> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://math.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://math.ed-era.com/drobovo-ratsionalni_virazi/rratsonaln_virazi/dopovnyuyuchii_mnozhnik.md).

# Доповнюючий множник

Нехай $$a(x)$$ — деякий ірраціональний вираз відносно змінної $$x$$. Алгебраїчний вираз $$\bar a(x)$$, що тотожно не рівний нулеві, називають **доповнюючим множником**, якщо вираз $$a(x)\cdot\bar a(x)$$ є раціональним.

Наприклад: для виразу $$(\sqrt{2}-1)$$ доповнюючим множником є вираз $$(\sqrt{2}+1)$$, бо їхній добуток $$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$$ є раціональним виразом. Доповнюючих множників для даного виразу $$a(x)$$ може бути незліченна кількість.

Вкажіть доповнюючий множник для виразу: $$\sqrt{2} - 3$$ $$3-\sqrt{2}$$ $$3 + \sqrt{2}$$ $$\sqrt{3} + 2$$ $$\sqrt{3} + 2$$ Вираз $$3 + \sqrt{2}$$ є доповнюючим множником, бо добуток $$(\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} + 3) = 2 -3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 9 = -7$$ є раціональним виразом.

Вкажіть доповнюючий множник для виразу $$\sqrt\[5]{x+3}$$ $$\sqrt\[5]{(x+3)^4}$$ $$\sqrt\[5]{(x+3)^{11}}$$ $$\sqrt\[5]{(x+3)^5}$$ $$\sqrt\[5]{(x^2+3)^2}$$ Вираз $$\sqrt\[5]{(x+3)^4}$$ є доповнюючим множником, бо добуток $$\sqrt\[5]{x+3}\cdot \sqrt\[5]{(x+3)^4}= x+3$$ є раціональним виразом.