Розкладання многочлена на множники
  1. 1.
    Винесення спільного множника за дужки. Якщо кілька доданків многочлена містять одну й ту саму змінну, то її можна винести за дужки у найменшому степені.
    Наприклад: $21a^3 b-7ab^2+4ab+15a^5 b^7=ab\cdot(21a^2-7b+4+15a^4 b^6).$
  2. 2.
    Метод групування. В цьому методі використовується винесення многочлена за дужки. Для цього групують доданки так, щоб після винесення спільних множників, у кожній групі в дужках лишився один і той самий многочлен, який після цього виносять за дужки.
    Наприклад: $12a^2+3ab-4b^3-16ab^2=(12a^2-16ab^2 )+(3ab-4b^3 )=4a(3a-4b^2)+$ $+b(3a-4b^2)=(3a-4b^2 )(4a+b).$
Алгоритм Видiлення повного квадрата з тричлена
Вирази вигляду $Ax^{2n}+Bx^n y^m+Cy^{2m}$, що не є квадратами двочлена, можна розкласти на множники виділивши повний квадрат з тричлена.
Для цього потрібно:
а) записати один з доданків у вигляді квадрату деякого виразу $X$;
б) записати другий доданок у вигляді $2XY$, звідки знайти вираз $Y$;
в) додати та відняти одночасно квадрат виразу $Y$;
г) застосувати формулу квадрату суми чи різниці. Приклад
Розкласти на множники тричлен $16x^6+40x^3 y-11y^2$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.а) Представляємо перший доданок у вигляді квадрату деякого виразу $X$: $ 16x^6=$ $=(4x^3 )^2,$ тоді $X=4x^3.$б) Шукаємо вираз $Y$ з другого доданку, представивши його у вигляді $2XY$: $40x^3 y=2\cdot(4x^3 )\cdot(5y),$ тоді $Y=5y$.в-г) Додаємо та віднімаємо $Y^2=(5y)^2=25y^2,$ після чого групуємо доданки, щоб утворити повний квадрат та скористатись формулою різниці квадратів:$16x^6 + 40x^3 y - 11y^2 + 25y^2 - 25y^2 = (16x^6 + 40x^3 y + 25y^2) - 11y^2 - 25y^2 = $ $ = (4x^3 + 5y)^2 - 36y^2 = (4x^3 + 5y - 6y)(4x^3 + 5y + 6y) = (4x^3 - y)(4x^3 + 11y).$Вiдповiдь. $(4x^3-y)(4x^3+11y).$
  1. 1.
    Розкладання на множники квадратного тричлена. Кожний квадратний тричлен $ax^2+bx+c$ може бути розкладений на множники першого степеня наступним чином:
    $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),$
    де $x_{1,2}$ – корені квадратного тричлена (корені рівняння $ax^2+bx+c=0$).
    Вони визначаються за формулами
    $x_{1,2} = - \dfrac{b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$
Приклад
Розкласти многочлен $3x^2-12x-15$ на множники.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Знайдемо корені рівняння $3x^2-12x-15=0:$$x_{1,2} = - \dfrac{-12 \pm \sqrt{(-12)^2 -4\cdot3\cdot(-15)}}{2\cdot 3} = \dfrac{12 \mp \sqrt{324}}{6} = \dfrac{12 \mp 18}{6} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = -1; \\ x_2 = 5. \end{cases}.$Отже, скориставшись формулою розкладу маємо: $3x^2-12x-15=3(x+1)(x-5)$.Вiдповiдь. $3(x+1)(x-5).$
Винесіть спільний множник за дужки: $2\cdot a^2\cdot b + 6\cdot a\cdot b^2 + 4\cdot a\cdot b\cdot x$ $6ab(\dfrac{a}{3}+b+x)$ $a^2 \cdot b(2+3a \cdot b + 4x)$ $2ab(a+3b+2x)$
Last modified 2yr ago
Copy link