Корінь n-го степеня та його основні властивості
Визначення Коренем $n$-го степеня числа $a$ називають число $b$, таке, що $b^n=a$, $n \in \mathbb{N}.$
Наприклад: коренем четвертого степеня числа $16$ є числа $2$ та $-2$, тому що $(\pm 2)^4=16.$
Коренем другого степеня є квадратний корінь, третього – кубічний.
Зауважимо, що корені парних ступенів з $n=2k$ існують лише для додатних чисел. Кожне число має два корені: $(b)^{2n}=(-b)^{2n}=a.$
Корені непарних ступенів з $n=2k+1$ існують для будь-яких чисел (в тому числі від’ємних). Кожне числo має один корінь: $(b)^{2n+1}=a; (-b)^{2n+1}=-a.$
Наприклад: число $225$ має два квадратних корені: $\pm15$, бо $(\pm15)^2=225$; число $64$ має один кубічний корінь: $4$, бо $(4)^3=64$; а $-4$ є кубічним коренем $-64$: $(-4)^3=-64.$
Визначення Арифметичним коренем $n$-го степеня числа $a$ називають невід’ємне число, $n$-й степінь якого рівний невід’ємному числу $a$. Це число позначається $\sqrt[n]{a}$.
Наприклад: $\sqrt[4]{64}=2$
Пoзначення $\sqrt[n]{a}$ використовується для всіх арифметичних коренів, а також для неарифметичних (число a від’ємне) коренів непарного степеня.
Степенем додатного числа $a$ з раціональним показником $\dfrac{m}{n}$, $n \in \mathbb{N}, n\geq2,$ $m \in \mathbb{Z}$ називають корінь $n$-го степеня з числа $a^m$:
$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.$
Надалі будемо розгляди окремо корені парного степеня з $n=2k$, для яких $a\geq0$ (арифметичні корені) та непарного степеня з $n=2k+1$, для яких $a\in \mathbb{R}$ (і арифметичні, і неарифметичні корені).
$n = 2k$
$n = 2k+1$
Приклади
$1.$
$(\sqrt[n]{a})^n = a$
$(\sqrt[n]{a})^n = a$
$\sqrt[3]{27} = 3; \sqrt[4]{256} = 4$
$2.$
$(\sqrt[2k]{a})^{2k} = |a|$
$(\sqrt[2k+1]{a})^{2k+1} = a$
$\sqrt[4]{16} = 2; \sqrt[3]{-64} = -4$
$3.$
$\sqrt[2k]{-a}$ не існує!!!
$\sqrt[2k+1]{-a} = -\sqrt[2k+1]{a}$
$\sqrt[3]{-64} = -\sqrt[3]{64} = -4$
$4.$
$(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$
$(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$
$(\sqrt[3]{4}) = \sqrt[3]{256}$
$5.$
$\sqrt[2k]{ab} = \sqrt[2k]{|a|} \cdot \sqrt[2k]{|b|}$
$\sqrt[2k+1]{ab} = \sqrt[2k+1]{a} \cdot \sqrt[2k+1]{b} $
$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{27}$
$6.$
$a\sqrt[2k]{b} = \begin{cases} \sqrt[2k]{a^{2k}b}, \thinspace & a \ge 0 \\ -\sqrt[2k]{a^{2k}b}, \thinspace & a \lt 0 \end{cases}$
$a\sqrt[2k+1]{b} = \sqrt[2k+1]{a^{2k+1}b} $
$\begin{aligned}2\sqrt[3]{3} & = \sqrt[3]{24} \\ -2\sqrt[4]{5} & = -\sqrt[4]{90}\end{aligned}$
$7.$
$\sqrt[2k]{a^{2k}b} = |a| \sqrt[2k]{b}$
$\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}b} = a \sqrt[2k+1]{b}$
$\sqrt[3]{54} = 3\sqrt[3]{2}$
$8.$
$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a} $
$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a} $
$\sqrt[3]{\sqrt[4]{10}} = \sqrt[12]{10}$
Також справедливі вирази: $\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}, a \geq0; \sqrt[n]{0}=0; \sqrt[n]{1}=1.$
Спростіть вираз: $\sqrt[4]{81}$ $-3$ $3$ $9$ $-9$
Спростіть вираз: $\sqrt[4]{-4}$ такий корінь невизначений $1$ $2$ $4$
Last modified 2yr ago
Copy link