Математика: арифметика, рівняння та нерівності
  • Зміст
  • Вступне слово
  • Арифметика
    • Прості та складені числа
    • Ознаки подiльностi натуральних чисел
    • Дроби та дiї над ними
    • Модуль числа
  • Пропорції та відсотки
    • Відсотки
    • Розв’язання задач на спiльну виконану роботу (задачi на продуктивнiсть)
  • Одночлени та многочлени
    • Одночлен
    • Многочлен
    • Дiї над многочленами
    • Формули скороченого множення
    • Розкладання многочлена на множники
    • Бiном Ньютона
  • Корiнь та його властивостi
    • Квадратний корiнь та його основнi властивостi
    • Корінь n-го степеня та його основні властивості
    • Ірраціональні вирази
      • Доповнюючий множник
      • Звiльнення вiд iррацiональностi у знаменнику (чисельнику) iррацiонального дробу
      • Доповнюючi множники для основних типiв iррацiональностей у знаменнику (чисельнику)
    • Додаток
  • Показниковi та логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифм
    • Логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифмування та потенцiювання
  • Системи алгебраїчних рiвнянь
    • Метод підстановки
    • Метод алгебраїчного додавання
    • Метод заміни змінної
  • Лiнiйнi та квадратнi рiвняння
    • Лiнiйнi рiвняння
    • Квадратнi рiвняння
      • Неповні квадратні рівняння
      • Повне квадратне рівняння та дискримiнант
      • Факторизація квадратного рівняння (розкладання на множники)
      • Теорема Вiєта
    • Бiквадратнi рiвняння, та рівняння, що зводяться до квадратних
  • Iншi види цiлих рiвнянь
    • Цiлi рацiональнi рiвняння вищих степенів
      • Метод підбору коренів
      • Метод заміни змінної
    • Рiвняння з модулями
      • Метод інтервалів
    • Рівняння з параметрами
      • Лінійне рiвняння з параметрами
      • Квадратне рівняння з параметрами
  • Цілі нерівності
    • Основні властивості
    • Лiнiйнi нерiвностi
    • Система та сукупність нерівностей
    • Нерiвностi з модулями
  • Метод інтервалів
    • Метод інтервалів
    • Дробово-рацiональнi нерiвності
    • Нерiвностi з параметрами
  • Дробово-раціональні рівняння
    • Дробово-раціональне рівняння
    • Раціональні рівняння з параметрами
  • Ірраціональні рівняння
    • Корабель на горизонтi
    • Iррацiональнi рiвняння з квадратним коренем
    • Корабль поза горизонтом
  • Ірраціональні нерівності
    • Метод відокремлення кореня
    • Методологiя розв’язання в залежностi вiд парності/непарностi степеня кореня
    • Метод iнтервалiв для iррацiональних нерiвностей
    • Нерiвностi з параметрами
  • Показникові рівняння
    • Вік Землі та скам’янілостей
    • Показникові рівняння
    • Показникові нерівності
    • Степенево-показникові рівняння
    • Зведення до однiєї основи
      • Показникові рівняння
    • Винесення множника
    • Рiвняння особливих видiв
    • Використання властивостей функцiй (монотонностi)
    • Показниково - степеневi рiвняння
    • Рiвняння з параметрами
    • Системи рівнянь
  • Показникові нерівності
    • Властивостi показникової функцiї та класифікація типiв задач
    • Методи розв’язання окремих типiв задач
    • Степенево - показниковi нерiвностi
  • Логарифмічні рівняння
    • Логарифмiчнi рiвняння
    • Логарифмування та потенцiювання
    • Використання логарифмiчних тотожностей для розв’язання окремих типiв задач
    • Системи рівнянь
  • Логарифмічні нерівності
    • Використання властивостей логарифмiв для розв’язання рiзних типiв задач
    • Замiна змiнної в логарифмiчних нерiвностях
    • Показниково-логарифмiчнi нерiвностi
    • Нерiвностi з параметрами
Powered by GitBook
On this page

Was this helpful?

  1. Корiнь та його властивостi

Додаток

В ірраціональних виразах вигляду $$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}$$ можна позбавитись від зовнішнього знака кореня (перетворити на вираз вигляду $$\sqrt{d} \pm \sqrt{e}$$ за умови, що вираз $$A^2-B$$ є повним квадратом іншого виразу.

Якщо у виразі перед внутрішнім коренем стоїть коефіцієнт, його необхідно внести під знак кореня для приведення до стандартного вигляду $$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}$$. Таким чином робиться перетворення $$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{d} \pm \sqrt{e}$$.

AAA та BBB відомі, тому вони позначені великими літерами, ddd та eee – відповідно змінні (або невідомі).

Далі дається виведення формули для обчислення $$d$$ та $$e$$ через $$A$$ та $$B$$. Вони є громіздкими, тому запам'ятовувати їх не потрібно, достатньо пам'ятати алгоритм виведення. Для подальших дій знадобиться знання, як розв'язувати квадратні рівняння та вирішувати прості системи рівнянь. Алгоритм 1. Піднести обидві частини виразу $$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{d} \pm \sqrt{e}$$ до квадрата. 2. Скласти систему рівнянь, прирівнявши раціональні доданки та доданки з коренем. 3. Розв’язати систему рівнянь відносно змінних $$d$$ та $$e$$.

Отже, піднесемо обидві частини виразу до квадрата:

$$\left(\sqrt{A\pm\sqrt{B}}\right)^2=(\sqrt{d} \pm \sqrt{e})^2;$$

$$A\pm\sqrt{B}=d\pm2\sqrt{de}+e.$$

Прирівняємо раціональні доданки та доданки з коренем, склавши систему рівнянь:

$$\begin{cases} A=d+e;\\ \sqrt{B}=2\sqrt{de}. \end{cases}$$

Алгоритм Pішення системи рівнянь 1. Піднести обидві частини другого рівняння (з коренями) до квадрата. 2. З першого рівняння (з раціональними доданками) виразити $$d$$ (або $$e$$) та підставити у друге рівняння. 3. Привести друге рівняння, отримане у п.$$2$$, до стандартного вигляду для квадратного рівняння. 4. Знайти корені квадратного рівняння – змінну $$e$$ (або $$d$$). 5. Виразити $$d$$ (або $$e$$) через знайдені корені та рівняння з раціональними доданками.

З першого рівняння системи виразимо $$d$$:

$$d=A-e$$

Піднесемо обидві частини другого рівняння системи до квадрата:

$$(\sqrt B)^2=(2\sqrt{de})^2;$$

$$B=4de.$$

Підставимо в отримане рівняння $$d$$, яке виразили раніше:

$$B=4(A-e)e.$$

Розкриємо дужки, поділимо всі доданки на $$-4$$ та перенесемо їх у ліву сторону. Отримане рівняння є квадратним відносно $$e$$:

$$e^2-Ae+\dfrac{B}{4}=0.$$

Корені квадратного рівняння $$ax^2+bx+c=0$$ знаходимо за формулами: $$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Отже, з квадратного рівняння знаходимо $$e$$:

$$e_{1,2}=\dfrac{A\pm\sqrt{A^2-B}}{2}.$$

Скориставшись виразом $$d=A-e$$, знаходимо $$d$$:

$$d_{1,2}=A-\dfrac{A\pm\sqrt{A^2-B}}{2}=\dfrac{A\mp\sqrt{A^2-B}}{2}.$$

Помічаємо, що $$d_1=e_2, d_2=e_1$$, отже, можемо обрати довільну пару. Нехай $$d$$ буде зі знаком «$$+$$», а $$e$$ буде зі знаком «$$-$$».

Остаточно:

$$d=\dfrac{A+\sqrt{A^2-B}}{2};$$

$$e=\dfrac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}.$$

Тепер стає очевидним, для чого висувається умова, щоб вираз $$A^2-B^2$$ був повним квадратом, бо інакше ніякого спрощення не відбудеться.

Використовуючи виведені формули, можна перетворити вираз $$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{d} \pm \sqrt{e}$$.

$$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\dfrac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}\pm\sqrt{\dfrac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}.$$

PreviousДоповнюючi множники для основних типiв iррацiональностей у знаменнику (чисельнику)NextПоказниковi та логарифмiчнi тотожностi

Last updated 6 years ago

Was this helpful?