Доповнюючi множники для основних типiв iррацiональностей у знаменнику (чисельнику)
Перший рядок – доповнюючий множник знаходимо шляхом доповнення до цілого степеня, а наступні три виводимо з формул скороченого множення.
Вираз
Доповнюючий множник
Результат множення
Чому саме такий вигляд доповнюючого множника?
$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $
$\sqrt[n]{a^{kn-m}} = a^{\frac{kn-m}{n}}, \\ k \gt \dfrac{m}{n}, k \in \mathbb{N} $
$a^k, \thinspace k \in \mathbb{N} $
Доповнення до цілого степеня
$\sqrt{a} + \sqrt{b} $
$\sqrt{a} - \sqrt{b}$
$a-b$
Формула різниці квадратів
$\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} $
$\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} $
$a+b$
Формула суми кубів
$\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} $
$\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} $
$a-b$
Формула різниці кубів
Приклад
Звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу: a) $\dfrac{25}{\sqrt[6]{x^2+x+1}}$; б) $\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{x}+1}$; в) $\dfrac{x}{\sqrt[3]{2x+5}+3}$.
Розв’язок
Вiдповiдь
Приховати
Розв’язок.
a) $\dfrac{25}{\sqrt[6]{x^2+x+1}}=\dfrac{25\cdot\sqrt[6]{(x^2+x+1)^5}}{\sqrt[6]{x^2+x+1}\cdot\sqrt[6]{(x^2+x+1)^5}}=\dfrac{25\cdot\sqrt[6]{(x^2+x+1)^5}}{x^2+x+1}$;
б) $\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}\cdot(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)\cdot(\sqrt{x}-1)}=\dfrac{\sqrt{x}\cdot(\sqrt{x}-1)}{x-1}$;
в) $\dfrac{x}{\sqrt[3]{2x+5}+3} = \dfrac{x}{\sqrt[3]{2x+5}+\sqrt[3]{27}}=
= \dfrac{x\cdot(\sqrt[3]{(2x+5)^2}-\sqrt[3]{27(2x+5)}+\sqrt[3]{27^2})}{(\sqrt[3]{2x+5}+\sqrt[3]{27})\cdot(\sqrt[3]{(2x+5)^2}-\sqrt[3]{27(2x+5)}+\sqrt[3]{27^2})} =$
$= \dfrac{x\cdot(\sqrt[3]{(2x+5)^2}-3\sqrt[3]{(2x+5)}+9)}{2x+5+27} = \dfrac{x\cdot(\sqrt[3]{(2x+5)^2}-3\sqrt[3]{(2x+5)}+9)}{2x+32}$.
Вiдповiдь. a) $\dfrac{25\cdot\sqrt[6]{(x^2+x+1)^5}}{x^2+x+1}$; б) $\dfrac{\sqrt{x}\cdot(\sqrt{x}-1)}{x-1}$; в) $\dfrac{x\cdot(\sqrt[3]{(2x+5)^2}-3\sqrt[3]{(2x+5)}+9)}{2x+32}$.
Copy link