# Додаток

В ірраціональних виразах вигляду $$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}$$ можна позбавитись від зовнішнього знака кореня (перетворити на вираз вигляду $$\sqrt{d} \pm \sqrt{e}$$ за умови, що вираз $$A^2-B$$ є повним квадратом іншого виразу.

Якщо у виразі перед внутрішнім коренем стоїть коефіцієнт, його необхідно внести під знак кореня для приведення до стандартного вигляду $$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}$$. Таким чином робиться перетворення $$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{d} \pm \sqrt{e}$$.

$$A$$ та $$B$$ відомі, тому вони позначені великими літерами, $$d$$ та $$e$$ – відповідно змінні (або невідомі).

Далі дається виведення формули для обчислення $$d$$ та $$e$$ через $$A$$ та $$B$$. Вони є громіздкими, тому запам'ятовувати їх не потрібно, достатньо пам'ятати алгоритм виведення. Для подальших дій знадобиться знання, як розв'язувати квадратні рівняння та вирішувати прості системи рівнянь. Алгоритм 1. Піднести обидві частини виразу $$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{d} \pm \sqrt{e}$$ до квадрата.\
 2\. Скласти систему рівнянь, прирівнявши раціональні доданки та доданки з коренем.\
 3\. Розв’язати систему рівнянь відносно змінних $$d$$ та $$e$$.

Отже, піднесемо обидві частини виразу до квадрата:

$$\left(\sqrt{A\pm\sqrt{B}}\right)^2=(\sqrt{d} \pm \sqrt{e})^2;$$

$$A\pm\sqrt{B}=d\pm2\sqrt{de}+e.$$

Прирівняємо раціональні доданки та доданки з коренем, склавши систему рівнянь:

$$\begin{cases} A=d+e;\\\ \sqrt{B}=2\sqrt{de}. \end{cases}$$

 Алгоритм **Pішення системи рівнянь** 1. Піднести обидві частини другого рівняння (з коренями) до квадрата.\
 2\. З першого рівняння (з раціональними доданками) виразити $$d$$ (або $$e$$) та підставити у друге рівняння.\
 3\. Привести друге рівняння, отримане у п.$$2$$, до стандартного вигляду для квадратного рівняння.\
 4\. Знайти корені квадратного рівняння – змінну $$e$$ (або $$d$$).\
 5\. Виразити $$d$$ (або $$e$$) через знайдені корені та рівняння з раціональними доданками.

З першого рівняння системи виразимо $$d$$:

$$d=A-e$$

Піднесемо обидві частини другого рівняння системи до квадрата:

$$(\sqrt B)^2=(2\sqrt{de})^2;$$

$$B=4de.$$

Підставимо в отримане рівняння $$d$$, яке виразили раніше:

$$B=4(A-e)e.$$

Розкриємо дужки, поділимо всі доданки на $$-4$$ та перенесемо їх у ліву сторону. Отримане рівняння є квадратним відносно $$e$$:

$$e^2-Ae+\dfrac{B}{4}=0.$$

Корені квадратного рівняння $$ax^2+bx+c=0$$ знаходимо за формулами: $$x\_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Отже, з квадратного рівняння знаходимо $$e$$:

$$e\_{1,2}=\dfrac{A\pm\sqrt{A^2-B}}{2}.$$

Скориставшись виразом $$d=A-e$$, знаходимо $$d$$:

$$d\_{1,2}=A-\dfrac{A\pm\sqrt{A^2-B}}{2}=\dfrac{A\mp\sqrt{A^2-B}}{2}.$$

Помічаємо, що $$d\_1=e\_2, d\_2=e\_1$$, отже, можемо обрати довільну пару. Нехай $$d$$ буде зі знаком «$$+$$», а $$e$$ буде зі знаком «$$-$$».

Остаточно:

$$d=\dfrac{A+\sqrt{A^2-B}}{2};$$

$$e=\dfrac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}.$$

Тепер стає очевидним, для чого висувається умова, щоб вираз $$A^2-B^2$$ був повним квадратом, бо інакше ніякого спрощення не відбудеться.

Використовуючи виведені формули, можна перетворити вираз $$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{d} \pm \sqrt{e}$$.

$$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\dfrac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}\pm\sqrt{\dfrac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}.$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/drobovo-ratsionalni_virazi/dodatok.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.