласти многочлен $$3x^2-12x-15$$ на множники.

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Знайдемо корені рівняння $$3x^2-12x-15=0:$$$$x\_{1,2} = - \dfrac{-12 \pm \sqrt{(-12)^2 -4\cdot3\cdot(-15)}}{2\cdot 3} = \dfrac{12 \mp \sqrt{324}}{6} = \dfrac{12 \mp 18}{6} \Rightarrow \begin{cases} x\_1 = -1; \\\ x\_2 = 5. \end{cases}.$$Отже, скориставшись формулою розкладу маємо: $$3x^2-12x-15=3(x+1)(x-5)$$.**Вiдповiдь.** $$3(x+1)(x-5).$$

Винесіть спільний множник за дужки: $$2\cdot a^2\cdot b + 6\cdot a\cdot b^2 + 4\cdot a\cdot b\cdot x$$ $$6ab(\dfrac{a}{3}+b+x)$$ $$a^2 \cdot b(2+3a \cdot b + 4x)$$ $$2ab(a+3b+2x)$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/stepin_z_tsilim_pokaznikom/rozkladannya_mnogochlena_na_mnozhniki.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.