> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://math.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://math.ed-era.com/stepin_z_tsilim_pokaznikom/di_nad_mnogochlenami.md).

# Дiї над многочленами

**Додавання/віднімання**. Потрібно розкрити дужки та звести подібні доданки. Якщо перед дужками стоїть знак «+», то знаки дужок лишаються незмінними; якщо «-», то знаки всередині дужок слід замінити на протилежні.

Наприклад: $$(4x^2 y + xy) + (x - 6 - xy) = 4x^2 y + xy + x - 6 - xy = 4x^2 y + x - 6.$$\
$$(4x^2 y + xy) - (x - 6 - xy) = 4x^2 y + xy - x + 6 + xy = 4x^2 y + 2xy + x + 6.$$

**Множення одночлена на многочлен**. Потрiбно одночлен помножити на кожний доданок многочлена i додати отриманi добутки.

Наприклад: $$(4x^2 y - xy)\cdot(-3y^3)=4x^2 y\cdot(-3y^3) + (-xy)\cdot(-3y^3 ) = -12x^2 y^4 + 3xy^4.$$

**Множення многочлена на многочлен**. Потрiбно кожен доданок одного многочлена помножити на кожен доданок другого многочлена i додати отриманi добутки.

Наприклад: $$(4x^2 y-xy)\cdot(x-6-xy)=4x^2 y\cdot x+(-xy)\cdot x+4x^2 y\cdot(-6)+(-xy)\cdot$$\
$$\cdot(-6)+4x^2 y\cdot(-xy)+(-xy)\cdot(-xy)=4x^3 y-x^2 y-24x^2 y+6xy-4x^3 y^2+x^2 y^2=$$\
$$=-4x^3 y^2+4x^3 y+x^2 y^2-25x^2 y+6xy.$$

**Ділення многочлена на одночлен.** Потрібно кожен доданок многочлена поділити на одночлен і додати отримані частки.

Наприклад: $$(4x^5y-2x^3y^3+8xy^2+6xy):(2xy) = (4x^5y):(2xy) - (2x^3y^3):(2xy)+$$\
$$+ (8xy^2):(2xy) + (6xy):(2xy) = 2x^4 - x^2y^2 + 4y + 3.$$

**Ділення многочлена на многочлен**. Потрібно виконати ділення за правилом кута:

1\. Привести многочлени до стандартного вигляду.

2\. Поділити старший додаток діленого на старший додаток дільника.

3\. Записати отриманий одночлен як доданок у результат.

4\. Помножити дільник на отриманий одночлен та відняти цей добуток від діленого.

5\. Повторювати кроки $$1-4$$ доки не залишиться в остачі нуль або степінь остачі не стане меншим від степеня дільника.

Наприклад: $$3x^5+7x^4-8x^3-13x^2+4x-2$$ на многочлен $$x^2 - 2$$:

 .td {border-color:transparent !important;border-collapse:collapse;border-spacing:0;border-width: none !important;background-color: transparent !important;} tr {border-color:transparent;border-width:0px !important; background-color: transparent !important;} .td td{font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;font-weight:normal;padding:10px 5px;border-color:transparent !important;border-style:solid;border-width:0px !important;overflow:hidden;word-break:normal;} .td .td-s6z2{text-align:center} 

|   | $$3x^5$$ | $$+$$ | $$7x^4$$ | $$-$$ | $$8x^3$$  | $$-$$ | $$13x^2$$ | $$+$$ | $$4x$$ | $$-$$ | $$2$$ | $$x$$    | $$-$$ | $$2$$    |       |          |
| - | -------- | ----- | -------- | ----- | --------- | ----- | --------- | ----- | ------ | ----- | ----- | -------- | ----- | -------- | ----- | -------- |
|   | $$3x^5$$ | $$+$$ | $$0x^4$$ | $$-$$ | $$6x^3$$  |       |           |       |        |       |       | $$3x^4$$ | $$+$$ | $$7x^3$$ | $$-$$ | $$2x^2$$ |
|   |          |       | $$7x^4$$ | $$-$$ | $$2x^3$$  | $$-$$ | $$13x^2$$ |       |        |       |       |          |       |          |       |          |
|   |          |       | $$7x^4$$ | $$+$$ | $$0x^3$$  | $$-$$ | $$14x^2$$ |       |        |       |       |          |       |          |       |          |
|   |          |       |          |       | $$-2x^3$$ | $$+$$ | $$x^2$$   | $$+$$ | $$4x$$ |       |       |          |       |          |       |          |
|   |          |       |          |       | $$-2x^3$$ | $$+$$ | $$0x^2$$  | $$+$$ | $$4x$$ |       |       |          |       |          |       |          |
|   |          |       |          |       |           |       | $$x^2$$   | $$+$$ | $$0x$$ | $$-$$ | $$2$$ |          |       |          |       |          |
|   |          |       |          |       |           |       | $$x^2$$   | $$+$$ | $$0x$$ | $$-$$ | $$2$$ |          |       |          |       |          |
|   |          |       |          |       |           |       |           |       |        |       | $$0$$ |          |       |          |       |          |

Знайдіть суму двох многочленів: $$(-3a^2b + 4ab + a) - (-3a^2b + 18ab + a - 5b)$$ $$2a + b$$ $$-14ab + 2a + 5b$$ $$-14ab + 5b$$ $$2a + 5b + 6a^b$$ $$6a^2b + 5b$$

$$(-3a^2b + 4ab + a) -$$$$ (-3a^2b +18ab + a - 5b) =$$$$ -3a^2b + 4ab + a +$$$$ 3a^2b - 18ab - a +$$$$ 5b = -14ab + 5b$$

Знайдіть добуток двох многочленів: $$(xy^2 - x + y)\cdot(x^2y + 2x - 5y)$$ $$x^3y^3-5xy^3-x^3y-2x^2-5y^2$$ $$x^3y^3+3x^2y^2+7xy-5xy^3-x^3y-2x^2-5y^2$$ $$x^3y^3+3x^2y^2+7xy-5xy^3-x^3y-2x^2$$ $$5x^3y^3+3x^2y^2-7xy-5xy^3-x^3y-2x^2-5y^2$$ $$x^3y^3+3x^2y^2+7xy-5xy^3+x^3y-2x^2+y^2$$

$$(xy^2 - x + y)\cdot(x^2y + 2x - 5y) = xy^2\cdot x^2y + xy^2\cdot2x + xy^2\cdot(-5y) - x\cdot x^2y - x\cdot2x -$$

$$- x\cdot(-5y) + y\cdot x^2y + y\cdot2x + y\cdot(-5y) = x^3y^3 + 2x^2y^2 - 5xy^3 - x^3y - 2x^2 + 5xy +$$

$$+ x^2y^2+ 2xy - 5y^2 = x^3y^3 + 3x^2y^2 + 7xy - 5xy^3 - x^3y - 2x^2 - 5y^2$$