Математика: арифметика, рівняння та нерівності
  • Зміст
  • Вступне слово
  • Арифметика
    • Прості та складені числа
    • Ознаки подiльностi натуральних чисел
    • Дроби та дiї над ними
    • Модуль числа
  • Пропорції та відсотки
    • Відсотки
    • Розв’язання задач на спiльну виконану роботу (задачi на продуктивнiсть)
  • Одночлени та многочлени
    • Одночлен
    • Многочлен
    • Дiї над многочленами
    • Формули скороченого множення
    • Розкладання многочлена на множники
    • Бiном Ньютона
  • Корiнь та його властивостi
    • Квадратний корiнь та його основнi властивостi
    • Корінь n-го степеня та його основні властивості
    • Ірраціональні вирази
      • Доповнюючий множник
      • Звiльнення вiд iррацiональностi у знаменнику (чисельнику) iррацiонального дробу
      • Доповнюючi множники для основних типiв iррацiональностей у знаменнику (чисельнику)
    • Додаток
  • Показниковi та логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифм
    • Логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифмування та потенцiювання
  • Системи алгебраїчних рiвнянь
    • Метод підстановки
    • Метод алгебраїчного додавання
    • Метод заміни змінної
  • Лiнiйнi та квадратнi рiвняння
    • Лiнiйнi рiвняння
    • Квадратнi рiвняння
      • Неповні квадратні рівняння
      • Повне квадратне рівняння та дискримiнант
      • Факторизація квадратного рівняння (розкладання на множники)
      • Теорема Вiєта
    • Бiквадратнi рiвняння, та рівняння, що зводяться до квадратних
  • Iншi види цiлих рiвнянь
    • Цiлi рацiональнi рiвняння вищих степенів
      • Метод підбору коренів
      • Метод заміни змінної
    • Рiвняння з модулями
      • Метод інтервалів
    • Рівняння з параметрами
      • Лінійне рiвняння з параметрами
      • Квадратне рівняння з параметрами
  • Цілі нерівності
    • Основні властивості
    • Лiнiйнi нерiвностi
    • Система та сукупність нерівностей
    • Нерiвностi з модулями
  • Метод інтервалів
    • Метод інтервалів
    • Дробово-рацiональнi нерiвності
    • Нерiвностi з параметрами
  • Дробово-раціональні рівняння
    • Дробово-раціональне рівняння
    • Раціональні рівняння з параметрами
  • Ірраціональні рівняння
    • Корабель на горизонтi
    • Iррацiональнi рiвняння з квадратним коренем
    • Корабль поза горизонтом
  • Ірраціональні нерівності
    • Метод відокремлення кореня
    • Методологiя розв’язання в залежностi вiд парності/непарностi степеня кореня
    • Метод iнтервалiв для iррацiональних нерiвностей
    • Нерiвностi з параметрами
  • Показникові рівняння
    • Вік Землі та скам’янілостей
    • Показникові рівняння
    • Показникові нерівності
    • Степенево-показникові рівняння
    • Зведення до однiєї основи
      • Показникові рівняння
    • Винесення множника
    • Рiвняння особливих видiв
    • Використання властивостей функцiй (монотонностi)
    • Показниково - степеневi рiвняння
    • Рiвняння з параметрами
    • Системи рівнянь
  • Показникові нерівності
    • Властивостi показникової функцiї та класифікація типiв задач
    • Методи розв’язання окремих типiв задач
    • Степенево - показниковi нерiвностi
  • Логарифмічні рівняння
    • Логарифмiчнi рiвняння
    • Логарифмування та потенцiювання
    • Використання логарифмiчних тотожностей для розв’язання окремих типiв задач
    • Системи рівнянь
  • Логарифмічні нерівності
    • Використання властивостей логарифмiв для розв’язання рiзних типiв задач
    • Замiна змiнної в логарифмiчних нерiвностях
    • Показниково-логарифмiчнi нерiвностi
    • Нерiвностi з параметрами
Powered by GitBook
On this page

Was this helpful?

  1. Одночлени та многочлени

Розкладання многочлена на множники

  1. Винесення спільного множника за дужки. Якщо кілька доданків многочлена містять одну й ту саму змінну, то її можна винести за дужки у найменшому степені.

    Наприклад: $$21a^3 b-7ab^2+4ab+15a^5 b^7=ab\cdot(21a^2-7b+4+15a^4 b^6).$$

  2. Метод групування. В цьому методі використовується винесення многочлена за дужки. Для цього групують доданки так, щоб після винесення спільних множників, у кожній групі в дужках лишився один і той самий многочлен, який після цього виносять за дужки.

    Наприклад: $$12a^2+3ab-4b^3-16ab^2=(12a^2-16ab^2 )+(3ab-4b^3 )=4a(3a-4b^2)+$$ $$+b(3a-4b^2)=(3a-4b^2 )(4a+b).$$

Алгоритм Видiлення повного квадрата з тричлена

Вирази вигляду $$Ax^{2n}+Bx^n y^m+Cy^{2m}$$, що не є квадратами двочлена, можна розкласти на множники виділивши повний квадрат з тричлена.

Для цього потрібно:

а) записати один з доданків у вигляді квадрату деякого виразу $$X$$;

б) записати другий доданок у вигляді $$2XY$$, звідки знайти вираз $$Y$$;

в) додати та відняти одночасно квадрат виразу $$Y$$;

г) застосувати формулу квадрату суми чи різниці. Приклад

Розкласти на множники тричлен $$16x^6+40x^3 y-11y^2$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.а) Представляємо перший доданок у вигляді квадрату деякого виразу $$X$$: $$ 16x^6=$$ $$=(4x^3 )^2,$$ тоді $$X=4x^3.$$б) Шукаємо вираз $$Y$$ з другого доданку, представивши його у вигляді $$2XY$$: $$40x^3 y=2\cdot(4x^3 )\cdot(5y),$$ тоді $$Y=5y$$.в-г) Додаємо та віднімаємо $$Y^2=(5y)^2=25y^2,$$ після чого групуємо доданки, щоб утворити повний квадрат та скористатись формулою різниці квадратів:$$16x^6 + 40x^3 y - 11y^2 + 25y^2 - 25y^2 = (16x^6 + 40x^3 y + 25y^2) - 11y^2 - 25y^2 = $$ $$ = (4x^3 + 5y)^2 - 36y^2 = (4x^3 + 5y - 6y)(4x^3 + 5y + 6y) = (4x^3 - y)(4x^3 + 11y).$$Вiдповiдь. $$(4x^3-y)(4x^3+11y).$$

  1. Розкладання на множники квадратного тричлена. Кожний квадратний тричлен $$ax^2+bx+c$$ може бути розкладений на множники першого степеня наступним чином:

    $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),$$

    де $$x_{1,2}$$ – корені квадратного тричлена (корені рівняння $$ax^2+bx+c=0$$).

    Вони визначаються за формулами

    $$x_{1,2} = - \dfrac{b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$

Приклад

Розкласти многочлен $$3x^2-12x-15$$ на множники.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Знайдемо корені рівняння $$3x^2-12x-15=0:$$$$x_{1,2} = - \dfrac{-12 \pm \sqrt{(-12)^2 -4\cdot3\cdot(-15)}}{2\cdot 3} = \dfrac{12 \mp \sqrt{324}}{6} = \dfrac{12 \mp 18}{6} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = -1; \\ x_2 = 5. \end{cases}.$$Отже, скориставшись формулою розкладу маємо: $$3x^2-12x-15=3(x+1)(x-5)$$.Вiдповiдь. $$3(x+1)(x-5).$$

Винесіть спільний множник за дужки: $$2\cdot a^2\cdot b + 6\cdot a\cdot b^2 + 4\cdot a\cdot b\cdot x$$ $$6ab(\dfrac{a}{3}+b+x)$$ $$a^2 \cdot b(2+3a \cdot b + 4x)$$ $$2ab(a+3b+2x)$$

PreviousФормули скороченого множенняNextБiном Ньютона

Last updated 6 years ago

Was this helpful?