> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://math.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://math.ed-era.com/drobovo-ratsionalni_virazi/rratsonaln_virazi/dopovnyuyuchi_mnozhniki_dlya_osnovnih_tipiv_irratsionalnostei_u_zna.md).

# Доповнюючi множники для основних типiв iррацiональностей у знаменнику (чисельнику)

Перший рядок – доповнюючий множник знаходимо шляхом доповнення до цілого степеня, а наступні три виводимо з формул скороченого множення.

| Вираз                                 | Доповнюючий множник                                                                     | Результат множення                    | Чому саме такий вигляд доповнюючого множника? |
| ------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------- | --------------------------------------------- |
| $$\sqrt\[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $$ | $$\sqrt\[n]{a^{kn-m}} = a^{\frac{kn-m}{n}}, \\\ k \gt \dfrac{m}{n}, k \in \mathbb{N} $$ | $$a^k, \thinspace k \in \mathbb{N} $$ | Доповнення до цілого степеня                  |
| $$\sqrt{a} + \sqrt{b} $$              | $$\sqrt{a} - \sqrt{b}$$                                                                 | $$a-b$$                               | Формула різниці квадратів                     |
| $$\sqrt\[3]{a} + \sqrt\[3]{b} $$      | $$\sqrt\[3]{a^2} - \sqrt\[3]{ab} + \sqrt\[3]{b^2} $$                                    | $$a+b$$                               | Формула суми кубів                            |
| $$\sqrt\[3]{a} - \sqrt\[3]{b} $$      | $$\sqrt\[3]{a^2} + \sqrt\[3]{ab} + \sqrt\[3]{b^2} $$                                    | $$a-b$$                               | Формула різниці кубів                         |

 Приклад

Звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу:\
a) $$\dfrac{25}{\sqrt\[6]{x^2+x+1}}$$; б) $$\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{x}+1}$$; в) $$\dfrac{x}{\sqrt\[3]{2x+5}+3}$$.

 

Розв’язок

 

Вiдповiдь

 

Приховати

**Розв’язок.**

a) $$\dfrac{25}{\sqrt\[6]{x^2+x+1}}=\dfrac{25\cdot\sqrt\[6]{(x^2+x+1)^5}}{\sqrt\[6]{x^2+x+1}\cdot\sqrt\[6]{(x^2+x+1)^5}}=\dfrac{25\cdot\sqrt\[6]{(x^2+x+1)^5}}{x^2+x+1}$$;

б) $$\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}\cdot(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)\cdot(\sqrt{x}-1)}=\dfrac{\sqrt{x}\cdot(\sqrt{x}-1)}{x-1}$$;

в) $$\dfrac{x}{\sqrt\[3]{2x+5}+3} = \dfrac{x}{\sqrt\[3]{2x+5}+\sqrt\[3]{27}}=

\= \dfrac{x\cdot(\sqrt\[3]{(2x+5)^2}-\sqrt\[3]{27(2x+5)}+\sqrt\[3]{27^2})}{(\sqrt\[3]{2x+5}+\sqrt\[3]{27})\cdot(\sqrt\[3]{(2x+5)^2}-\sqrt\[3]{27(2x+5)}+\sqrt\[3]{27^2})} =$$

$$= \dfrac{x\cdot(\sqrt\[3]{(2x+5)^2}-3\sqrt\[3]{(2x+5)}+9)}{2x+5+27} = \dfrac{x\cdot(\sqrt\[3]{(2x+5)^2}-3\sqrt\[3]{(2x+5)}+9)}{2x+32}$$.

**Вiдповiдь.**\
a) $$\dfrac{25\cdot\sqrt\[6]{(x^2+x+1)^5}}{x^2+x+1}$$; б) $$\dfrac{\sqrt{x}\cdot(\sqrt{x}-1)}{x-1}$$; в) $$\dfrac{x\cdot(\sqrt\[3]{(2x+5)^2}-3\sqrt\[3]{(2x+5)}+9)}{2x+32}$$.