Корінь n-го степеня та його основні властивості
Визначення Коренем $$n$$-го степеня числа $$a$$ називають число $$b$$, таке, що $$b^n=a$$, $$n \in \mathbb{N}.$$
Наприклад: коренем четвертого степеня числа $$16$$ є числа $$2$$ та $$-2$$, тому що $$(\pm 2)^4=16.$$
Коренем другого степеня є квадратний корінь, третього – кубічний.
Зауважимо, що корені парних ступенів з $$n=2k$$ існують лише для додатних чисел. Кожне число має два корені: $$(b)^{2n}=(-b)^{2n}=a.$$
Корені непарних ступенів з $$n=2k+1$$ існують для будь-яких чисел (в тому числі від’ємних). Кожне числo має один корінь: $$(b)^{2n+1}=a; (-b)^{2n+1}=-a.$$
Наприклад: число $$225$$ має два квадратних корені: $$\pm15$$, бо $$(\pm15)^2=225$$; число $$64$$ має один кубічний корінь: $$4$$, бо $$(4)^3=64$$; а $$-4$$ є кубічним коренем $$-64$$: $$(-4)^3=-64.$$
Визначення Арифметичним коренем $$n$$-го степеня числа $$a$$ називають невід’ємне число, $$n$$-й степінь якого рівний невід’є мному числу $$a$$. Це число позначається $$\sqrt[n]{a}$$.
Наприклад: $$\sqrt[4]{64}=2$$
Пoзначення $$\sqrt[n]{a}$$ використовується для всіх арифметичних коренів, а також для неарифметичних (число a від’ємне) коренів непарного степеня.
Степенем додатного числа $$a$$ з раціональним показником $$\dfrac{m}{n}$$, $$n \in \mathbb{N}, n\geq2,$$
$$m \in \mathbb{Z}$$ називають корінь $$n$$-го степеня з числа $$a^m$$:
$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.$$
Надалі будемо розгляди окремо корені парного степеня з $$n=2k$$, для яких $$a\geq0$$ (арифметичні корені) та непарного степеня з $$n=2k+1$$, для яких $$a\in \mathbb{R}$$ (і арифметичні, і неарифметичні корені).
| $$n = 2k$$ | $$n = 2k+1$$ | Приклади |
$$1.$$ | $$(\sqrt[n]{a})^n = a$$ | $$(\sqrt[n]{a})^n = a$$ | $$\sqrt[3]{27} = 3; \sqrt[4]{256} = 4$$ |
$$2.$$ | $$(\sqrt[2k]{a})^{2k} = |a|$$ | $$(\sqrt[2k+1]{a})^{2k+1} = a$$ | $$\sqrt[4]{16} = 2; \sqrt[3]{-64} = -4$$ |
$$3.$$ | $$\sqrt[2k]{-a}$$ не існує!!! | $$\sqrt[2k+1]{-a} = -\sqrt[2k+1]{a}$$ | $$\sqrt[3]{-64} = -\sqrt[3]{64} = -4$$ |
$$4.$$ | $$(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$$ | $$(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$$ | $$(\sqrt[3]{4}) = \sqrt[3]{256}$$ |
$$5.$$ | $$\sqrt[2k]{ab} = \sqrt[2k]{|a|} \cdot \sqrt[2k]{|b|}$$ | $$\sqrt[2k+1]{ab} = \sqrt[2k+1]{a} \cdot \sqrt[2k+1]{b} $$ | $$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{27}$$ |
$$6.$$ | $$a\sqrt[2k]{b} = \begin{cases} \sqrt[2k]{a^{2k}b}, \thinspace & a \ge 0 \\ -\sqrt[2k]{a^{2k}b}, \thinspace & a \lt 0 \end{cases}$$ | $$a\sqrt[2k+1]{b} = \sqrt[2k+1]{a^{2k+1}b} $$ | $$\begin{aligned}2\sqrt[3]{3} & = \sqrt[3]{24} \\ -2\sqrt[4]{5} & = -\sqrt[4]{90}\end{aligned}$$ |
$$7.$$ | $$\sqrt[2k]{a^{2k}b} = |a| \sqrt[2k]{b}$$ | $$\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}b} = a \sqrt[2k+1]{b}$$ | $$\sqrt[3]{54} = 3\sqrt[3]{2}$$ |
$$8.$$ | $$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a} $$ | $$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a} $$ | $$\sqrt[3]{\sqrt[4]{10}} = \sqrt[12]{10}$$ |
Також справедливі вирази: $$\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}, a \geq0; \sqrt[n]{0}=0; \sqrt[n]{1}=1.$$
Спростіть вираз: $$\sqrt[4]{81}$$ $$-3$$ $$3$$ $$9$$ $$-9$$
Спростіть вираз: $$\sqrt[4]{-4}$$ такий корінь невизначений $$1$$ $$2$$ $$4$$
Last modified 4yr ago