# Корінь n-го степеня та його основні властивості

 Визначення **Коренем $$n$$-го степеня числа $$a$$** називають число $$b$$, таке, що $$b^n=a$$, $$n \in \mathbb{N}.$$

Наприклад: коренем четвертого степеня числа $$16$$ є числа $$2$$ та $$-2$$, тому що $$(\pm 2)^4=16.$$

Коренем другого степеня є **квадратний корінь**, третього – **кубічний**.

Зауважимо, що **корені парних ступенів** з $$n=2k$$ існують лише для **додатних чисел**. Кожне число має **два корені**: $$(b)^{2n}=(-b)^{2n}=a.$$

**Корені непарних ступенів** з $$n=2k+1$$ існують для **будь-яких чисел** (в тому числі від’ємних). Кожне числo має **один корінь**: $$(b)^{2n+1}=a; (-b)^{2n+1}=-a.$$

Наприклад: число $$225$$ має два квадратних корені: $$\pm15$$, бо $$(\pm15)^2=225$$; число $$64$$ має один кубічний корінь: $$4$$, бо $$(4)^3=64$$; а $$-4$$ є кубічним коренем $$-64$$: $$(-4)^3=-64.$$

 Визначення **Арифметичним коренем $$n$$-го степеня числа $$a$$** називають невід’ємне число, $$n$$-й степінь якого рівний невід’ємному числу $$a$$. Це число позначається $$\sqrt\[n]{a}$$.

Наприклад: $$\sqrt\[4]{64}=2$$

Пoзначення $$\sqrt\[n]{a}$$ використовується для всіх арифметичних коренів, а також для неарифметичних (число a від’ємне) коренів непарного степеня.

Степенем додатного числа $$a$$ з **раціональним показником $$\dfrac{m}{n}$$**, $$n \in \mathbb{N}, n\geq2,$$\
 $$m \in \mathbb{Z}$$ називають корінь $$n$$-го степеня з числа $$a^m$$:

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt\[n]{a^m}.$$

Надалі будемо розгляди окремо корені парного степеня з $$n=2k$$, для яких $$a\geq0$$ (арифметичні корені) та непарного степеня з $$n=2k+1$$, для яких $$a\in \mathbb{R}$$ (і арифметичні, і неарифметичні корені).

|        | $$n = 2k$$                                                                                                                              | $$n = 2k+1$$                                                  | Приклади                                                                                              |
| ------ | --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| $$1.$$ | $$(\sqrt\[n]{a})^n = a$$                                                                                                                | $$(\sqrt\[n]{a})^n = a$$                                      | $$\sqrt\[3]{27} = 3; \sqrt\[4]{256} = 4$$                                                             |
| $$2.$$ | $$(\sqrt\[2k]{a})^{2k} = \|a\|$$                                                                                                        | $$(\sqrt\[2k+1]{a})^{2k+1} = a$$                              | $$\sqrt\[4]{16} = 2; \sqrt\[3]{-64} = -4$$                                                            |
| $$3.$$ | $$\sqrt\[2k]{-a}$$ **не існує!!!**                                                                                                      | $$\sqrt\[2k+1]{-a} = -\sqrt\[2k+1]{a}$$                       | $$\sqrt\[3]{-64} = -\sqrt\[3]{64} = -4$$                                                              |
| $$4.$$ | $$(\sqrt\[n]{a})^m = \sqrt\[n]{a^m}$$                                                                                                   | $$(\sqrt\[n]{a})^m = \sqrt\[n]{a^m}$$                         | $$(\sqrt\[3]{4}) = \sqrt\[3]{256}$$                                                                   |
| $$5.$$ | $$\sqrt\[2k]{ab} = \sqrt\[2k]{\|a\|} \cdot \sqrt\[2k]{\|b\|}$$                                                                          | $$\sqrt\[2k+1]{ab} = \sqrt\[2k+1]{a} \cdot \sqrt\[2k+1]{b} $$ | $$\sqrt\[3]{54} = \sqrt\[3]{2} \cdot \sqrt\[3]{27}$$                                                  |
| $$6.$$ | $$a\sqrt\[2k]{b} = \begin{cases} \sqrt\[2k]{a^{2k}b}, \thinspace & a \ge 0 \\\ -\sqrt\[2k]{a^{2k}b}, \thinspace & a \lt 0 \end{cases}$$ | $$a\sqrt\[2k+1]{b} = \sqrt\[2k+1]{a^{2k+1}b} $$               | $$\begin{aligned}2\sqrt\[3]{3} & = \sqrt\[3]{24} \\\ -2\sqrt\[4]{5} & = -\sqrt\[4]{90}\end{aligned}$$ |
| $$7.$$ | $$\sqrt\[2k]{a^{2k}b} = \|a\| \sqrt\[2k]{b}$$                                                                                           | $$\sqrt\[2k+1]{a^{2k+1}b} = a \sqrt\[2k+1]{b}$$               | $$\sqrt\[3]{54} = 3\sqrt\[3]{2}$$                                                                     |
| $$8.$$ | $$\sqrt\[n]{\sqrt\[k]{a}} = \sqrt\[nk]{a} $$                                                                                            | $$\sqrt\[n]{\sqrt\[k]{a}} = \sqrt\[nk]{a} $$                  | $$\sqrt\[3]{\sqrt\[4]{10}} = \sqrt\[12]{10}$$                                                         |

Також справедливі вирази: $$\sqrt\[nk]{a^{mk}}=\sqrt\[n]{a^m}, a \geq0; \sqrt\[n]{0}=0; \sqrt\[n]{1}=1.$$

Спростіть вираз: $$\sqrt\[4]{81}$$ $$-3$$ $$3$$ $$9$$ $$-9$$

Спростіть вираз: $$\sqrt\[4]{-4}$$ такий корінь невизначений $$1$$ $$2$$ $$4$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/drobovo-ratsionalni_virazi/korn_n-go_stepenya_ta_iogo_osnovn_vlastivost.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.