# Корінь n-го степеня та його основні властивості

 Визначення **Коренем $$n$$-го степеня числа $$a$$** називають число $$b$$, таке, що $$b^n=a$$, $$n \in \mathbb{N}.$$

Наприклад: коренем четвертого степеня числа $$16$$ є числа $$2$$ та $$-2$$, тому що $$(\pm 2)^4=16.$$

Коренем другого степеня є **квадратний корінь**, третього – **кубічний**.

Зауважимо, що **корені парних ступенів** з $$n=2k$$ існують лише для **додатних чисел**. Кожне число має **два корені**: $$(b)^{2n}=(-b)^{2n}=a.$$

**Корені непарних ступенів** з $$n=2k+1$$ існують для **будь-яких чисел** (в тому числі від’ємних). Кожне числo має **один корінь**: $$(b)^{2n+1}=a; (-b)^{2n+1}=-a.$$

Наприклад: число $$225$$ має два квадратних корені: $$\pm15$$, бо $$(\pm15)^2=225$$; число $$64$$ має один кубічний корінь: $$4$$, бо $$(4)^3=64$$; а $$-4$$ є кубічним коренем $$-64$$: $$(-4)^3=-64.$$

 Визначення **Арифметичним коренем $$n$$-го степеня числа $$a$$** називають невід’ємне число, $$n$$-й степінь якого рівний невід’ємному числу $$a$$. Це число позначається $$\sqrt\[n]{a}$$.

Наприклад: $$\sqrt\[4]{64}=2$$

Пoзначення $$\sqrt\[n]{a}$$ використовується для всіх арифметичних коренів, а також для неарифметичних (число a від’ємне) коренів непарного степеня.

Степенем додатного числа $$a$$ з **раціональним показником $$\dfrac{m}{n}$$**, $$n \in \mathbb{N}, n\geq2,$$\
 $$m \in \mathbb{Z}$$ називають корінь $$n$$-го степеня з числа $$a^m$$:

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt\[n]{a^m}.$$

Надалі будемо розгляди окремо корені парного степеня з $$n=2k$$, для яких $$a\geq0$$ (арифметичні корені) та непарного степеня з $$n=2k+1$$, для яких $$a\in \mathbb{R}$$ (і арифметичні, і неарифметичні корені).

|        | $$n = 2k$$                                                                                                                              | $$n = 2k+1$$                                                  | Приклади                                                                                              |
| ------ | --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| $$1.$$ | $$(\sqrt\[n]{a})^n = a$$                                                                                                                | $$(\sqrt\[n]{a})^n = a$$                                      | $$\sqrt\[3]{27} = 3; \sqrt\[4]{256} = 4$$                                                             |
| $$2.$$ | $$(\sqrt\[2k]{a})^{2k} = \|a\|$$                                                                                                        | $$(\sqrt\[2k+1]{a})^{2k+1} = a$$                              | $$\sqrt\[4]{16} = 2; \sqrt\[3]{-64} = -4$$                                                            |
| $$3.$$ | $$\sqrt\[2k]{-a}$$ **не існує!!!**                                                                                                      | $$\sqrt\[2k+1]{-a} = -\sqrt\[2k+1]{a}$$                       | $$\sqrt\[3]{-64} = -\sqrt\[3]{64} = -4$$                                                              |
| $$4.$$ | $$(\sqrt\[n]{a})^m = \sqrt\[n]{a^m}$$                                                                                                   | $$(\sqrt\[n]{a})^m = \sqrt\[n]{a^m}$$                         | $$(\sqrt\[3]{4}) = \sqrt\[3]{256}$$                                                                   |
| $$5.$$ | $$\sqrt\[2k]{ab} = \sqrt\[2k]{\|a\|} \cdot \sqrt\[2k]{\|b\|}$$                                                                          | $$\sqrt\[2k+1]{ab} = \sqrt\[2k+1]{a} \cdot \sqrt\[2k+1]{b} $$ | $$\sqrt\[3]{54} = \sqrt\[3]{2} \cdot \sqrt\[3]{27}$$                                                  |
| $$6.$$ | $$a\sqrt\[2k]{b} = \begin{cases} \sqrt\[2k]{a^{2k}b}, \thinspace & a \ge 0 \\\ -\sqrt\[2k]{a^{2k}b}, \thinspace & a \lt 0 \end{cases}$$ | $$a\sqrt\[2k+1]{b} = \sqrt\[2k+1]{a^{2k+1}b} $$               | $$\begin{aligned}2\sqrt\[3]{3} & = \sqrt\[3]{24} \\\ -2\sqrt\[4]{5} & = -\sqrt\[4]{90}\end{aligned}$$ |
| $$7.$$ | $$\sqrt\[2k]{a^{2k}b} = \|a\| \sqrt\[2k]{b}$$                                                                                           | $$\sqrt\[2k+1]{a^{2k+1}b} = a \sqrt\[2k+1]{b}$$               | $$\sqrt\[3]{54} = 3\sqrt\[3]{2}$$                                                                     |
| $$8.$$ | $$\sqrt\[n]{\sqrt\[k]{a}} = \sqrt\[nk]{a} $$                                                                                            | $$\sqrt\[n]{\sqrt\[k]{a}} = \sqrt\[nk]{a} $$                  | $$\sqrt\[3]{\sqrt\[4]{10}} = \sqrt\[12]{10}$$                                                         |

Також справедливі вирази: $$\sqrt\[nk]{a^{mk}}=\sqrt\[n]{a^m}, a \geq0; \sqrt\[n]{0}=0; \sqrt\[n]{1}=1.$$

Спростіть вираз: $$\sqrt\[4]{81}$$ $$-3$$ $$3$$ $$9$$ $$-9$$

Спростіть вираз: $$\sqrt\[4]{-4}$$ такий корінь невизначений $$1$$ $$2$$ $$4$$