Додаток

В ірраціональних виразах вигляду $$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}$$ можна позбавитись від зовнішнього знака кореня (перетворити на вираз вигляду $$\sqrt{d} \pm \sqrt{e}$$ за умови, що вираз $$A^2-B$$ є повним квадратом іншого виразу.

Якщо у виразі перед внутрішнім коренем стоїть коефіцієнт, його необхідно внести під знак кореня для приведення до стандартного вигляду $$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}$$. Таким чином робиться перетворення $$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{d} \pm \sqrt{e}$$.

​$A$ та $B$ відомі, тому вони позначені великими літерами, $d$ та $e$ – відповідно змінні (або невідомі).

Далі дається виведення формули для обчислення $$d$$ та $$e$$ через $$A$$ та $$B$$. Вони є громіздкими, тому запам'ятовувати їх не потрібно, достатньо пам'ятати алгоритм виведення. Для подальших дій знадобиться знання, як розв'язувати квадратні рівняння та вирішувати прості системи рівнянь. Алгоритм 1. Піднести обидві частини виразу $$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{d} \pm \sqrt{e}$$ до квадрата. 2. Скласти систему рівнянь, прирівнявши раціональні доданки та доданки з коренем. 3. Розв’язати систему рівнянь відносно змінних $$d$$ та $$e$$.

Отже, піднесемо обидві частини виразу до квадрата:

$$\left(\sqrt{A\pm\sqrt{B}}\right)^2=(\sqrt{d} \pm \sqrt{e})^2;$$

$$A\pm\sqrt{B}=d\pm2\sqrt{de}+e.$$

Прирівняємо раціональні доданки та доданки з коренем, склавши систему рівнянь:

$$\begin{cases} A=d+e;\\ \sqrt{B}=2\sqrt{de}. \end{cases}$$

Алгоритм Pішення системи рівнянь 1. Піднести обидві частини другого рівняння (з коренями) до квадрата. 2. З першого рівняння (з раціональними доданками) виразити $$d$$ (або $$e$$) та підставити у друге рівняння. 3. Привести друге рівняння, отримане у п.$$2$$, до стандартного вигляду для квадратного рівняння. 4. Знайти корені квадратного рівняння – змінну $$e$$ (або $$d$$). 5. Виразити $$d$$ (або $$e$$) через знайдені корені та рівняння з раціональними доданками.

З першого рівняння системи виразимо $$d$$:

$$d=A-e$$

Піднесемо обидві частини другого рівняння системи до квадрата:

$$(\sqrt B)^2=(2\sqrt{de})^2;$$

$$B=4de.$$

Підставимо в отримане рівняння $$d$$, яке виразили раніше:

$$B=4(A-e)e.$$

Розкриємо дужки, поділимо всі доданки на $$-4$$ та перенесемо їх у ліву сторону. Отримане рівняння є квадратним відносно $$e$$:

$$e^2-Ae+\dfrac{B}{4}=0.$$

Корені квадратного рівняння $$ax^2+bx+c=0$$ знаходимо за формулами: $$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Отже, з квадратного рівняння знаходимо $$e$$:

$$e_{1,2}=\dfrac{A\pm\sqrt{A^2-B}}{2}.$$

Скориставшись виразом $$d=A-e$$, знаходимо $$d$$:

$$d_{1,2}=A-\dfrac{A\pm\sqrt{A^2-B}}{2}=\dfrac{A\mp\sqrt{A^2-B}}{2}.$$

Помічаємо, що $$d_1=e_2, d_2=e_1$$, отже, можемо обрати довільну пару. Нехай $$d$$ буде зі знаком «$$+$$», а $$e$$ буде зі знаком «$$-$$».

Остаточно:

$$d=\dfrac{A+\sqrt{A^2-B}}{2};$$

$$e=\dfrac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}.$$

Тепер стає очевидним, для чого висувається умова, щоб вираз $$A^2-B^2$$ був повним квадратом, бо інакше ніякого спрощення не відбудеться.

Використовуючи виведені формули, можна перетворити вираз $$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{d} \pm \sqrt{e}$$.

$$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\dfrac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}\pm\sqrt{\dfrac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}.$$