# Дiї над многочленами

**Додавання/віднімання**. Потрібно розкрити дужки та звести подібні доданки. Якщо перед дужками стоїть знак «+», то знаки дужок лишаються незмінними; якщо «-», то знаки всередині дужок слід замінити на протилежні.

Наприклад: $$(4x^2 y + xy) + (x - 6 - xy) = 4x^2 y + xy + x - 6 - xy = 4x^2 y + x - 6.$$\
$$(4x^2 y + xy) - (x - 6 - xy) = 4x^2 y + xy - x + 6 + xy = 4x^2 y + 2xy + x + 6.$$

**Множення одночлена на многочлен**. Потрiбно одночлен помножити на кожний доданок многочлена i додати отриманi добутки.

Наприклад: $$(4x^2 y - xy)\cdot(-3y^3)=4x^2 y\cdot(-3y^3) + (-xy)\cdot(-3y^3 ) = -12x^2 y^4 + 3xy^4.$$

**Множення многочлена на многочлен**. Потрiбно кожен доданок одного многочлена помножити на кожен доданок другого многочлена i додати отриманi добутки.

Наприклад: $$(4x^2 y-xy)\cdot(x-6-xy)=4x^2 y\cdot x+(-xy)\cdot x+4x^2 y\cdot(-6)+(-xy)\cdot$$\
$$\cdot(-6)+4x^2 y\cdot(-xy)+(-xy)\cdot(-xy)=4x^3 y-x^2 y-24x^2 y+6xy-4x^3 y^2+x^2 y^2=$$\
$$=-4x^3 y^2+4x^3 y+x^2 y^2-25x^2 y+6xy.$$

**Ділення многочлена на одночлен.** Потрібно кожен доданок многочлена поділити на одночлен і додати отримані частки.

Наприклад: $$(4x^5y-2x^3y^3+8xy^2+6xy):(2xy) = (4x^5y):(2xy) - (2x^3y^3):(2xy)+$$\
$$+ (8xy^2):(2xy) + (6xy):(2xy) = 2x^4 - x^2y^2 + 4y + 3.$$

**Ділення многочлена на многочлен**. Потрібно виконати ділення за правилом кута:

1\. Привести многочлени до стандартного вигляду.

2\. Поділити старший додаток діленого на старший додаток дільника.

3\. Записати отриманий одночлен як доданок у результат.

4\. Помножити дільник на отриманий одночлен та відняти цей добуток від діленого.

5\. Повторювати кроки $$1-4$$ доки не залишиться в остачі нуль або степінь остачі не стане меншим від степеня дільника.

Наприклад: $$3x^5+7x^4-8x^3-13x^2+4x-2$$ на многочлен $$x^2 - 2$$:

 .td {border-color:transparent !important;border-collapse:collapse;border-spacing:0;border-width: none !important;background-color: transparent !important;} tr {border-color:transparent;border-width:0px !important; background-color: transparent !important;} .td td{font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;font-weight:normal;padding:10px 5px;border-color:transparent !important;border-style:solid;border-width:0px !important;overflow:hidden;word-break:normal;} .td .td-s6z2{text-align:center} 

|   | $$3x^5$$ | $$+$$ | $$7x^4$$ | $$-$$ | $$8x^3$$  | $$-$$ | $$13x^2$$ | $$+$$ | $$4x$$ | $$-$$ | $$2$$ | $$x$$    | $$-$$ | $$2$$    |       |          |
| - | -------- | ----- | -------- | ----- | --------- | ----- | --------- | ----- | ------ | ----- | ----- | -------- | ----- | -------- | ----- | -------- |
|   | $$3x^5$$ | $$+$$ | $$0x^4$$ | $$-$$ | $$6x^3$$  |       |           |       |        |       |       | $$3x^4$$ | $$+$$ | $$7x^3$$ | $$-$$ | $$2x^2$$ |
|   |          |       | $$7x^4$$ | $$-$$ | $$2x^3$$  | $$-$$ | $$13x^2$$ |       |        |       |       |          |       |          |       |          |
|   |          |       | $$7x^4$$ | $$+$$ | $$0x^3$$  | $$-$$ | $$14x^2$$ |       |        |       |       |          |       |          |       |          |
|   |          |       |          |       | $$-2x^3$$ | $$+$$ | $$x^2$$   | $$+$$ | $$4x$$ |       |       |          |       |          |       |          |
|   |          |       |          |       | $$-2x^3$$ | $$+$$ | $$0x^2$$  | $$+$$ | $$4x$$ |       |       |          |       |          |       |          |
|   |          |       |          |       |           |       | $$x^2$$   | $$+$$ | $$0x$$ | $$-$$ | $$2$$ |          |       |          |       |          |
|   |          |       |          |       |           |       | $$x^2$$   | $$+$$ | $$0x$$ | $$-$$ | $$2$$ |          |       |          |       |          |
|   |          |       |          |       |           |       |           |       |        |       | $$0$$ |          |       |          |       |          |

Знайдіть суму двох многочленів: $$(-3a^2b + 4ab + a) - (-3a^2b + 18ab + a - 5b)$$ $$2a + b$$ $$-14ab + 2a + 5b$$ $$-14ab + 5b$$ $$2a + 5b + 6a^b$$ $$6a^2b + 5b$$

$$(-3a^2b + 4ab + a) -$$$$ (-3a^2b +18ab + a - 5b) =$$$$ -3a^2b + 4ab + a +$$$$ 3a^2b - 18ab - a +$$$$ 5b = -14ab + 5b$$

Знайдіть добуток двох многочленів: $$(xy^2 - x + y)\cdot(x^2y + 2x - 5y)$$ $$x^3y^3-5xy^3-x^3y-2x^2-5y^2$$ $$x^3y^3+3x^2y^2+7xy-5xy^3-x^3y-2x^2-5y^2$$ $$x^3y^3+3x^2y^2+7xy-5xy^3-x^3y-2x^2$$ $$5x^3y^3+3x^2y^2-7xy-5xy^3-x^3y-2x^2-5y^2$$ $$x^3y^3+3x^2y^2+7xy-5xy^3+x^3y-2x^2+y^2$$

$$(xy^2 - x + y)\cdot(x^2y + 2x - 5y) = xy^2\cdot x^2y + xy^2\cdot2x + xy^2\cdot(-5y) - x\cdot x^2y - x\cdot2x -$$

$$- x\cdot(-5y) + y\cdot x^2y + y\cdot2x + y\cdot(-5y) = x^3y^3 + 2x^2y^2 - 5xy^3 - x^3y - 2x^2 + 5xy +$$

$$+ x^2y^2+ 2xy - 5y^2 = x^3y^3 + 3x^2y^2 + 7xy - 5xy^3 - x^3y - 2x^2 - 5y^2$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/stepin_z_tsilim_pokaznikom/di_nad_mnogochlenami.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.