Додаток
В ірраціональних виразах вигляду $\sqrt{A\pm\sqrt{B}}$ можна позбавитись від зовнішнього знака кореня (перетворити на вираз вигляду $\sqrt{d} \pm \sqrt{e}$ за умови, що вираз $A^2-B$ є повним квадратом іншого виразу.
Якщо у виразі перед внутрішнім коренем стоїть коефіцієнт, його необхідно внести під знак кореня для приведення до стандартного вигляду $\sqrt{A\pm\sqrt{B}}$. Таким чином робиться перетворення $\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{d} \pm \sqrt{e}$.
та
відомі, тому вони позначені великими літерами,
та
– відповідно змінні (або невідомі).
Далі дається виведення формули для обчислення $d$ та $e$ через $A$ та $B$. Вони є громіздкими, тому запам'ятовувати їх не потрібно, достатньо пам'ятати алгоритм виведення. Для подальших дій знадобиться знання, як розв'язувати квадратні рівняння та вирішувати прості системи рівнянь. Алгоритм 1. Піднести обидві частини виразу $\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{d} \pm \sqrt{e}$ до квадрата.
2. Скласти систему рівнянь, прирівнявши раціональні доданки та доданки з коренем.
3. Розв’язати систему рівнянь відносно змінних $d$ та $e$.
Отже, піднесемо обидві частини виразу до квадрата:
$\left(\sqrt{A\pm\sqrt{B}}\right)^2=(\sqrt{d} \pm \sqrt{e})^2;$
$A\pm\sqrt{B}=d\pm2\sqrt{de}+e.$
Прирівняємо раціональні доданки та доданки з коренем, склавши систему рівнянь:
$\begin{cases} A=d+e;\\ \sqrt{B}=2\sqrt{de}. \end{cases}$
Алгоритм Pішення системи рівнянь 1. Піднести обидві частини другого рівняння (з коренями) до квадрата.
2. З першого рівняння (з раціональними доданками) виразити $d$ (або $e$) та підставити у друге рівняння.
3. Привести друге рівняння, отримане у п.$2$, до стандартного вигляду для квадратного рівняння.
4. Знайти корені квадратного рівняння – змінну $e$ (або $d$).
5. Виразити $d$ (або $e$) через знайдені корені та рівняння з раціональними доданками.
З першого рівняння системи виразимо $d$:
$d=A-e$
Піднесемо обидві частини другого рівняння системи до квадрата:
$(\sqrt B)^2=(2\sqrt{de})^2;$
$B=4de.$
Підставимо в отримане рівняння $d$, яке виразили раніше:
$B=4(A-e)e.$
Розкриємо дужки, поділимо всі доданки на $-4$ та перенесемо їх у ліву сторону. Отримане рівняння є квадратним відносно $e$:
$e^2-Ae+\dfrac{B}{4}=0.$
Корені квадратного рівняння $ax^2+bx+c=0$ знаходимо за формулами: $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$
Отже, з квадратного рівняння знаходимо $e$:
$e_{1,2}=\dfrac{A\pm\sqrt{A^2-B}}{2}.$
Скориставшись виразом $d=A-e$, знаходимо $d$:
$d_{1,2}=A-\dfrac{A\pm\sqrt{A^2-B}}{2}=\dfrac{A\mp\sqrt{A^2-B}}{2}.$
Помічаємо, що $d_1=e_2, d_2=e_1$, отже, можемо обрати довільну пару. Нехай $d$ буде зі знаком «$+$», а $e$ буде зі знаком «$-$».
Остаточно:
$d=\dfrac{A+\sqrt{A^2-B}}{2};$
$e=\dfrac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}.$
Тепер стає очевидним, для чого висувається умова, щоб вираз $A^2-B^2$ був повним квадратом, бо інакше ніякого спрощення не відбудеться.
Використовуючи виведені формули, можна перетворити вираз $\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{d} \pm \sqrt{e}$.
$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\dfrac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}\pm\sqrt{\dfrac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}.$
Copy link